Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Vorlesung 8

Rechenregeln für Folgen

Lemma

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Folge ${}{\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent und es gilt

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}+y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}+{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,.$

2. Die Folge ${}{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent und es gilt

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,.$

3. Für ${}c\in \mathbb {R}$ gilt

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }cx_{n}=c{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\,.$

4. Es sei ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Dann ist ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,.$

5. Es sei ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Dann ist ${}{\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {y_{n}}{x_{n}}}={\frac {\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}}{x}}\,.$

Beweis

(1). Es seien ${}x$ bzw. ${}y$ die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz der ersten Folge gibt es zu

${}\epsilon '={\frac {\epsilon }{2}}\,$

ein ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon '\,$

gilt. Ebenso gibt es wegen der Konvergenz der zweiten Folge zu ${}\epsilon '={\frac {\epsilon }{2}}$ ein ${}n_{0}'$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}'$ die Abschätzung

${}\vert {y_{n}-y}\vert \leq \epsilon '\,$

gilt. Sei

${}N={\max {\left(n_{0},n_{0}'\right)}}\,.$

Dann gilt für alle ${}n\geq N$ (unter Verwendung der Dreiecksungleichung) die Abschätzung

${}{\begin{aligned}\vert {x_{n}+y_{n}-(x+y)}\vert &=\vert {x_{n}+y_{n}-x-y}\vert \\&=\vert {x_{n}-x+y_{n}-y}\vert \\&\leq \vert {x_{n}-x}\vert +\vert {y_{n}-y}\vert \\&\leq \epsilon '+\epsilon '\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

(2). Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Die konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist nach Lemma 7.6 insbesondere beschränkt und daher existiert ein ${}D>0$ mit ${}\vert {x_{n}}\vert \leq D$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Sei ${}x:=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}$ und ${}y:=\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$. Wir setzen ${}C:=\max\{D,\vert {y}\vert \}$. Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen ${}N_{1}$ und ${}N_{2}$ mit

$\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{1}{\text{ und }}\vert {y_{n}-y}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{2}.$

Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle ${}n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$. Für diese Zahlen gilt daher

${}{\begin{aligned}\vert {x_{n}y_{n}-xy}\vert &=\vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y+x_{n}y-xy}\vert \\&\leq \vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y}\vert +\vert {x_{n}y-xy}\vert \\&=\vert {x_{n}}\vert \vert {y_{n}-y}\vert +\vert {y}\vert \vert {x_{n}-x}\vert \\&\leq C{\frac {\epsilon }{2C}}+C{\frac {\epsilon }{2C}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Für die anderen Teile siehe Aufgabe 8.1, Aufgabe 8.2 und Aufgabe 8.3.

$\Box$

Wir beschreiben eine typische Anwendung des vorstehenden Satzes.

Beispiel

Wir betrachten die durch

${}x_{n}={\frac {-5n^{3}+6n^{2}-n+8}{11n^{3}+7n^{2}+3n-1}}\,$

definierte Folge und wollen wissen, ob und gegebenenfalls wogegen sie konvergiert. Man kann Lemma 8.1 nicht unmittelbar anwenden, da weder der Zähler noch der Nenner konvergiert. Allerdings kann man den folgenden Trick anwenden, man schreibt

${}x_{n}={\frac {-5n^{3}+6n^{2}-n+8}{11n^{3}+7n^{2}+3n-1}}={\frac {{\left(-5n^{3}+6n^{2}-n+8\right)}{\frac {1}{n^{3}}}}{{\left(11n^{3}+7n^{2}+3n-1\right)}{\frac {1}{n^{3}}}}}={\frac {-5+{\frac {6}{n}}-{\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {8}{n^{3}}}}{11+{\frac {7}{n}}+{\frac {3}{n^{2}}}-{\frac {1}{n^{3}}}}}\,.$

In dieser Form sind die Zähler- und die Nennerfolge konvergent, und zwar gegen ${}-5$ bzw. ${}11$, und daher konvergiert die Folge gegen ${}-{\frac {5}{11}}$.

Cauchy-Folgen

Ein Problem des Konvergenzbegriffes ist, dass zur Formulierung der Grenzwert verwendet wird, den man unter Umständen noch gar nicht kennt. Wenn man beispielsweise die durch das babylonische Wurzelziehen konstruierte Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ (sagen wir zur Berechnung von ${}{\sqrt {5}}$) mit einem rationalen Startwert betrachtet, so ist dies eine Folge aus rationalen Zahlen. Wenn wir diese Folge in ${}\mathbb {R}$ betrachten, wo ${}{\sqrt {5}}$ existiert, so ist die Folge konvergent. Innerhalb der rationalen Zahlen ist sie aber definitiv nicht konvergent. Es ist wünschenswert, allein innerhalb der rationalen Zahlen den Sachverhalt formulieren zu können, dass die Folgenglieder beliebig nahe zusammenrücken, auch wenn man nicht sagen kann, dass die Folgenglieder einem Grenzwert beliebig nahe zustreben. Dazu dient der Begriff der Cauchy-Folge.

