Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	10	4	2	3	2	3	4	10	2	4	4	4	4	2	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine irreduzible affin-algebraische Menge ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
2. Die Lokalisierung eines kommutativen Ringes ${}R$ an einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$.
3. Eine spezielle Quotientensingularität.
4. Die Milnorzahl einer durch ein Polynom ${}f$ gegebenen Hyperflächensingularität.
5. Die Krulldimension eines kommutativen Ringes ${}R$.
6. Ein Komplex von Moduln.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über implizite Abbildungen.
2. Der Satz über die Struktur des Moduls der Kählerdifferentiale für einen Polynomring.
3. Der Satz über die homologische Charakterisierung regulärer Ringe.

Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Tangentialraum an die Faser im Punkt ${}(2,-1,3)$ der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto \left(x^{2}e^{z}-y^{3},\,{\frac {x}{e^{yz}}}\right),$

und zwar sowohl durch lineare Gleichungen als auch durch eine parametrisierte Gerade.

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe für vorgegebene natürliche Zahlen ${}p,q,n$ mit ${}p+q\leq n$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,$

deren Hesse-Form im Nullpunkt den Typ ${}(p,q)$ besitzt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}{\mathfrak {m}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ das durch die Variablen erzeugte maximale Ideal im Polynomring über einem Körper ${}K$ und ${}f$ ein Polynom mit ${}f\in {\mathfrak {m}}^{s}$. Zeige, dass für jede formale partielle Ableitung

${}{\frac {\partial f}{\partial X_{i}}}\in {\mathfrak {m}}^{s-1}\,$

gilt.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass zu einem Punkt ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ das zugehörige Ideal

$(X_{1}-a_{1},X_{2}-a_{2},\ldots ,X_{n}-a_{n})$

maximal ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V\subset {{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{n}}$ eine affin-algebraische Menge und

${}U:={{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{n}}\setminus V\,$

das offene Komplement. Zeige, dass ${}U$ in der metrischen Topologie wegzusammenhängend ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}P\in V$ ein glatter Punkt einer affin-algebraischen Menge ${}V$. Zeige, dass es eine offene affine Umgebung ${}P\in U\subseteq V$ derart gibt, dass ${}U$ in jedem Punkt glatt ist.

Aufgabe (10 (2+1+2+2+2+1) Punkte)

Es sei ${}V=V(XYZ)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$.

1. Bestimme die glatten Punkte von ${}V$.
2. Skizziere ${}V$ und den singulären Ort von ${}V$.
3. Analysiere das Schnittverhalten von ${}V$ mit beliebigen Ebenen.
4. Analysiere das Schnittverhalten von ${}V$ mit beliebigen Geraden.
5. Berechne die Hilbert-Funktion des Koordinatenringes ${}K[X,Y,Z]/(XYZ)$ für die Argumente ${}n\leq 4$.
6. Was ist die Hilbert-Samuel-Multiplizität des lokalen Ringes ${}K[X,Y,Z]_{(X,Y,Z)}/(XYZ)$?

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme ein minimales Erzeugendensystem für das maximale Ideal im lokalen Ring zum Punkt

${}(1,0,0,1)\in V(XY-UV)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{4}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}A=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)$ mit ${}F\neq 0$. Zeige, dass der ${}A$- Modul der Kählerdifferentiale ${}\Omega _{A{|}K}$ eine endliche freie Auflösung besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}f(x)=x^{n}$ mit ${}n\geq 1$. Wir betrachten die Entfaltung ${}x^{n}+w_{n-1}x^{n-1}+w_{n-2}x^{n-2}+\cdots +w_{1}x+w_{0}$ mit dem Deformationsparameter ${}\left(w_{n-1},\,\ldots ,\,w_{0}\right)\in {\mathbb {C} }^{n}$. Zeige, dass man den Term ${}w_{n-1}x^{n-1}$ „wegtransformieren“ kann, dass es also eine Transformation (einen Koordinatenwechsel) derart gibt, dass man in der transformierten Situation ohne diesen Term auskommt, aber nach wie vor jede deformierte Funktion ${}f_{w}$ vorkommt.

Was hat diese Beobachtung mit dem Jacobiideal und der Standardentfaltung zu tun?

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten ${}f=X^{4}+Y^{7}$. Für welche der folgenden ${}h$ kann man mit Hilfe von Lemma 27.9 darauf schließen, dass ${}f$ und ${}f+h$ rechtsäquivalent sind?

1. ${}h=X^{4}Y^{7}\,,$

2. ${}h=X^{2}Y^{8}\,,$

3. ${}h=5X^{6}-X^{4}Y^{5}-Y^{17}\,,$

4. ${}h=X^{5}+Y^{8}\,.$

   Ist ${}f$ rechtsäquivalent zu ${}X^{4}+Y^{7}+X^{5}+Y^{8}$?

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die minimale Bestimmtheit von

${}f=X^{3}-XY^{2}+Y^{4}\,$

mit Hilfe von Satz 28.2.

Aufgabe (2 Punkte)

Welche Charakterisierungen für die zweidimensionalen ADE-Singularitäten kennen Sie?

Anhang

Lemma

Es seien ${}f,h\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, ${}0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, holomorphe Funktionen. Im lokalen Ring ${}{\mathcal {O}}_{n}$ gelte ${}f\in {\mathfrak {m}}^{3}$ und ${}h\in J_{f}^{2}$.

Dann ist ${}f+h$ rechtsäquivalent zu ${}f$.

Satz

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, ${}0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion, wobei im lokalen Ring ${}{\mathcal {O}}_{n}$ die Beziehung

${}{\mathfrak {m}}^{r+1}\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}\cdot J_{f}+{\mathfrak {m}}^{r+2}\,$

gelte, wobei ${}J_{f}$ das Jacobiideal bezeichne und ${}r$ eine natürliche Zahl ist.

Dann ist ${}f$ ${}r$- bestimmt.