Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Vorlesung 25/kontrolle
- Die Dimensionsformel
Die folgende Aussage heißt Dimensionsformel.
Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und
sei eine - lineare Abbildung und sei endlichdimensional.
Dann gilt
Es sei . Es sei der Kern der Abbildung und seine Dimension (). Es sei
eine Basis von . Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es Vektoren
derart, dass
eine Basis von ist. Wir behaupten, dass
eine Basis des Bildes ist. Es sei ein Element des Bildes . Dann gibt es ein mit . Dieses lässt sich mit der Basis als
schreiben. Dann ist
sodass sich als Linearkombination der schreiben lässt. Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit der , , sei eine Darstellung der Null gegeben,
Dann ist
Also gehört zum Kern der Abbildung und daher kann man
schreiben. Da insgesamt eine Basis von vorliegt, folgt, dass alle Koeffizienten sein müssen, also sind insbesondere
.
Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und
sei eine - lineare Abbildung und sei endlichdimensional. Dann nennt man
den Rang von .
Die Dimensionsformel kann man auch als
ausdrücken.
Wir betrachten die durch die Matrix
gegebene lineare Abbildung
Zur Bestimmung des Kerns müssen wir das homogene lineare Gleichungssystem
lösen. Der Lösungsraum ist
und dies ist der Kern von . Der Kern ist also eindimensional und daher ist die Dimension des Bildes nach der Dimensionsformel gleich .
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der gleichen Dimension . Es sei
eine lineare Abbildung.
Dies folgt aus der Dimensionsformel und Lemma 24.14.
- Verknüpfung von linearen Abbildungen und Matrizen
Bei der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen entsprechen sich die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen und die Matrizenmultiplikation.
Damit ist folgendes gemeint: es seien Vektorräume über einem Körper mit Basen
Es seien
lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von und der Hintereinanderschaltung die Beziehung
Wir betrachten die Abbildungskette
Bezüglich der Basen werde durch die -Matrix und durch die -Matrix beschrieben. Die Hintereinanderschaltung wirkt auf einen Basisvektor folgendermaßen.
Dabei sind diese Koeffizienten gerade die Einträge in der Produktmatrix .
Daraus folgt beispielsweise, dass das Produkt von Matrizen assoziativ ist.
- Invertierbare Matrizen
Es sei ein Körper. Zu einer invertierbaren Matrix heißt die Matrix mit
die inverse Matrix von . Man schreibt dafür
- Lineare Abbildungen und Basiswechsel
Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale - Vektorräume. Es seien und Basen von und und Basen von . Es sei
eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen und durch die Matrix beschrieben werde.
Dann wird bezüglich der Basen und durch die Matrix
beschrieben, wobei und die Übergangsmatrizen sind, die die Basiswechsel von nach und von nach beschreiben.
Die linearen Standardabbildungen bzw. zu den Basen seien mit bezeichnet. Wir betrachten das kommutative Diagramm
wobei die Kommutativität auf Lemma 24.1 und Fakt ***** beruht. In dieser Situation ergibt sich insgesamt
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung. Es seien und Basen von .
Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich bzw. (beidseitig) beschreiben, die Beziehung
Dies folgt direkt aus Lemma 25.8.
Zwei quadratische Matrizen heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix mit gibt.
Nach Korollar 25.9 sind zu einer linearen Abbildung die beschreibenden Matrizen bezüglich zweier Basen ähnlich zueinander.
- Eigenschaften von linearen Abbildungen
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei
eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- ist genau dann injektiv, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig sind.
- ist genau dann surjektiv, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von bilden.
- Bei ist genau dann bijektiv, wenn die Spalten der Matrix eine Basis von bilden, und dies ist genau dann der Fall, wenn invertierbar ist.
Es seien und Basen von bzw. und es seien die Spaltenvektoren von . (1). Die Abbildung hat die Eigenschaft
wobei der -te Eintrag des -ten Spaltenvektors ist. Daher ist
Dies ist genau dann , wenn für alle ist, und dies ist äquivalent zu
Dafür gibt es ein nichttriviales
(Lösungs-)Tupel genau dann, wenn die Spalten linear abhängig sind und genau dann, wenn nicht injektiv ist.
(2). Siehe
Aufgabe 25.3.
(3). Sei
.
Die erste Äquivalenz folgt aus (1) und (2). Wenn bijektiv ist, so gibt es die
(lineare)
Umkehrabbildung
mit
Es sei die Matrix zu und die Matrix zu . Die Matrix zur Identität ist die Einheitsmatrix. Nach Lemma 25.5 ist daher
und somit ist invertierbar. Die Umkehrung wird ähnlich bewiesen.
- Auffinden der inversen Matrix
Es sei eine quadratische Matrix. Wie kann man entscheiden, ob die Matrix invertierbar ist, und wie kann man die inverse Matrix finden?
Dazu legt man eine Tabelle an, wo in der linken Seite zunächst die Matrix steht und in der rechten Seite die Einheitsmatrix. Jetzt wendet man auf beide Matrizen schrittweise die gleichen elementaren Zeilenumformungen an. Dabei soll in der linken Seite die Ausgangsmatrix in die Einheitsmatrix umgewandelt werden. Dies ist genau dann möglich, wenn diese Matrix invertierbar ist. Wir behaupten, dass bei dieser Vorgehensweise in der rechten Seite die Matrix als Endmatrix entsteht. Dies beruht auf folgendem Invarianzprinzip. Jede elementare Zeilenumformung kann als eine Matrizenmultiplikation mit einer Elementarmatrix von links realisiert werden. Wenn in der Tabelle
steht, so steht im nächsten Schritt
Wenn man das Inverse (das man noch nicht kennt, das es aber gibt unter der Voraussetzung, dass die Matrix invertierbar ist.) der linken Seite mit der rechten Seite multipliziert, so ergibt sich
D.h., dass sich dieser Ausdruck bei den Einzelschritten nicht ändert. Zu Beginn ist dieser Ausdruck gleich , daher muss zum Schluss für gelten
Wir wollen zur Matrix gemäß dem in Verfahren 25.11 beschriebenen Verfahren die inverse Matrix bestimmen.