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)

Definition

Eine reelle Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist

Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n,m\geq n_{0}$ die Beziehung

${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt.

Satz

Jede konvergente Folge

ist eine Cauchy-Folge.

Beweis

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge mit Grenzwert ${}x$. Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wir wenden die Konvergenzeigenschaft auf ${}\epsilon /2$ an. Daher gibt es ein ${}n_{0}$ mit

$\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon /2{\text{ für alle }}n\geq n_{0}.$

Für beliebige ${}n,m\geq n_{0}$ gilt dann aufgrund der Dreiecksungleichung

${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \vert {x_{n}-x}\vert +\vert {x-x_{m}}\vert \leq \epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon \,.$

  Also liegt eine Cauchy-Folge vor.

$\Box$

Definition

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge. Zu jeder streng wachsenden Abbildung ${}\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, ${}i\longmapsto n_{i}$, heißt die Folge

$i\mapsto x_{n_{i}}$

eine Teilfolge der Folge.

Definition

Die reelle Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt wachsend, wenn ${}x_{n+1}\geq x_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist, und streng wachsend, wenn ${}x_{n+1}>x_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist.

Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt fallend, wenn ${}x_{n+1}\leq x_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist, und streng fallend, wenn ${}x_{n+1}<x_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist.

Als gemeinsamen Begriff für (streng) wachsende oder (streng) fallende Folgen verwendet man die Bezeichnung (streng) monotone Folgen.

Lemma

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine wachsende, nach oben beschränkte reelle Folge.

Dann ist ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge.

Beweis

Es sei ${}b\in \mathbb {R}$ eine obere Schranke, also ${}x_{n}\leq b$ für alle Folgenglieder ${}x_{n}$.  Wir nehmen an, dass ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ keine Cauchy-Folge ist. Dann gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass es für jedes ${}n_{0}$ Indizes ${}n>m\geq n_{0}$ mit ${}x_{n}-x_{m}\geq \epsilon$ gibt (wir können die Betragstriche weglassen). Wegen der Monotonie gibt es dann auch zu jedem ${}n_{0}$ ein ${}n>n_{0}$ mit ${}x_{n}-x_{n_{0}}\geq \epsilon$. Wir können daher induktiv eine wachsende Folge von natürlichen Zahlen definieren durch

$n_{1}>n_{0}{\text{ so, dass }}x_{n_{1}}-x_{n_{0}}\geq \epsilon ,$

$n_{2}>n_{1}{\text{ so, dass }}x_{n_{2}}-x_{n_{1}}\geq \epsilon ,$

etc. Andererseits gibt es aufgrund des Archimedesaxioms ein ${}k\in \mathbb {N}$ mit

${}k\epsilon >b-x_{n_{0}}\,.$

Die Summe der ersten ${}k$ Differenzen der Teilfolge ${}x_{n_{j}}$, ${}j\in \mathbb {N}$, ergibt

${}{\begin{aligned}x_{n_{k}}-x_{n_{0}}&={\left(x_{n_{k}}-x_{n_{k-1}}\right)}+{\left(x_{n_{k-1}}-x_{n_{k-2}}\right)}+\cdots +{\left(x_{n_{2}}-x_{n_{1}}\right)}+{\left(x_{n_{1}}-x_{n_{0}}\right)}\\&\geq k\epsilon \\&>b-x_{n_{0}}.\end{aligned}}$

  Dies impliziert ${}x_{n_{k}}>b$ im Widerspruch zur Voraussetzung, dass ${}b$ eine obere Schranke der Folge ist.

$\Box$

Die Vollständigkeit der reellen Zahlen

Innerhalb der rationalen Zahlen gibt es Cauchy-Folgen, die nicht konvergieren, beispielsweise die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {5}}$. Man kann sagen, dass eine nichtkonvergente Cauchy-Folge eine Lücke entdeckt und adressiert. Innerhalb der reellen Zahlen werden diese Lücken aufgefüllt.

Definition

Ein angeordneter Körper ${}K$ heißt vollständig oder vollständig angeordnet, wenn jede Cauchy-Folge in ${}K$ konvergiert (also in ${}K$ einen Grenzwert besitzt).

Die rationalen Zahlen sind nicht vollständig. Die Vollständigkeit fordern wir für die reellen Zahlen als das letzte Axiom.

Axiom

Die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ sind ein vollständiger archimedisch angeordneter Körper.

Damit haben wir alle Axiome der reellen Zahlen zusammengetragen: die Körperaxiome, die Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom. Diese Eigenschaften legen die reellen Zahlen eindeutig fest, d.h. wenn es zwei Modelle ${}\mathbb {R} _{1}$ und ${}\mathbb {R} _{2}$ gibt, die beide für sich genommen diese Axiome erfüllen, so kann man eine bijektive Abbildung von ${}\mathbb {R} _{1}$ nach ${}\mathbb {R} _{2}$ angeben, der alle mathematischen Strukturen erhält (sowas nennt man einen „Isomorphismus“).

