Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 51

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum, ${}P\in M$ ein Punkt und es sei

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Es sei ${}h\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine streng wachsende Funktion. Zeige, dass ${}f$ in ${}P$ genau dann ein lokales Maximum besitzt, wenn ${}h\circ f$ ein lokales Maximum in ${}P$ besitzt.

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ metrische Räume und es sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine stetige Abbildung. Es sei

${}\varphi (P)=Q\,$

und es sei

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion, die im Punkt ${}Q\in M$ ein lokales Extremum besitze. Zeige, dass

$f\circ \varphi$

in ${}P$ ein lokales Extremum besitzt.

Kommentar:

Hier haben wir eine typische Beweisaufgabe, in der mathematische Objekte mit speziellen Eigenschaften gegeben sind und daraus soll die Eigenschaft eines weiteren im Zusammenhang stehenden Objektes gezeigt werden. Konkret, wir haben eine stetige Abbildung ${}\varphi$ und eine Funktion ${}f$ mit einem lokalen Extremum im Punkt ${}Q$. Jetzt soll gezeigt werden, dass das lokale Extremum erhalten bleibt, nachdem ${}\varphi$ in ${}f$ eingesetzt wird. Dann aber, wegen der Verknüpfung, in dem Punkt ${}P$, der durch ${}\varphi$ zum ursprünglichen Punkt ${}Q$ des lokalen Extremums "geschickt" wird.

Die Eigenschaft, dass ${}\varphi$ stetig ist, ist dabei natürlich entscheidend. Nehmen wir uns hierfür als Beispiel eine einfache reelle Funktion ${}f(x)=x^{3}-x$ mit Ableitung ${}f'(x)=3x^{2}-1$. Diese hat ein lokales Minimum (dies ist kein globales Minimum, ein Plot der Funktion ist hilfreich) in ${}1/{\sqrt {3}}$

mit Wert ${}f(1/{\sqrt {3}})\approx -1.54$. Wählen wir nun

$\varphi ={\begin{cases}-10,&t<0,\\1/{\sqrt {3}},&t=0,\\10,&t>0.\end{cases}}$

als eindeutig nicht stetige Funktion, sehen wir, dass diese in ${}f$ eingesetzt

$f(\varphi (t))={\begin{cases}-990,&t<0,\\f(1/{\sqrt {3}}),&t=0,\\990,&t>0,\end{cases}}$

ergibt. Diese Funktion hat gewiss kein lokales Extremum mehr in ${}t=0$, dem Punkt der auf das lokale Extremum von ${}f$ geschickt wurde.

Zum Beweis der Aussage in der Aufgabenstellung sammlen wir die Eigenschaften. Dass ${}\varphi$ stetig ist, bedeutet, dass es in jedem Punkt stetig ist. Somit insbesondere im Punkt ${}P$. Das wiederum heißt, für jedes ${}\epsilon _{1}>0$ existiert ein ${}\delta >0$, sodass

$\varphi (B(P,\delta ))\subset B(\varphi (P),\epsilon _{1})=B(Q,\epsilon _{1}).$

Mit Worten, in einer Umbebung von ${}P$ bleiben wir nach Abbilden mit ${}\varphi$ in einer Umgebung von ${}Q$. Weiterhin hat die Funktion ${}f$ in ${}Q$ ein lokales Extremum

(wir nehmen ohne Einschränkung an, dass dies ein lokales Minimum ist, für ein Maximum geht das genau so), d.h. es exisitert ein ${}\epsilon _{2}>0$ mit

$f(Q)\leq f(x),{\text{ für alle }}x\in B(Q,\epsilon _{2}).$

Mit Worten, in einer Umgebung von ${}Q$ ist der Funktionswert von ${}f$ immer größer oder gleich dem Funktionswert in ${}Q$ selbst.

Jetzt ist die Frage, ob die Verknüpfung ${}f\circ \varphi$ ein lokales Minimum in ${}P$ besitzt, also ein ${}\epsilon _{3}$ existiert mit

$f(\varphi (P))\leq f(\varphi (t)),{\text{ für alle }}t\in B(P,\epsilon _{3}).$

Es wäre also gut, wenn ${}\varphi$ garantiert, dass wir von ${}B(P,\epsilon _{3})$ in ${}B(Q,\epsilon _{2})$ landen, denn dann nutzen dass ${}f$ in ${}Q$ das lokale Minimum hat. Das erledigt die Stetigkeit von ${}\varphi$. Wie kann ${}\epsilon _{3}$ dann gewählt werden?

