Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesung 36/latex
\setcounter{section}{36}
Ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
ist dadurch ausgezeichnet, dass es in ihm eine Abstandsfunktion gibt, und dass dadurch zwei Punkte \anfuehrung{näher}{} zueinander liegen können als zwei andere Punkte. Bei einer Abbildung
\maabbdisp {f} {L} {M
} {}
zwischen zwei metrischen Räumen kann man sich fragen, inwiefern der Abstand im Werteraum $M$ durch den Abstand im Definitionsraum $L$ kontrollierbar ist. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Bildpunkt. Man möchte, dass für Punkte $x'$, die \anfuehrung{nahe}{} an $x$ sind, auch die Bildpunkte
\mathl{f(x')}{} \anfuehrung{nahe}{} an $f(x)$ sind. Um diese intuitive Vorstellung zu präzisieren, sei ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Dieses $\epsilon$ repräsentiert eine \anfuehrung{gewünschte Zielgenauigkeit}{}
\zusatzklammer {oder \anfuehrung{Zieltoleranz}{}} {} {.}
Die Frage ist dann, ob man ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
finden kann
\zusatzklammer {eine \anfuehrung{Startgenauigkeit}{} oder \anfuehrung{Starttoleranz}{}} {} {}
mit der Eigenschaft, dass für alle $x'$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x, x' \right) }
}
{ \leq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x), f(x') \right) }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Dies führt zum Begriff der stetigen Abbildung.
\zwischenueberschrift{Stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {( L,d_1)} {und} {( M,d_2)} {}
\definitionsverweis {metrische Räume}{}{,}
\maabbdisp {f} { L} { M
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Abbildung $f$ heißt \definitionswort {stetig in}{} $x$, wenn für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart existiert, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( B \left( x,\delta \right) \right) }
}
{ \subseteq} { B \left( f(x),\epsilon \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Die Abbildung $f$ heißt \definitionswort {stetig}{,} wenn sie stetig in $x$ für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
Statt mit den abgeschlossenen Ballumgebungen könnte man hier genauso gut mit den offenen Ballumgebungen arbeiten. Die einfachsten Beispiele für stetige Abbildungen sind konstante Abbildungen, die Identität eines metrischen Raumes und die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einer mit der induzierten Metrik versehenen Teilmenge eines metrischen Raumes. Siehe dazu die Aufgaben. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{M
}
{ = }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stimmt diese Definition mit der bisherigen überein.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Continuity_topology.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Continuity topology.svg } {} {Dcoetzee} {Commons} {PD} {}
Der folgende Satz heißt \stichwort {Folgenkriterium} {} und ist eine direkte Verallgemeinerung von
Lemma 10.5.
\inputfaktbeweis
{Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung in einem Punkt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbeledisp {f} { L} { M
} {x} {f(x)
} {,}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {metrischen Räumen}{}{}
\mathkor {} {L} {und} {M} {} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt.}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$f$ ist
\definitionsverweis {stetig}{}{}
im Punkt $x$.
}{Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft, dass aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(x,x')
}
{ \leq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(f(x),f(x'))
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}{Für jede
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $L$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ = }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch die
\definitionsverweis {Bildfolge}{}{}
\mathl{{ \left( f(x_n) \right) }_{ n \in \N }}{} konvergent mit dem Grenzwert $f(x)$.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun (2) erfüllt und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Folge in $L$, die gegen $x$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n)
}
{ = }{ f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Dazu sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Wegen (2) gibt es ein $\delta$ mit der angegebenen Eigenschaft und wegen der Konvergenz von
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $x$ gibt es eine natürliche Zahl $n_0$ derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(x_n,x)
}
{ \leq} { \delta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Nach der Wahl von $\delta$ ist dann
\mathdisp {d(f(x_n), f(x)) \leq \epsilon \text { für alle } n \geq n_0} { , }
sodass die Bildfolge gegen
\mathl{f(x)}{} konvergiert.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei (3) erfüllt und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Wir nehmen an, dass es für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, deren Abstand zu $x$ maximal gleich $\delta$ ist, deren Wert
\mathl{f(z)}{} unter der Abbildung aber zu
\mathl{f(x)}{} einen Abstand größer als $\epsilon$ besitzt. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche
\mathbed {\delta=1/n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {.}
D.h. für jede natürliche Zahl $n$ gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathdisp {d(x_n ,x) \leq \frac{1}{n} \text{ und mit } d(f(x_n), f(x)) > \epsilon} { . }
Diese so konstruierte Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} konvergiert gegen $x$, aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen
\mathl{f(x)}{,} da der Abstand der Bildfolgenwerte zu
\mathl{f(x)}{} zumindest $\epsilon$ ist. Dies ist ein Widerspruch zu (3).}
{}
\inputfaktbeweis
{Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbeledisp {f} { L} { M
} {x} {f(x)
} {,}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {metrischen Räumen}{}{}
\mathkor {} {L} {und} {M} {.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{$f$ ist