Die Existenz der reellen Zahlen ist nicht trivial. Vom naiven Standpunkt her kann man, und das haben wir bisher getan und werden wir auch weiterhin tun, die Vorstellung einer „kontinuierlichen Zahlengerade“ zugrunde legen, und dies als Existenznachweis akzeptieren. In einer strengeren mengentheoretischen Begründung der Existenz geht man von ${}\mathbb {Q}$ aus und konstruiert die reellen Zahlen als die Menge der Cauchy-Folgen in ${}\mathbb {Q}$ mit einer geeigneten Identifizierung.

Folgerungen aus der Vollständigkeit

Korollar

Eine beschränkte und monotone Folge in ${}\mathbb {R}$

konvergiert.

Beweis

Nach Voraussetzung ist die Folge wachsend und nach oben beschränkt oder fallend und nach unten beschränkt. Nach Fakt ***** liegt eine Cauchy-Folge vor, und diese konvergiert in ${}\mathbb {R}$.

$\Box$

Diese Aussage ist auch die Grundlage dafür, dass die Dezimalentwicklung stets eine (eindeutige) reelle Zahl definiert. Eine (unendliche) Dezimalentwicklung

$a,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots$

mit ${}a\in \mathbb {N}$ (wir beschränken uns auf nichtnegative Zahlen) und ${}a_{-n}\in \{0,\ldots ,9\}$ ist nämlich die Folge der rationalen Zahlen

$x_{0}:=a,\,x_{1}:=a+a_{-1}\cdot {\frac {1}{10}},\,x_{2}:=a+a_{-1}\cdot {\frac {1}{10}}+a_{-2}\cdot \left({\frac {1}{10}}\right)^{2},\,{\rm {{etc}.}}$

Diese ist offenbar monoton wachsend. Sie ist ferner nach oben beschränkt, beispielsweise durch $a+1$, so dass dadurch in der Tat eine reelle Zahl definiert wird.

Intervallschachtelungen

Definition

Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

$I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$

in ${}\mathbb {R}$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn ${}I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$

gegen ${}0$ konvergiert.

Satz

Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$.

Dann besteht der Durchschnitt

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$

aus genau einem Punkt

${}x\in \mathbb {R}$.

Eine reelle Intervallschachtelung bestimmt also genau eine reelle Zahl.

Beweis

Siehe Aufgabe 8.17.

$\Box$

Satz

Zu jeder nichtnegativen reellen Zahl ${}c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und jedem ${}k\in \mathbb {N} _{+}$

gibt es eine eindeutige nichtnegative reelle Zahl ${}x$ mit

${}x^{k}=c\,.$

Beweis

Wir definieren rekursiv eine Intervallschachtelung ${}[a_{n},b_{n}]$, und zwar setzen wir

${}a_{0}=0\,$

und ${}b_{0}$ eine beliebige reelle Zahl mit ${}b_{0}^{k}\geq c$. Es seien die Intervallgrenzen bis zum Index ${}n$ bereits definiert, die Intervalle seien ineinander enthalten und es gelte dabei

${}a_{n}^{k}\leq c\leq b_{n}^{k}\,.$

Wir setzen

${}a_{n+1}:={\begin{cases}{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},{\text{ falls }}{\left({\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\right)}^{k}\leq c\,,\\a_{n}{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$

und

${}b_{n+1}:={\begin{cases}{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},{\text{ falls }}{\left({\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\right)}^{k}>c\,,\\b_{n}{\text{ sonst}}.\end{cases}}\,$

Dadurch wird eine Grenze beibehalten und die andere Grenze wird durch das arithmetische Mittel der beiden Vorgängergrenzen ersetzt. Insbesondere gelten die angegebenen Eigenschaften für alle Intervalle und es liegt eine Intervallschachtelung vor. Es sei ${}x$ die durch diese Intervallschachtelung gemäß Satz 8.12 festgelegte reelle Zahl. Nach Aufgabe 8.18 gilt

${}x=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}\,.$

Damit ist nach Lemma 8.1  (2)

${}x^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}^{k}\,.$

Wegen der Konstruktion der Intervallgrenzen ist dies nach Lemma 7.11 sowohl ${}\leq c$ als auch ${}\geq c$, also ist ${}x^{k}=c$.

$\Box$

Diese eindeutig bestimmte Zahl wird mit ${}{\sqrt[{k}]{c}}$ oder mit ${}c^{1/k}$ bezeichnet.

Bestimmte Divergenz

Definition

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}\mathbb {R}$ heißt bestimmt divergent gegen ${}+\infty$, wenn es zu jedem ${}s\in \mathbb {R}$ ein ${}N\in \mathbb {N}$ mit

$x_{n}\geq s{\text{ für alle }}n\geq N$

gibt.

Sie heißt bestimmt divergent gegen ${}-\infty$, wenn es zu jedem ${}s\in \mathbb {R}$ ein ${}N\in \mathbb {N}$ mit

$x_{n}\leq s{\text{ für alle }}n\geq N$

gibt.

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