Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 27

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Bestimme die Eigenvektoren der Funktion ${}\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, ${}x\longmapsto \pi x$.

Aufgabe

Überprüfe, ob der Vektor ${}{\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zur Matrix

${\begin{pmatrix}-2&-5&1\\0&-2&2\\4&-3&5\end{pmatrix}}$

ist und bestimme, falls ein Eigenvektor vorliegt, den zugehörigen Eigenwert.

Aufgabe

Bestimme die Eigenvektoren und die Eigenwerte zu einer linearen Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$

die durch eine Matrix der Form ${}{\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}}$ gegeben ist.

Aufgabe

Zeige, dass der erste Standardvektor ein Eigenvektor zu einer jeden oberen Dreiecksmatrix ist. Was ist der Eigenwert?

Aufgabe *

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}d_{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&d_{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}\,$

eine obere Dreiecksmatrix. Zeige, dass ein Eigenwert zu ${}M$ ein Diagonaleintrag von ${}M$ sein muss.

Aufgabe *

Bestimme die Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume zu einer ebenen Drehung ${}{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$ zu einem Drehwinkel ${}\alpha$, ${}0\leq \alpha <2\pi$, über ${}\mathbb {R}$.

Aufgabe

Zeige, dass jede Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{2}({\mathbb {C} })$ mindestens einen Eigenwert besitzt.

Aufgabe

Es seien

$\varphi ,\psi \colon V\longrightarrow V$

Endomorphismen auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ und es sei ${}v\in V$ ein Eigenvektor von ${}\varphi$ und von ${}\psi$. Zeige, dass ${}v$ auch ein Eigenvektor von ${}\varphi \circ \psi$ ist. Was ist der Eigenwert?

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ ein Isomorphismus auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ mit der Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$. Zeige, dass ${}a\in K$ genau dann ein Eigenwert von ${}\varphi$ ist, wenn ${}a^{-1}$ ein Eigenwert von ${}\varphi ^{-1}$ ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

derart, dass ${}\varphi$ keine Eigenwerte besitzt, dass aber eine gewisse Potenz ${}\varphi ^{n}$, ${}n\geq 2$, Eigenwerte besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung mit

${}\varphi ^{n}=\operatorname {Id} _{V}\,$

für ein gewisses ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass jeder Eigenwert ${}\lambda$ von ${}\varphi$ die Eigenschaft ${}\lambda ^{n}=1$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es sei ${}\lambda \in K$ ein Eigenwert von ${}\varphi$ und ${}P\in K[X]$ ein Polynom. Zeige, dass ${}P(\lambda )$ ein Eigenwert von ${}P(\varphi )$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine quadratische Matrix, die man als Blockmatrix

${}M={\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}}\,$

mit quadratischen Matrizen ${}A$ und ${}B$ schreiben kann. Zeige, dass eine Zahl ${}\lambda \in K$ genau dann ein Eigenwert von ${}M$ ist, wenn ${}\lambda$ ein Eigenwert von ${}A$ oder von ${}B$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und ${}\lambda \in K$. Zeige folgende Aussagen.

1. Der Eigenraum

   $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$

   ist ein Untervektorraum von ${}V$.

2. ${}\lambda$ ist genau dann ein Eigenwert zu ${}\varphi$, wenn der Eigenraum ${}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$ nicht der Nullraum ist.
3. Ein Vektor ${}v\in V,\,v\neq 0$, ist genau dann ein Eigenvektor zu ${}\lambda$, wenn ${}v\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$ ist.