\definitionsverweis {stetig}{}{}
in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft, dass aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d(x,x')
}
{ \leq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d(f(x),f(x'))
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jede
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $L$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ = }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch die Bildfolge
\mathl{{ \left( f(x_n) \right) }_{ n \in \N }}{} konvergent mit dem Grenzwert
\mathl{f(x)}{.}
}{Für jede
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch das
\definitionsverweis {Urbild}{}{}
\mathl{f^{-1}(V)={ \left\{ x \in L \mid f(x) \in V \right\} }}{} offen.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Die Äquivalenz der ersten drei Formulierungen folgt direkt aus
Lemma 36.2.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei (1) erfüllt und eine offene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben mit dem Urbild
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \defeq }{ f^{-1}(V)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt mit dem Bildpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{ f(x)
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $V$ offen ist, gibt es nach Definition ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U { \left( y,\epsilon \right) }
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach (2) gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f( U(x, \delta))
}
{ \subseteq }{ U { \left( y,\epsilon \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \in} {U { \left( x,\delta \right) }
}
{ \subseteq} { U
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wir haben eine offene Ballumgebung von $x$ innerhalb des Urbilds gefunden. Deshalb ist $U$ offen.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei (4) erfüllt und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Da der offene Ball
\mathl{U { \left( y,\epsilon \right) }}{} offen ist, ist wegen (4) auch das Urbild
\mathl{f^{-1} (U { \left( y,\epsilon \right) })}{} offen. Da $x$ zu dieser Menge gehört, gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U { \left( x,\delta \right) }
}
{ \subseteq} { f^{-1} (U { \left( y,\epsilon \right) })
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass (1) erfüllt ist.}
{}
\inputfaktbeweis
{Metrische Räume/Stetige Abbildungen/Hintereinanderschaltung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathl{L,M,N}{}
\definitionsverweis {metrische Räume}{}{}
und seien
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g: M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\maabbeledisp {g \circ f} {L} {N
} {x} {g(f(x))
} {,}
stetig.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt am einfachsten aus der Charakterisierung von stetig mit offenen Mengen, siehe Satz 36.3.
\zwischenueberschrift{Verknüpfungen und stetige Abbildungen}
Wir verwenden das Symbol ${\mathbb K}$ als gemeinsame Bezeichnung für
\mathkor {} {\R} {und} {{\mathbb C}} {.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}
}
{ = }{\R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
existiert auf ${\mathbb C}$ eine Metrik, die durch den komplexen Betrag gegeben ist.
\inputfaktbeweis
{Stetigkeit/R und C/Negation und Invertierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Die
\definitionsverweis {Negation}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb K} } { {\mathbb K}
} {x} {-x
} {,}
und die
\definitionsverweis {Inversenbildung}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb K} \setminus \{0\}} { {\mathbb K} \setminus \{0\}
} {x} {x^{-1}
} {,}
sind
\definitionsverweis {stetig}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Die erste Aussage folgt direkt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { -x-(-y) }
}
{ =} { \betrag { -x+y }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Zur zweiten Aussage sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{ \betrag { x }
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ = }{ {\min { \left( \frac{ b^2 \epsilon}{2} , \frac{b}{2} \right) } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann gilt für jedes $y$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x-y }
}
{ \leq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\zusatzklammer {wegen
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \betrag { y }
}
{ \geq }{ b/2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x^{-1} - y^{-1} }
}
{ =} { \betrag { \frac{y-x}{xy} }
}
{ =} { { \frac{ \betrag { y-x } }{ \betrag { x } \cdot \betrag { y } } }
}
{ \leq} { \frac{ b^2 \epsilon/2 }{ b^2/2 }
}
{ =} { \epsilon
}
}
{}{}{.}}
{}
{Stetigkeit/R und C/Addition und Multiplikation/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Die
\definitionsverweis {Addition}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb K} \times {\mathbb K} } { {\mathbb K}
} {(x,y)} {x+y
} {,}
und die
\definitionsverweis {Multiplikation}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb K} \times {\mathbb K} } { {\mathbb K}
} {(x,y)} {x \cdot y
} {,}
sind
\definitionsverweis {stetig}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 36.7. }
\inputfaktbeweis
{Stetigkeit/K/Metrischer Raum/Funktionen und Produktraum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und seien
\definitionsverweis {Funktionen}{}{}
\maabbdisp {f_i} {M} { {\mathbb K}
} {}
\zusatzklammer {für \mathlk{i = 1 , \ldots , m}{}} {} {}
gegeben mit der zusammengesetzten Abbildung
\maabbeledisp {f} {M} { {\mathbb K}^m
} {x} {
{ \left( f_1(x) , \ldots, f_m(x) \right) }
} {.}}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ genau dann
\definitionsverweis {stetig}{}{,}
wenn alle Komponentenfunktionen $f_i$ stetig sind.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es genügt, diese Aussage für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu zeigen. Dafür folgt sie direkt aus
Lemma 35.13
unter Verwendung von
Lemma 36.2.
