Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 32
- Übungsaufgaben
Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung
Kommentar:
Der erste Schritt, um eine Differentialgleichung zu lösen, ist, den Typ der Gleichung zu erkennen, und sich dann das zugehörige Lösungsverfahren heranzuziehen. In diesem Fall handelt es sich um eine gewöhnliche homogene lineare Differentialgleichung, das Vektorfeld hat die Gestalt
mit
Es ist sinnvoll, sich diese Bestandteile klar zu machen, da auf diese im Lösungsverfahren Bezug genommen wird. Für solche Differentialgleichungen ist Satz 32.2 zuständig. Wir müssen also eine Stammfunktion zu finden, was in diesem Fall, da es ein Polynom ist, kein Problem macht. In anderen Beispielen ist aber dies das Hauptproblem, eine Stammfunktion zu finden. Eine Stammfunktion ist
Man könnte hier noch eine additive Konstante zulassen, doch der Lösungsansatz des Satzes ist sogar etwas allgemeiner. Nach dem Satz sind somit
mit einem beliebigen die Lösungen. Eine Integrationskonstante in der Stammfunktion könnte man als multiplikativen Faktor rausziehen, das würde aber nur positive Vorfaktoren ergeben.
Löse das Anfangswertproblem
Kommentar:
Dies schließt direkt an die vorstehende Aufgabe an. Wenn man ein Anfangswertproblem hat, muss man eigentlich immer zuerst die Differentialgleichung allgemein lösen und dann in einem zweiten Schritt mit der Anfangsbedingung noch einen freien Parameter festlegen. Es kann aber auch mal sein, dass es für das Anfangsproblem eine besonders einfache Lösung, typischerweise eine konstante Lösung, gibt, obwohl es schwierig ist, die Differentialgleichung allgemein zu lösen.
Hier jedenfalls kenn wir die allgemeine Lösung
Die zusätzliche Bedingung ist einfach, dass diese Funktion an der Stelle noch den Wert haben soll. Dabei ist die für einzusetzen, und das legt dann fest.
also ist
Die Lösungsfunktion des Anfangswertproblems ist also
Hier unbedingt das wieder mit (und nicht mit eingesetztem ) schreiben, das Ergebnis muss eine Funktion sein!
Zeige durch Ableiten, dass
eine Lösung der Differentialgleichung
ist.
Es sei eine Lösung der Differentialgleichung und eine Lösung der Differentialgleichung . Zeige, dass die Produktfunktion eine Lösung der Differentialgleichung
ist, und zwar einmal durch Ableiten und einmal mit Satz 32.2.
Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung
Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung
Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung
Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung
für .
Es sei
eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion und es sei eine differenzierbare Lösung.
a) Zeige, dass ebenfalls unendlich oft differenzierbar ist.
b) Es sei für einen Zeitpunkt . Zeige unter Verwendung von Aufgabe 14.25, dass für alle . gilt.
Es sei
eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall . Finde eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung, für die eine Lösung ist.
Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung
Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung
Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung
Kommentar:
Hier muss man zuerst wieder den Typ erkennen, es ist eine (gewöhnliche eindimensionale) lineare inhomogene Differentialgleichung. Im Normalfall muss man da zuerst die zugehörige homogene Differentialgleichung anschauen und lösen, das ist hier besonders einfach, das ist
mit der Lösung
Konstanten muss man an dieser Stelle noch nicht berücksichtigen, da dies bei der „Variation der Konstanten“, dem Lösungsverfahren auf Satz 32.10 mitberücksichtigt wird. Gemäß dieses Satzes müssen wir die Störfunktion
jetzt mitberücksichtigen. Wir müssen eine Stammfunktion von
bestimmen, das ist . Eine Lösung ist daher
Dies sollte man durch Ableiten bestätigen.
Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung
Die folgende Aussage nennt man das Superpositionsprinzip für inhomogene lineare Differentialgleichungen. Es besagt insbesondere, dass die Differenz zweier Lösungen einer inhomogenen linearen Differentialgleichung eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung ist.
Es sei ein reelles Intervall und seien
Funktionen. Es sei eine Lösung der Differentialgleichung und es sei eine Lösung der Differentialgleichung . Zeige, dass dann eine Lösung der Differentialgleichung
ist.
Petra sitzt im Straßenkaffee bei einer Außentemperatur von Grad. Ihr wird ein Kaffee serviert mit einer Temperatur von Grad, den sie erst in fünf Minuten nach einem wichtigen Telefonat trinken möchte. Sie trinkt ihren Kaffee ohne Zucker, aber mit einem Milchanteil von Prozent. Die Milch wird mit einer Temperatur von Grad in einer Kühlbox serviert, die die Temperatur konstant hält. Der Abkühlungskoeffizient für Kaffee und Milch (siehe Beispiel 32.11) sei , wobei die Zeit in Sekunden aufgefasst werde.
a) Welche Temperatur besitzt der Kaffee zu Trinkbeginn, wenn die Milch sofort in den Kaffee gekippt wird.
b) Welche Temperatur besitzt der Kaffee zu Trinkbeginn, wenn die Milch unmittelbar vor dem Trinken in den Kaffee gekippt wird.
c) Welche Temperatur besitzt der Kaffee zu Trinkbeginn, wenn die Milch unmittelbar vor dem Trinken in den Kaffee gekippt wird, und die Kühlbox nicht funktioniert.
a) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()
b) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()
c) Löse das Anfangswertproblem
a) Finde alle Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung
b) Löse das Anfangswertproblem
a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung
b) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Löse das Anfangswertproblem
Aufgabe (3 Punkte)
Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung
Aufgabe (3 Punkte)
Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung
Welche Lösung hat das Anfangswertproblem ?
Aufgabe (5 Punkte)
Löse das Anfangswertproblem
Aufgabe (3 Punkte)
Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung
Aufgabe (5 Punkte)
Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung
<< | Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II | >> |
---|