Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 33/kontrolle
- Übungsaufgaben
Bestimme die konstanten Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung
Kommentar:
Hier haben wir es mit einer scheinbar komplizierten Differentialgleichung zu tun, aber davon lassen wir uns nicht abschrecken, denn die Aufgabe verlangt nur nach den konstanten Lösungen. Konstant bedeutet hier, dass die Lösung nicht von abhängt, sodass die Lösung von der Form für gewisse Konstanten ist. Dementsprechend ist die Ableitung und es folgt, dass
für alle in einem geeigneten Definitionsgebiet gelten muss. Die rechte Seite der Gleichung besteht aus zwei Faktoren, von denen einer nur von und der andere nur von abhängt (die Differentialgleichung besitzt also getrennte Variablen). Der von abhängige Faktor ist dabei auf keinem Intervall konstant Null, sodass folgt, dass der zweite Faktor konstant Null sein muss. Durch Lösen der quadratischen Gleichung
erhalten wir schließlich genau zwei Lösungen, welche konstante Lösungen der Differentialgleichung sind.
Welche Substitution wird im Beweis zu Satz 33.2 durchgeführt?
Skizziere die zugrunde liegenden Vektorfelder der Differentialgleichungen
sowie die in Beispiel 33.4, Beispiel 33.7 und Beispiel 33.8 angegebenen Lösungskurven.
Bestätige die in Beispiel 33.4, Beispiel 33.7 und Beispiel 33.8 gefundenen Lösungskurven der Differentialgleichungen
durch Ableiten.
Interpretiere eine ortsunabhängige Differentialgleichung als eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen anhand des Lösungsansatzes für getrennte Variablen.
Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Erhält man dabei alle Lösungen?
Kommentar:
Die Differentialgleichung weist getrennte Variablen auf der Form und . In dieser Differentialgleichung taucht also gar nicht auf, aber wir werden sehen, dass die Lösungen dennoch von abhängen.
Mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen wählen wir als eine Stammfunktion von . Daher ist von der Form für eine beliebige Integrationskonstante . Außerdem ist eine Stammfunktion von mit Integrationskonstante .
Nach dem Lösungsansatz sind die Lösungen nun von der Form . Dazu müssen wir die Umkehrfunktion von bestimmen. Durch Auflösen von nach ergibt sich dabei .
Daraus folgt . Dabei fällt auf, dass wir die Konstanten zu einer einzelnen Konstanten zusammenfassen können. Insgesamt sind also die Lösungen der Differentialgleichung von der Form
Zu beachten ist hier, dass diese Lösung nur sinnvoll definiert ist, wenn gilt, was eine Bedingung an darstellt.
Außerdem können wir uns durch Ableiten von von der Richtigkeit der Lösung überzeugen. Dabei kann Satz 14.9 verwendet werden, um die Ableitung von zu bestimmen.
Diskussion:
Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung
mit und .
Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung ()
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?
a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.
b) Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems
Betrachte die in Beispiel 33.9 gefundenen Lösungen
der logistischen Differentialgleichung.
a) Skizziere diese Funktion (für geeignete und ).
b) Bestimme die Grenzwerte für und .
c) Studiere das Monotonieverhalten dieser Funktionen.
d) Für welche besitzt die Ableitung von ein Maximum (für die Funktion selbst bedeutet dies einen Wendepunkt, man spricht auch von einem Vitalitätsknick).
e) Über welche Symmetrien verfügen diese Funktionen?
Bestimme das Taylor-Polynom vierten Grades im Nullpunkt zur logistischen Funktion
- Aufgaben zum Abgeben
Zeige, dass eine Differentialgleichung der Form
mit einer stetigen Funktion
auf einem Intervall die Lösungen
besitzt, wobei eine Stammfunktion zu mit sei.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Welche Lösung hat das Anfangswertproblem ?
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung
mit
a) dem Lösungsansatz für inhomogene lineare Differentialgleichungen,