Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 24/latex
\setcounter{section}{24}
\zwischenueberschrift{Auswertung von holomorphen Differentialformen längs eines Weges}
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Lokal konstante Funktionen/Holomorphe Differentialform/Kohomologieklasse/Geschlossener Weg/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.}
Es sei $\omega$ eine
\definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{}
auf $X$ mit der zugehörigen Kohomologieklasse
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta(\omega)
}
{ \in }{ H^1(X, {\mathbb C} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezüglich der exakten Garbensequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, {\mathbb C} \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, {\mathcal O}_{ X } \, \stackrel{ d }{\longrightarrow} \, \Omega_X \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
\zusatzklammer {siehe
Lemma 15.8} {} {.}}
\faktfolgerung {Dann ist für jeden
\definitionsverweis {geschlossenen Weg}{}{}
\maabb {\gamma} {[0,1] } {X
} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma \omega
}
{ =} { \int_\gamma \delta(\omega)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Überdeckung mit Kreisscheiben. Auf $U_i$ besitzt $\omega$ eine holomorphe Stammform, also eine holomorphe Funktion $h_i$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ dh_i
}
{ = }{ \omega
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf $U_i$. Die zugehörige Kohomologieklasse in $H^1(X, {\mathbb C} )$ wird durch den Čech-Kozykel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_{ij}
}
{ = }{ h_j-h_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_{ij}
}
{ = }{ U_i \cap U_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben. Es sei
\mathl{V_1, V_2 , \ldots , V_{n-1}, V_n = V_1}{} eine
\definitionsverweis {topologische Kette}{}{}
um $\gamma$ und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_k
}
{ \in }{V_k \cap V_{k+1} \cap \gamma ([0,1])
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 1 , \ldots , n-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir setzen ferner
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0
}
{ = }{ \gamma(0)
}
{ = }{ \gamma(1)
}
{ = }{ P_n
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $\gamma_k$ der Teilweg, der von $P_{k-1}$ nach $P_{k}$ führt und somit in $U_{\alpha(k)}$ verläuft. Dann ist insgesamt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_\gamma \omega
}
{ =} { \sum_{k = 1}^{n} \int_{\gamma_k} \omega
}
{ =} { \sum_{k = 1}^{n} \int_{\gamma_k} dh_{\alpha(k) }
}
{ =} { \sum_{k = 1}^{n} { \left( h_{\alpha(k) } (P_{k}) - h_{\alpha(k) } (P_{k-1}) \right) }
}
{ =} { - h_{\alpha(1)} (P_0) + \sum_{k = 1}^{n-1} { \left( h_{\alpha(k) } (P_{k}) - h_{\alpha(k+1) } (P_{k}) \right) } + h_{\alpha (n)} (P_n)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{k = 1}^{n-1} { \left( h_{\alpha(k) } (P_{k}) - h_{\alpha(k+1) } (P_{k}) \right) }
}
{ =} { \sum_{k = 1}^{n-1} f_{ \alpha(k+1)\alpha(k)} (P_k)
}
{ =} { \int_\gamma \delta(c)
}
{ } {}
}
{}{.}
Die Wegintegrale $\int_\gamma \omega$ hängen nur von der Homotopieklasse des Weges ab. Dies folgt aus
Satz 17.7
und für geschlossene Wege auch aus
Lemma 24.1
in Verbindung mit
Lemma 23.5 (6).