\inputbeispiel{
}
{
Wir betrachten die \stichwort {trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises} {}\zusatzfussnote {Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabb {} {I} {M
} {,}
wobei $I$ ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
ist, deren
\definitionsverweis {Bild}{}{}
gleich einer \anfuehrung{Kurve}{}
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{C
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, nennt man eine \stichwort {Parametrisierung} {} von $C$} {.} {,}
also die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R} {\R^2
} {t} {f(t) = ( \cos t , \sin t )
} {.}
Einer reellen Zahl $t$
\zusatzklammer {im Bogenmaß} {} {}
wird dabei der zugehörige Punkt auf dem Einheitskreis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2 = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zugeordnet. Diese Abbildung ist periodisch mit der Periode $2 \pi$. Sie ist
\definitionsverweis {stetig}{}{,}
da die
\definitionsverweis {trigonometrischen Funktionen}{}{}
\definitionsverweis {Sinus}{}{}
und
\definitionsverweis {Kosinus}{}{}
nach
Satz 12.2
\definitionsverweis {stetig}{}{}
sind und daraus nach
Lemma 36.7
die Stetigkeit der Gesamtabbildung folgt.
}
\inputfaktbeweis
{Stetigkeit/Metrischer Raum/Nach K/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $M$ ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
und seien
\maabbdisp {f,g} {M } { {\mathbb K}
} {}
\definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind auch die Funktionen
\maabbeledisp {f+g} { M} { {\mathbb K}
} {x} {f(x)+g(x)
} {,}
\maabbeledisp {f-g} { M} { {\mathbb K}
} {x} {f(x)-g(x)
} {,}\maabbeledisp {f \cdot g} { M } { {\mathbb K}
} {x} {f(x) \cdot g(x)
} {,} stetig. Für eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
auf der $g$ keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion
\maabbeledisp {f/g} {U} {{\mathbb K}
} {x} {f(x)/g(x)
} {,} stetig.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten Abbildungsdiagramme der Form
\mathdisp {M \stackrel{f,g}{ \longrightarrow} {\mathbb K} \times {\mathbb K} \stackrel{ + } \longrightarrow {\mathbb K}} { . }
Die Abbildung links ist stetig aufgrund von
Lemma 36.7.
Die rechte Abbildung ist stetig aufgrund von
Lemma 36.6.
Daher ist wegen
Lemma 36.4 auch die Gesamtabbildung stetig. Die Gesamtabbildung ist aber die Addition der beiden Funktionen. Für die Multiplikation verläuft der Beweis gleich, für die Negation und die Division muss man zusätzlich
Lemma 36.5 heranziehen und
\zusatzklammer {für die Division} {} {} das Diagramm
\mathdisp {U \stackrel{f,g^{-1} }{ \longrightarrow} {\mathbb K} \times {\mathbb K} \stackrel{ \cdot } \longrightarrow {\mathbb K}} { }
betrachten.
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Raum/Lineare Abbildung/Stetig/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei ${\mathbb K}^n$ mit der
\definitionsverweis {euklidischen Metrik}{}{}
versehen und sei
\maabbdisp {\varphi} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K}^m
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$
\definitionsverweis {stetig}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Eine komplex-lineare Abbildung ist auch reell-linear, und die euklidische Metrik hängt nur von der reellen Struktur ab. Wir können also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen. Aufgrund von
Lemma 36.7
können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen. Die Abbildung sei durch
\maabbeledisp {\varphi} {\R^n} {\R
} { { \left( x_1 , \ldots , x_n \right) } } { \sum_{ i = 1 }^{ n } a_ix_i} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_i
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Die Nullabbildung ist konstant und daher stetig, also sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ {\max { \left( \betrag { a_i } , i = 1 , \ldots , n \right) } }
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \in }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x, y \right) }
}
{ \leq }{ \frac{\epsilon}{na}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_i-y_i }
}
{ \leq }{ \frac{\epsilon}{na}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$ und daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ d { \left( \varphi(x), \varphi(y) \right) }
}
{ =} { \betrag { \sum_{ i = 1 }^{ n } a_ix_i - \sum_{ i = 1 }^{ n } a_i y_i }
}
{ =} { \betrag { \sum_{ i = 1 }^{ n } a_i (x_i - y_i) }
}
{ \leq} { \sum_{ i = 1 }^{ n } \betrag { a_i (x_i - y_i) }
}
{ \leq} { n a \betrag { x_i - y_i }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\zwischenueberschrift{Polynome in mehreren Variablen}
Wir haben schon Polynome in einer Variablen verwendet. Ein Polynom in den zwei Variablen
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
ist z.B.