 

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass eine von ${}0$ verschiedene lineare Abbildung

$f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

keine lokalen Extrema besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?

Aufgabe *

Es sei ${}f$ ein Polynom in zwei Variablen der Bauart

${}f(x,y)=x^{2}+y^{2}+\sum _{(r_{1},r_{2})\in \mathbb {N} ^{2},\,r_{1}+r_{2}\geq 3}a_{(r_{1},r_{2})}x^{r_{1}}y^{r_{2}}\,.$

Zeige ohne Differentialrechnung, dass ${}f$ im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum besitzt. Bestimme in Abhängigkeit der Koeffizienten ${}a_{(r_{1},r_{2})}$ ein ${}\epsilon >0$ derart, dass die Einschränkung von ${}f$ auf ${}U{\left(0,\epsilon \right)}$ außerhalb des Nullpunktes echt positiv ist.

Aufgabe

Berechne den Gradienten der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}y-z^{3}xe^{xyz},$

in jedem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{3}$.

Kommentar:

Zur Wiederholung, der Gradient gehört nach Definition 51.6 zu einer differenzierbaren Funktion

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,$

die von einer offenen Teilmenge eines euklidischen Vektorraums ${}G\subset V$ in die reellen Zahlen abbildet. Euklidisch ist wichtig, da wir dann ein Skalarprodukt haben und somit das total Differential ${}(Df)_{P}$ zu einem festen Punkt ${}P\in G$ (welches eine lineare Funktion von ${}V$ nach ${}\mathbb {R}$ ist, siehe die Definition 51.6) mit Hilfe eines eindeutigen Vektors ${}w\in V$ und des Skalarproduktes darstellen lässt. Das heißt es gibt ein ${}w\in V$, sodass wir für alle ${}v\in V$

$(Df)_{P}(v)=\left\langle w,v\right\rangle$

haben. Der Vektor ${}w$ wird dann Gradient (zum gewählten Skalarprodukt) genannt.

In dieser Aufgabe ist nicht erwähnt, welches Skalarprodukt verwendet werden soll, deshalb gehen wir von dem Standardskalarprodukt aus. Das totale Differential von ${}f$ ist bezüglich der Standardbasis in ${}P\in \mathbb {R} ^{3}$ nach Satz 48.11 gegeben durch

${}(Df)_{P}=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(P),\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(P),\,{\frac {\partial f}{\partial z}}(P)\right)\,.$

Die partiellen Ableitungen müssen noch berechnet werden, das bleibt Übung. Es ist ein Zeilenvektor, der (als Matrix mit einer Zeile aufgefasst) die lineare Abbildung des totalen Differentials in der Standardbasis repräsentiert. Das totale Differential wirkt demnach auf einen Vektor im ${}v\in \mathbb {R} ^{3}$, als Spaltenvektor aufgefasst, durch die übliche Zeile-mal-Spalte Matrix-Vektor-Multiplikation. Dies ist aber nichts anderes als das Standardskalarprodukt des totalen Differentials und des Vektors ${}v$. Deswegen ist in diesem Fall der Gradient schon der Zeilenvektor des totalen Differentials als Element im ${}\mathbb {R} ^{3}$ aufgefasst,

${}\operatorname {Grad} \,f(P)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}(P)\\{\frac {\partial f}{\partial y}}(P)\\{\frac {\partial f}{\partial z}}(P)\end{pmatrix}}\,.$

 

Aufgabe

Berechne den Gradienten der Funktion

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto {\frac {xyz-z^{2}}{\ln(xy)+z^{2}}},$

in jedem Punkt ${}P\in G$ mit ${}G=\mathbb {R} _{>1}\times \mathbb {R} _{>1}\times \mathbb {R}$

Aufgabe *

Wir betrachten Dreiecke mit den beiden fixierten Eckpunkten ${}(-1,0)$ und ${}(1,0)$ und dem variablen Eckpunkt ${}(x,y)$.

