Formuliere die folgenden Sätze.
- Die Dimensionsformel für lineare Abbildungen.
- Das Quotientenkriterium für eine Reihe.
- Der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen.
- Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung.
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Es sei ein
reelles Intervall
und sei
-
eine
stetige Funktion. Es sei
und es sei
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die zugehörige
Integralfunktion.
Dann ist
differenzierbar
und es gilt
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für alle
.
Löse die lineare Gleichung
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über und berechne den Betrag der Lösung.
Es ist
Der Betrag ist
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Es seien die beiden Polynome
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gegeben.
a) Berechne
(es soll also in eingesetzt werden).
b) Berechne die Ableitung von direkt und mit Hilfe der Kettenregel.
a) Es ist
b) Die Ableitung von ist
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Es ist und
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Nach der Kettenregel ist daher
Es seien
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differenzierbare Funktionen.
Beweise durch Induktion über die Beziehung
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Bestimme die
inverse Matrix
zu
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Es sei eine Basis von und eine Basis von . Wir betrachten die Familie der Vektoren
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Wegen kann diese Familie nicht linear unabhängig sein, da es sonst einen -dimensionalen Untervektorraum von geben würde. Also gibt es Koeffizienten , die nicht alle sind, mit
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Dieser Vektor gehört zu . Er ist nicht , da andernfalls beidseitig alle Koeffizienten sein müssten.
Berechne die Summe
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Mit der Formel für die geometrische Reihe ist
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Ferner ist
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Also ist insgesamt
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Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.
Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir
annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle
positive
reelle Zahlen
sind. Es ist
-
Somit folgt die Konvergenz aus dem
Majorantenkriterium und der
Konvergenz
der
geometrischen Reihe.
Wegen
und
muss nach dem Zwischenwertsatz im Intervall eine Nullstelle von liegen.
Die Intervallmitte ist , dort hat den Wert
-
Dies ist negativ, also muss eine Nullstelle im Intervall liegen.
Die Intervallmitte von diesem Intervall ist , dort hat den Wert
-
Dies ist positiv, also muss eine Nullstelle im Intervall
liegen.
Die Intervallmitte von diesem Intervall ist , dort hat den Wert
-
Dies ist negativ, also muss eine Nullstelle im Intervall liegen. Die Länge dieses Intervalls ist .
Zeige, dass die Funktion streng wachsend ist.
Die Ableitung von
ist
-
Wegen
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ist
, und da der Kosinus nur bei reellen Zahlen der Form
(
) den Wert
besitzt, besitzt
nur dort eine Nullstelle. Nach
Fakt ***** (2) (angewendet auf ein beliebiges beschränktes Teilintervall) ist die Funktion streng wachsend.
Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu
und
eingeschlossen wird.
Bestimme eine Stammfunktion von
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für .
Wir machen den Ansatz für die Partialbruchzerlegung, also
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Multiplikation mit dem Hauptnenner führt auf
Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich das lineare Gleichungssystem
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und
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Addition der ersten beiden Gleichungen ergibt
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Also ist
,
-
und
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Somit ist
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und eine Stammfunktion ist
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a) Finde alle
Lösungen
der
inhomogenen linearen Differentialgleichung
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für
.
b) Löse das Anfangswertproblem
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a) Wir berechnen zuerst die Lösungen der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung
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Eine Stammfunktion zu ist . Daher sind
(mit )
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die Lösungen der homogenen Gleichung.
Zur Bestimmung einer Lösung der inhomogenen Gleichung müssen wir eine Stammfunktion zu
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bestimmen. Eine solche ist
. Somit sind die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung gleich
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b) Zur Lösung des Anfangswertproblems müssen wir das aus Teil a) bestimmen. Die Anfangsbedingung führt auf
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also ist und
-
ist die Lösung des Anfangswertproblems.
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