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Geschlossener Weg/Exaktheitstest/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und $\omega$ eine
\definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{}
auf $X$.}
\faktfolgerung {Dann ist $\omega$ genau dann
\definitionsverweis {exakt}{}{,}
wenn für alle
\definitionsverweis {geschlossenen Wege}{}{}
$\gamma$ in $X$ die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma \omega
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ = }{ \delta(\omega)
}
{ \in }{ H^1(X, {\mathbb C} )
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezüglich der kurzen
\definitionsverweis {exakten Garbensequenz}{}{}
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, {\mathbb C} \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, {\mathcal O}_{ X } \, \stackrel{ d }{\longrightarrow} \, \Omega_X \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
\zusatzklammer {siehe
Lemma 15.8} {} {.}
Die Exaktheit von $\omega$ bedeutet, dass es eine holomorphe Funktion $h$ auf $X$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ dh
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Dies ist aufgrund der
\definitionsverweis {langen Kohomologiesequenz}{}{}
äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta(\omega)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
Lemma 24.1
folgt daher die Aussage aus
Lemma 23.7.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Kompakt/Holomorphe Differentialform/Geschlossener Weg/Nulltest/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und $\omega$ eine
\definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{}
auf $X$.}
\faktfolgerung {Dann ist $\omega$ genau dann trivial,
wenn für alle
\definitionsverweis {geschlossenen Wege}{}{}
$\gamma$ in $X$ die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma \omega
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Korollar 24.2, da auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche nur die triviale holomorphe Differentialform exakt ist, da als Stammformen nur die konstanten Funktionen in Frage kommen.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Kompakt/Holomorphe Differentialform/Zugehörige Periodenabbildung/Injektiv/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen natürlichen
\definitionsverweis {injektiven}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} { H^0(X, \Omega_X )} { \operatorname{Hom} { \left( \pi_1(X), {\mathbb K} \right) }
} { \omega} { { \left( \gamma \mapsto \int_\gamma \omega \right) }
} {,}
von den globalen
\definitionsverweis {holomorphen Differentialformen}{}{}
in den
\definitionsverweis {Homorphismenraum}{}{}
von der
\definitionsverweis {Fundamentalgruppe}{}{}
$\pi_1(X)$ nach ${\mathbb K}$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Lemma 24.1 und Korollar 23.9 unter Verwendung der Injektivität von \maabb {\delta} {H^0(X,\Omega_X)} { H^1(X, {\mathbb C} ) } {.}
Das Bild der zu $\omega$ gehörenden \stichwort {Periodenabbildung} {}
\mathl{\gamma \mapsto \int_\gamma \omega}{} nennen wir die \stichwort {Periodengruppe} {} zu $\omega$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Per} (\omega)
}
{ =} { { \left\{ \int_\gamma \omega \mid \gamma \in \pi_1(X) \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es handelt sich um eine Untergruppe von ${\mathbb C}$. Es sei erwähnt, dass die Periodengruppe im Allgemeinen kein Gitter sein muss.
\inputfaktbeweis
{Komplexer Torus/Holomorphe Differentialform/Periodengitter/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {komplexer Torus}{}{}
und $\omega$ eine nichttriviale
\definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{}
auf $X$.}
\faktfolgerung {Dann ist das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
unter dem natürlichen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} { \pi_1(X) \cong \Z^2 } { {\mathbb C}
} { \gamma} { \int_\gamma \omega
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
$P$ in ${\mathbb C}$, und $X$ ist
\definitionsverweis {biholomorph}{}{}
zu ${\mathbb C}/P$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ {\mathbb C} /\Gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem Gitter
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ = }{ \langle v_1,v_2 \rangle
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der Projektion
\maabb {p} { {\mathbb C} } { X
} {.}
Die Fundamentalgruppe von $X$ ist
\mathl{\Z \times \Z}{,} als Erzeuger kann man die Bilder der beiden Wege
\maabbeledisp {\gamma_1} {[0,1]} { X
} {t} { [tv_1]
} {,}
und
\maabbeledisp {\gamma_2} {[0,1]} { X
} {t} { [tv_2]
} {,}
wählen. Die Bildgruppe
\mathl{{ \left\{ \int_\gamma \omega \mid \gamma \in \pi_1(X) \right\} }}{} wird von
\mathkor {} {\int_{\gamma_1} \omega} {und} {\int_{\gamma_2} \omega} {}
erzeugt. Es ist
\mathl{\Gamma(X, \Omega_X)}{} nach
Korollar 15.14
eindimensional und wird von $dz$ erzeugt, wobei $z$ die Variable auf ${\mathbb C}$ sei und die Differentialform $dz$ auf ${\mathbb C}$ sich wegen der Invarianz nach unten drückt. Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ s dz
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist somit unter Verwendung von
Satz Anhang.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{\gamma_1} \omega
}
{ =} { \int_{t \mapsto tv_1 } p^* \omega
}
{ =} { \int_{t \mapsto tv_1 } sdz
}
{ =} { \int_0^1 s v_1 dt
}
{ =} { sv_1
}
}
{}{}{}
und ebenso
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{\gamma_2} \omega
}
{ =} { sv_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also wird unter der Multiplikation mit $s$, also
\maabbele {s} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {z} { sz
} {,}
das Gitter $\Gamma$ in das Periodengitter $P$ überführt und nach
Lemma 9.11 (Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022))
sind
\mathkor {} {{\mathbb C} /\Gamma} {und} {{\mathbb C} /P} {}
äquivalent.