\mathdisp {5+3x+7y+4x^2-xy-2y^2+4x^3-6x^2y+5xy^2-11y^3 +8x^4-6x^2y^2+xy^3} { , }
es ist also eine endliche Summe aus Variablenprodukten
\mathl{x^iy^j}{} mit zugehörigen Koeffizienten. Die folgende präzise Definition verwendet eine Multiindex-Schreibweise, um Polynomfunktionen in beliebig
\zusatzklammer {endlich} {} {}
vielen Variablen einzuführen. Dabei steht ein Index $\nu$ für ein Tupel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nu
}
{ =} { ( \nu_1 , \ldots , \nu_n)
}
{ \in} { \N^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und für Variablen
\mathl{x_1 , \ldots , x_n}{} verwendet man die Schreibweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^\nu
}
{ =} { x_1^{\nu_1} \cdots x_n^{\nu_n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Ein solcher Ausdruck heißt ein \stichwort {Monom} {} in den Variablen
\mathl{x_1 , \ldots , x_n}{.}
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K}
} {(x_1 , \ldots , x_n) } {f(x_1 , \ldots , x_n)
} {,}
die man als eine Summe der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x_1 , \ldots , x_n)
}
{ =} {\sum_{\nu \in \N^n} a_\nu x^{\nu}
}
{ =} {\sum_{\nu \in \N^n} a_\nu x_1^{\nu_1} x_2^{\nu_2} \cdots x_n^{\nu_n}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_\nu
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben kann, wobei nur endlich viele
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_\nu
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind, heißt \definitionswort {polynomiale Funktion}{.}
}
Ein Polynom ist also eine endliche Summe aus mit Konstanten multiplizierten Monomen. Diese Konstanten nennt man die \stichwort {Koeffizienten} {} des Polynoms. Beim eingangs erwähnten Beispiel ist
\mathl{a_{0,0}=5,\, a_{1,0}=3,\, a_{2,1}=-6,\, a_{3,1}=0}{,} u.s.w. Ein Beispiel in den drei Variablen
\mathl{x,y,z}{} ist
\mathdisp {2+6x-4y-3z+5x^2+y^2-2z^2-xy-4xz+ 3 yz + 7x^3+4y^3-5z^3-x^2y+5xy^2-11xz^2 +4x^2y + 8y^2z +3 yz^2 +5xyz + 17 x^{3}y^6z^5} { . }
\inputbemerkung
{}
{
Machen wir uns die Wirkungsweise eines Polynoms $f$ in den Variablen
\mathl{x_1 , \ldots , x_n}{} als Funktion
\maabbdisp {} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K}
} {}
klar. An einer Stelle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{ \left( b_1 , \, \ldots , \, b_n \right)
}
{ \in }{ {\mathbb K}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mathl{f(b)}{} einfach dadurch, dass man für die Variable $x_i$ überall die Zahl $b_i$ einsetzt und alles in ${\mathbb K}$ ausrechnet. Die Variable $x_i$ ist somit einfach die $i$-te Projektion
\maabbeledisp {} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K}
} { \left( b_1 , \, \ldots , \, b_n \right)} { b_i
} {.}
Zumeist benennt man die Koordinaten einfach wieder mit $x_i$. Die Summe und die Produkte von polynomialen Funktionen sind wieder polynomial, und zwar ergibt sich die Summe einfach dadurch, dass man monomweise addiert, und das Produkt dadurch, dass man distributiv ausmultipliziert.
Auch wenn man Polynome in andere Polynome einsetzt, ergibt sich wieder ein Polynom.
}
\inputfaktbeweis
{K^n/Polynomiale Funktion/Stetig/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Eine
\definitionsverweis {polynomiale Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {{\mathbb K}^n} {{\mathbb K}
} {}}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {stetig}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die einzelnen Variablen $x_i$ repräsentieren die $i$-te lineare Projektion \maabbdisp {} { \left( x_1 , \ldots , x_n \right) } { x_i } {.} Nach Satz 36.10 sind diese \definitionsverweis {stetig}{}{.} Aufgrund von Lemma 36.9 sind dann auch die monomialen Funktionen \maabbdisp {x_1^{\nu_1} x_2^{\nu_2} \cdots x_n^{\nu_n}} { {\mathbb K}^n} {{\mathbb K} } {} stetig und damit aus dem gleichen Grund überhaupt alle polynomialen Funktionen.