Kurs:Riemannsche Flächen/3/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	10	5	3	2	4	5	4	3	3	6	4	5	4	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine holomorphe Abbildung ${}\varphi \colon Y\rightarrow X$ zwischen riemannschen Flächen.
2. Eine Überlagerung ${}p\colon Y\rightarrow X$ zwischen topologischen Räumen.
3. Eine Prägarbe ${}{\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$.
4. Eine meromorphe Funktion ${}f$ auf einer riemannschen Fläche ${}X$.
5. Ein Divisor auf einer riemannschen Fläche ${}X$.
6. Das Geschlecht einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Halme der Strukturgarbe auf einer riemannschen Fläche.
2. Der Satz über den Grad von Hauptdivisoren.
3. Die Serre-Dualität.

Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.

Aufgabe (5 Punkte)

Beschreibe Aspekte der Analysis, die für die Theorie der riemannschen Flächen besonders relevant sind.

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die holomorphe Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(z,w)\longmapsto z^{3}+zw+w^{2}.$

Für welche Punkte ${}P\in {\mathbb {C} }^{2}$ ist die Tangentialabbildung

$T_{P}{\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow T_{\varphi (P)}{\mathbb {C} }$

surjektiv?

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Fixpunkte der Abbildung

${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(s,t)\longmapsto (t,s).$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom vom Grad ${}\geq 2$ und sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$

die zugehörige Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ keine Überlagerung ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,F\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,G\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von kommutativen topologischen Gruppen (mit stetigen Gruppenhomomorphismen). Es trage ${}F$ die induzierte Topologie von ${}G$ und die Surjektion ${}p\colon G\rightarrow H$ habe die Eigenschaft, dass es zu jedem Element ${}h\in H$ eine offene Umgebung ${}h\in W\subseteq H$ und einen stetigen Schnitt zu ${}p$ gibt. Zeige, dass dann für jeden topologischen Raum ${}X$ die zugehörige Sequenz der Garben der stetigen Abbildungen in diese Gruppen, also

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,F)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,G)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,H)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,$

ebenfalls exakt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche und sei ${}f$ eine holomorphe Funktion auf ${}X$. Zeige, dass der Funktionskeim ${}f_{Q}$ zu einem Punkt ${}Q\in X$ nur zu einem Funktionskeim ${}f_{P}$ (in einem Punkt ${}P\in X$) analytisch fortgesetzt werden kann.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform ${}z^{2}dz$ auf ${}{\mathbb {C} }$ bezüglich des Weges

$\gamma \colon [-1,0]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto 2t^{2}-{\mathrm {i} }t.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass für eine endliche holomorphe Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

zwischen riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ und einer holomorphen Differentialform ${}\omega$ auf ${}Y$ mit dem zugehörigen Divisor ${}D=\operatorname {div} {\left(\omega \right)}$ der zurückgezogene Divisor ${}\varphi ^{*}D$ im Allgemeinen nicht der Divisor zur zurückgezogenen Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ ist.

Aufgabe * (6 (1+4+1) Punkte)

Es sei ${}P\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ ein Punkt der projektiven Geraden und ${}n\in \mathbb {Z}$.

1. Zeige, dass die zugehörige invertierbare Garbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(nP)$ unabhängig vom Punkt ${}P$ ist. Wir bezeichnen sie mit ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(n)$.
2. Bestimme eine Basis des Vektorraumes ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(n\{\infty \})\right)}$ als Untervektorraum von

   ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {M}}\right)}={\mathbb {C} }(z)\,.$

3. Bestimme die Dimension von ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(n)\right)}$.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht ${}1$. Es sei ${}D$ ein Divisor auf ${}X$ vom Grad ${}3$ und sei ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)$ die zugehörige invertierbare Garbe auf ${}X$.

1. Zeige, dass ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$ die Dimension ${}3$ besitzt.
2. Es sei ${}x,y,z$ eine Basis von ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$. Zeige, dass es in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(3D)\right)}$ eine nichttriviale Beziehung zwischen den Monomen in ${}x,y,z$ vom Grad ${}3$ geben muss.

Aufgabe * (5 (3+1+1) Punkte)

Wir betrachten die meromorphe Differentialform ${}\omega ={\frac {z+1}{z(z-1)}}dz$ auf der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$.

1. Bestimme zu jedem Punkt den zugehörigen Hauptteil der Differentialform.
2. Berechne in jedem Punkt das Residuum.
3. Bestätige, dass das Gesamtresiduum gleich ${}0$ ist.

Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)

Es sei ${}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, ${}z\longmapsto {\frac {(z-1)(z+1)}{z}}$, die durch die rationale Funktion ${}{\frac {(z-1)(z+1)}{z}}$ gegebene holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich.

1. Bestimme den Verzweigungsdivisor ${}R$ von ${}\varphi$.
2. Beweise die Formel von Riemann-Hurwitz

   ${}\operatorname {Grad} \,(R)=2{\left(\operatorname {Grad} \,(\varphi )-1\right)}\,$

   in diesem Fall direkt.