\inputbemerkung
{}
{
Auf einem
\definitionsverweis {Torus}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ S^1 \times S^1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist unabhängig von einer holomorphen Struktur
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi_1(X)
}
{ =} { \Z \times \Z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit den beiden jeweiligen einfachen Umkreisungen
\mathkor {} {\gamma_1} {und} {\gamma_2} {}
als Basiswege
\zusatzklammer {die allerdings nicht eindeutig bestimmt sind} {} {}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H^1(X, {\mathbb C})
}
{ \cong }{ {\mathbb C}^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
siehe
Beispiel 22.7.
Nach
Korollar 23.9
liegt ein natürlicher
\definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} { H^1(X, {\mathbb C} ) } { \operatorname{Hom} { \left( \pi_1(X), {\mathbb C} \right) }
} {c} { { \left( \gamma \mapsto \int_\gamma c \right) }
} {,}
vor. Eine Kohomologieklasse links kann man also mit einer linearen Abbildung identifizieren, bei der den Basiswegen eine komplexe Zahl
zugeordnet wird. Insbesondere erhält man eine Basis auf
\mathl{H^1(X, {\mathbb C} )}{} in den zwei Klassen, die den beiden Auswertungen
\mathkor {} {e_{\gamma_1}} {und} {e_{\gamma_1}} {}
entsprechen.
Wenn der Torus zusätzlich die Struktur einer
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
besitzt, so erhält man mit
Lemma 15.8
die
\definitionsverweis {exakte Garbensequenz}{}{}
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, {\mathbb C} \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, {\mathcal O}_{ X } \, \stackrel{ d }{\longrightarrow} \, \Omega_X \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
und dazu
\zusatzklammer {die ersten beiden Terme wurden schon verarbeitet} {} {}
die
\definitionsverweis {lange Kohomologiesequenz}{}{}
\mathdisp {0 \longrightarrow H^0(X, \Omega_X ) \stackrel{\delta}{ \longrightarrow} H^1(X, {\mathbb C} ) \longrightarrow H^1(X, {\mathcal O}_{ X } ) \longrightarrow H^1(X, \Omega_X ) \longrightarrow \ldots} { }
\zusatzklammer {siehe auch
Lemma 31.4} {} {.}
Der Raum
\mathl{H^0(X, \Omega_X )}{} ist nach
Korollar 15.14
\definitionsverweis {eindimensional}{}{.}
Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ {\mathbb C} /\Gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ = }{ \langle v_1,v_2 \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
realisiert wird, so sind die Bilder der Kantenwege
\mathkor {} {t \mapsto tv_1} {bzw.} {t \mapsto tv_2} {}
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ t
}
{ \in }{ [0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
Basiswege des Torus. Nach dem Beweis zu
Korollar 24.5
ist die Auswertung, die zu einer holomorphen Differentialform gehört, von der Form $\gamma_1 \mapsto s v_1, \gamma_2 \mapsto sv_2$ mit einem festen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also ein Vielfaches von
\mathl{v_1 e_{\gamma_1} +v_2 e_{\gamma_1}}{.} Das Gitter spiegelt sich also darin wieder, wie der eindimensionale Raum
\mathl{H^0(X, \Omega_X )}{} im zweidimensionalen nur von der Topologie abhängigen Raum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H^1(X, {\mathbb C} )
}
{ \cong }{ {\mathbb C}^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt. Ein eindimensionaler komplexer Untervektorraum von
\mathl{H^1(X, {\mathbb C} )}{} kann genau dann als
\mathl{H^0(X, \Omega_X )}{} eines komplexen Torus realisiert werden, wenn die beiden Komponenten reell-linear unabhängig in ${\mathbb C}$ sind.
