Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 11

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Seien ${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$ teilerfremd und

$K^{\times }\times K^{2}\longrightarrow K^{2},\,(t,(x,y))\longmapsto \left(t^{a}x,\,t^{b}y\right),$

die zugehörige Operation der Einheitengruppe auf der Ebene ${}K^{2}$. Zeige, dass neben dem Nullpunkt die Bahnen der Operation die Form

$V{\left(cX^{b}-dY^{a}\right)}\setminus \{(0,0)\}$

haben, wobei ein Koeffizient ${}c$ oder ${}d$ als ${}1$ gewählt werden kann.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Seien ${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$ teilerfremd und

${}V=V{\left(Z^{a}-W^{b}\right)}\subseteq K^{2}\,.$

Zeige, dass die bijektive Abbildung

$K\longrightarrow V,\,t\longmapsto \left(t^{b},\,t^{a}\right),$

mit den Operationen der Einheitengruppe ${}K^{\times }$ verträglich ist, wenn ${}K^{\times }$ auf ${}K$ durch Multiplikation wirkt und auf ${}V$ durch Einschränkung der Operation

$K^{\times }\times K^{2}\longrightarrow K^{2},\,(t,(z,w))\longmapsto \left(t^{b}z,\,t^{a}w\right).$

Aufgabe

Zeige, dass die Lösungsmenge des Gleichungssystems

${}x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-y_{1}^{3}+3y_{1}y_{2}^{2}=0\,,$

${}2x_{1}x_{2}-3y_{1}^{2}y_{2}+y_{2}^{3}=0\,,$

${}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}=1\,,$

im ${}\mathbb {R} ^{4}$ eine reelle eindimensionale Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe

Es sei ${}V{\left(Z^{a}-W^{b}\right)}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}=\mathbb {R} ^{4}$ mit ${}a,b$ teilerfremd. Beschreibe ${}V$ durch zwei reelle Gleichungen in vier reellen Variablen. Beschreibe ${}V\cap S^{3}$ durch drei reelle Gleichungen in vier reellen Variablen und zeige, dass dies eine eindimensionalen reelle Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe

Wir betrachten die Normalisierung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow V{\left(X^{2}Z-Y^{2}\right)}\subseteq \mathbb {R} ^{3},\,(x,u)\longmapsto \left(x,\,xu,\,u^{2}\right),$

des reellen Whitney-Regenschirms, siehe Beispiel 5.6. Bestimme die Einschränkung dieser Abbildung auf die Sphäre ${}S^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$. Kann man das Bild dieser Einschränkung algebraisch beschreiben?

Aufgabe *

Wir betrachten die reelle algebraische Kurve

${}C=V{\left(Y^{4}-Y^{2}+X^{2}\right)}\subset \mathbb {R} ^{2}\,.$

Zeige, dass durch

$[0,2\pi [\longrightarrow C,\,\theta \longmapsto \left(\sin \theta \cos \theta ,\,\sin \theta \right),$

eine Parametrisierung von ${}C$ gegeben ist, die surjektiv und abgesehen von einem Punktepaar injektiv ist.

Aufgabe

Bestimme die Fundamentalgruppe der reellen algebraischen Kurve

${}C=V{\left(Y^{4}-Y^{2}+X^{2}\right)}\subset \mathbb {R} ^{2}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein nichtkompakter Hausdorffraum. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten kompakten Raum ${}Y$ derart gibt, dass ${}X\subseteq Y$ offen ist und ${}Y\setminus X$ aus einem einzigen Punkt besteht.

In der vorstehenden Aufgabe spricht von der Ein-Punkt-Kompaktifizierung von ${}X$.

Aufgabe

Zeige, dass die Ein-Punkt-Kompaktifizierung des ${}\mathbb {R} ^{n}$ die Sphäre ${}S^{n}$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass der im Uhrzeigersinn durchlaufene Kreis

${}S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

trivial ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine Ellipse ${}E\subseteq V\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ trivial ist, wobei ${}V$ eine Ebene im ${}\mathbb {R} ^{3}$ bezeichnet.

Aufgabe

Beschreibe den Torus ${}S^{1}\times S^{1}$ als Rotationsmenge im ${}\mathbb {R} ^{3}$.