1. Erstelle eine Formel für den Flächeninhalt des Dreieckes mit den Eckpunkten ${}(-1,0),(1,0),(x,y)$.
2. Erstelle eine Formel für den Umfang des Dreieckes mit den Eckpunkten ${}(-1,0),(1,0),(x,y)$.
3. In welche Richtung muss man den dritten Punkt ${}(x,y)$ bewegen, damit der Flächeninhalt möglichst schnell wächst?
4. In welche Richtung muss man den dritten Punkt ${}(x,y)$ bewegen, damit der Umfang möglichst schnell wächst?

Aufgabe

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge, ${}P\in G$ ein Punkt und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine in ${}P$ differenzierbare Funktion. Zeige, dass ${}f$ und ${}\left(Df\right)_{P}$ im Punkt ${}P$ den gleichen Gradienten besitzen.

Aufgabe

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge, ${}P\in G$ ein Punkt und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine in ${}P$ differenzierbare Funktion. Zeige, dass ein Vektor ${}v\in V$ genau dann zum Kern von ${}\left(Df\right)_{P}$ gehört, wenn er orthogonal zum Gradienten ${}\operatorname {Grad} \,f(P)$ ist.

Kommentar:

Auf den ersten Blick scheint dies vielleicht eine schwierige Beweisaufgabe zu sein. Aber wenn die Definitionen und Eigenschaften der beteiligten mathematischen Objekte klar sind, ist das ganze nur noch halb so wild.

Ein Vektor ${}v\in V$ soll zum Kern vom totalen Differntial ${}\left(Df\right)_{P}$ von ${}f$ im Punkt ${}P$ gehören. Das totale Differential ist eine lineare Abbildung von ${}V$ nach ${}\mathbb {R}$ und der Kern von ${}\left(Df\right)_{P}$ ist die Menge aller Elemente aus ${}V$ die durch ${}\left(Df\right)_{P}$ auf Null abgebildet werden.

${}\operatorname {Grad} \,f(P)$ ist der Gradient von ${}f$ im Punkt ${}P$ und hängt, wie wir gelernt haben, stark mit dem obigen totalen Differential zusammen. Er ist ein Vektor im Vektorraum ${}V$ und zwar genau der eindeutige Vektor, der es erlaubt, das totale Differential mit Hilfe des gewählten oder gegebenen Skalarproduktes auszudrücken. Das heißt es gilt

$\left(Df\right)_{P}(v)=\left\langle \operatorname {Grad} \,f(P),v\right\rangle$

für alle ${}v\in V$.

Mit Hilfe dieser Darstellung kann nun der Zusammenhang zwischen ${}v$ ist im Kern von ${}\left(Df\right)_{P}$ und der Orthogonalität zum Gradienten bezüglich des Skalarproduktes hergestellt werden.

 

Aufgabe

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}.$

Aufgabe *

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy^{2}-x.$

Aufgabe

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y-y^{2}+x.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Anstieg der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y-x+y^{3},$

im Punkt ${}P=(1,1)$ in Richtung des Winkels ${}\alpha \in [0,2\pi ]$. Für welchen Winkel ist der Anstieg maximal?

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x+\sin \left(y\right)-xz.$

1. Bestimme den Gradienten ${}G$ von ${}f$ im Punkt ${}P=(0,0,0)\in \mathbb {R} ^{3}$ bezüglich des Standardskalarprodukts ${}\left\langle -,-\right\rangle$.
2. Es sei

   ${}E={\left\{(x,y,z)\mid 2x-y+3z=0\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

   und es sei ${}g=f{|}_{E}$ die Einschränkung von ${}f$ auf ${}E$. Bestimme den Gradienten ${}{\tilde {G}}$ von ${}g$ bezüglich der Einschränkung des Standardskalarprodukts auf ${}E$.

3. Zeige, dass ${}{\tilde {G}}$ die orthogonale Projektion von ${}G$ auf ${}E$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy^{3}-xy+\sin y.$

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte zur Funktion

${}f(x,y)=x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}-6y^{3}-6x^{2}y+8y^{2}\,$

aus Beispiel 51.5.