}
\inputbemerkung
{}
{
Eine antiholomorphe Differentialform auf einer
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
$X$ ist eine Differentialform
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal E^{(1)} } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die lokal die Form
\mathl{\overline{ f } d \overline{ z }}{} besitzt. Durch komplexe Konjugation entsteht aus jeder
\definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{}
eine antiholomorphe Differentialform. Es gelten entsprechende Gesetzmäßigkeiten.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ W^2
}
{ =} { Z { \left( Z^2-1 \right) } { \left( Z^2+1 \right) }
}
{ =} { Z { \left( Z^4-1 \right) }
}
{ =} { Z (Z-1)(Z+1)(Z- { \mathrm i} )(Z+ { \mathrm i} )
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
$V$ und die vervollständigte
\zusatzklammer {kompakte} {} {}
Version $X$ davon, siehe
Korollar 2.8
und
Lemma 14.13.
Nach
Lemma 15.10
und
Aufgabe 15.9
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ { \frac{ dz }{ w } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{}
auf $X$ und nach
Lemma 17.12
ist das dort beschriebene Wegintegral $\int_\gamma \omega$ für $z$ reell zwischen
\mathkor {} {-1} {und} {0} {}
positiv. Es sei $\zeta$ eine
\definitionsverweis {primitive}{}{}
achte
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{,}
beispielsweise
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta
}
{ = }{ e^{ \pi { \mathrm i} /4 }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Durch $Z \mapsto \zeta^2 Z$ und $W \mapsto \zeta W$ wird wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \zeta^2 Z { \left( \zeta^8 Z^4 -1 \right) }
}
{ =} { \zeta^2 Z { \left( Z^4-1 \right) }
}
{ =} { \zeta^2W^2
}
{ =} { { \left( \zeta W \right) }^2
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine biholmorphe Abbildung $\theta$ auf $V$ und dann auch auf $X$ festgelegt. Nach
Satz Anhang.
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{\theta \circ \gamma} \omega
}
{ =} { \int_{\gamma} \theta^* \omega
}
{ =} { \int_{ \gamma} \zeta\omega
}
{ =} { \zeta \int_{ \gamma} \omega
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Entsprechend sind die Wegintegrale zu $\omega$ längs der Wege
\mathl{\theta^n \circ g}{} gleich
\mathl{\zeta^n \int_{ \gamma} \omega}{.} Nach
Korollar 19.12 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
sind die Potenzen $1,\zeta,\zeta^2,\zeta^3$
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
über $\Q$ und das überträgt sich auf die Perioden $\int_{ \gamma} \omega, \, \int_{ \theta \circ \gamma} \omega = \zeta \int_{\gamma} \omega, \, \int_{\theta^2 \circ \gamma} \omega = \zeta^2 \int_{ \gamma} \omega, \, \int_{ \theta^3 \circ \gamma} \omega = \zeta^3\int_{ \gamma} \omega$. Deshalb bilden die Perioden zu $\omega$ zu den verschiedenen geschlossenen Wegen eine Untergruppe vom
\definitionsverweis {Rang}{}{}
zumindest $4$ und daher ist die Periodengruppe kein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
in ${\mathbb C}$. Aufgrund von Eigenschaften des achten Kreisteilungskörpers handelt es sich um eine
\definitionsverweis {dichte}{}{}
Untergruppe.
}