Aufgabe

Es bezeichne ${}V=\mathbb {R} [X]_{\leq d}$ die Menge aller reellen Polynome vom Grad ${}\leq d$. Bestimme die Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume zum Ableitungsoperator

$V\longrightarrow V,\,P\longmapsto P'.$

Der Begriff des Eigenvektors ist auch für unendlichdimensionale Vektorräume definiert und wichtig, wie die folgende Aufgabe zeigt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ der reelle Vektorraum, der aus allen unendlich oft differenzierbaren Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$ besteht.

a) Zeige, dass die Ableitung ${}f\mapsto f'$ eine lineare Abbildung von ${}V$ nach ${}V$ ist.

b) Bestimme die Eigenwerte der Ableitung und zu jedem Eigenwert mindestens einen Eigenvektor.

c) Bestimme zu jeder reellen Zahl die Eigenräume und deren Dimension.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass

${}\operatorname {kern} \varphi =\operatorname {Eig} _{0}{\left(\varphi \right)}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es sei ${}\lambda \in K$ und sei

${}U=\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\,$

der zugehörige Eigenraum. Zeige, dass sich ${}\varphi$ zu einer linearen Abbildung

$\varphi {|}_{U}\colon U\longrightarrow U,\,v\longmapsto \varphi (v),$

einschränken lässt, und dass diese Abbildung die Streckung um den Streckungsfaktor ${}\lambda$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und seien ${}\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ Elemente in ${}K$. Zeige, dass

${}\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\cap \operatorname {Eig} _{\lambda _{2}}{\left(\varphi \right)}=0\,$

ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es maximal ${}\dim _{K}{\left(V\right)}$ viele Eigenwerte zu ${}\varphi$ gibt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (1 Punkt)

Überprüfe, ob der Vektor ${}{\begin{pmatrix}6\\-5\\8\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zur Matrix

${\begin{pmatrix}-8&0&-1\\2&4&-5\\-3&7&2\end{pmatrix}}$

ist und bestimme, falls ein Eigenvektor vorliegt, den zugehörigen Eigenwert.

Aufgabe (1 Punkt)

Überprüfe, ob der Vektor ${}{\begin{pmatrix}7\\2\\3\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zur Matrix

${\begin{pmatrix}2&-4&-9\\-2&7&-2\\-1&-1&0\end{pmatrix}}$

ist und bestimme, falls ein Eigenvektor vorliegt, den zugehörigen Eigenwert.

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Das Nachtleben im Dorf Kleineisenstein besteht aus folgenden Möglichkeiten: dem Bett (bzw. zuhause), der Kneipe „Nachteule“ und dem Tanzclub „Pirouette“. In der Nacht kann man innerhalb einer Stunde folgende Bewegungen beobachten:

a) Von den Leuten im Bett gehen ${}1/10$ in die Nachteule, ${}1/12$ gehen in die Pirouette und der Rest bleibt im Bett.

b) Von den Leuten in der Nachteule gehen ${}1/3$ in die Pirouette, ${}1/5$ gehen ins Bett und der Rest bleibt in der Nachteule.

c) Von den Leuten in der Pirouette bleiben ${}3/5$ in die Pirouette, ${}8$ Prozent gehen in die Nachteule, der Rest geht ins Bett.

1. Erstelle eine Matrix, die die Bewegungen innerhalb einer Stunde beschreibt.
2. Kleineisenstein hat ${}500$ Einwohner. Bei welcher Verteilung der Einwohner auf die drei Möglichkeiten ändert sich die Verteilung innerhalb einer Stunde nicht?

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann eine Streckung ist, wenn jeder Vektor ${}v\in V,\,v\neq 0,$ ein Eigenvektor von ${}\varphi$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}\,.$

Zeige, dass ${}M$ als reelle Matrix keine Eigenwerte besitzt. Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume von ${}M$ als komplexer Matrix.

Aufgabe (6 Punkte)

Betrachte die reellen Matrizen

${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {R} )\,.$

Man charakterisiere in Abhängigkeit von ${}a,b,c,d$, wann eine solche Matrix

1. zwei verschiedene Eigenwerte,
2. einen Eigenwert mit einem zweidimensionalen Eigenraum,
3. einen Eigenwert mit einem eindimensionalen Eigenraum,
4. keinen Eigenwert,

besitzt.

Fußnoten