Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 29
- Einfache Singularitäten
Es sei , offen, eine holomorphe Funktion. Man sagt, dass im Nullpunkt eine einfache Singularität besitzt, wenn es eine endliche Liste von holomorphen Funktionen (die ebenfalls auf offenen Mengen des definiert sind) derart gibt, dass in jeder Entfaltung
von mit offen und zusammenhängend und jede deformierte Funktion mit aus einer hinreichend kleinen offenen Umgebung rechtsäquivalent zu einem ist.
Zur Liste gehören natürlich stets selbst und der reguläre Funktionskeim. Es geht also darum, inwiefern die durch gegebene Singularität in nichtrechtsäquivalente Singularitäten deformiert werden kann, wie groß also die „Deformationsklasse“ ist. Aufgrund von Bemerkung 27.2 geht es nur um das Verhalten von Entfaltungen in beliebig kleinen Umgebungen von . Auf den ersten Blick scheint dieses Konzept ziemlich kompliziert und unmotiviert zu sein; das Erstaunliche ist, dass man diese einfachen Singularitäten explizit klassifizieren kann und dass diese Klasse mit anders charakterisierten Klassen von Singularitäten übereinstimmt.
Der folgende Satz ist der Klassifikationssatz von Arnold für einfache Kurvensingularitäten.
Es sei mit offen eine holomorphe Funktion mit einer einfachen Singularität im Nullpunkt.
Dann ist rechtsäquivalent zu einer der folgenden Funktionen.
Der Beweis erfolgt in mehreren Schritten, wir orientieren uns an der Originalarbeit von Arnold.
Ein homogenes Polynom vom Grad in Variablen kann durch eine lineare Transformation in eine der Standardgestalten
gebracht werden.
Sei ein homogenes Polynom vom Grad in und . Nach dem Fundamentalsatz der Algebra, einer Streckung und einer Variablenumbenennung ist
Bei sind wir im vierten Fall. Es sei also , dann können wir auf
transformieren. Bei sind wir im dritten Fall. Es sei also . Durch eine Diagonalmatrix kann man dies auf bzw. sodann auf transformieren, was dem zweiten Fall entspricht.
Die Singularitäten zu den holomorphen Funktionen und
sind nicht einfach.
Wir betrachten die Entfaltungen
mit . Für (beliebig kleines) ist (durch eine lineare Transformation) rechtsäquivalent zu . Dies zeigt, dass in Entfaltungen von auftreten. Die Funktionen , , sind aber für verschiedene nicht rechtsäquivalent zueinander, da ihre Milnorzahlen nach Beispiel 14.6 verschieden sind (nämlich gleich ) und dies wegen Lemma 26.6 die Rechtsäquivalenz ausschließt. Das bedeutet, dass zu unendlich vielen nicht rechtsäquivalenten Singularitäten deformiert werden kann und daher nicht einfach ist.
Im zweiten Fall betrachtet man die Entfaltungen
Das Jacobiideal zur Funktion ist
und die Milnorzahl hängt wieder von ab, sodass man entsprechend argumentieren kann.
Die Singularität zur holomorphen Funktion
ist nicht einfach.
Wir betrachten die Familie
also die Entfaltung
Nach Aufgabe 29.4 kann man dieses Polynom als Produkt schreiben, wobei die die Nullstellen von sind.
Die Strategie zum Beweis von
Satz 29.2
liegt darin, entlang des Ranges der Hessematrix von zu argumentieren. Dieser Rang kann sein, wobei der Fall, dass der Rang ist, am schwierigsten ist. In diesem Fall muss man das dritte Taylorpolynom studieren, das homogen vom Grad ist und wozu wir
Lemma 29.3
heranziehen können. Es gibt dann jeweils noch viele Möglichkeiten für die höheren Bestandteile, doch werden diese durch
Satz 28.2
und seine Korollare eingeschränkt. In den verbleibenden Möglichkeiten muss man dann entweder zeigen, dass keine einfache Singularität vorliegt, oder dass die Situation rechtsäquivalent zu einer der im Satz aufgelisteten Möglichkeiten ist.
Es sei mit offen eine holomorphe Funktion mit einer einfachen Singularität im Nullpunkt. Die Hessematrix von habe den Rang .
Dann ist rechtsäquivalent zu .
Dies ist ein Spezialfall von Satz 28.5.
Es sei mit offen eine holomorphe Funktion mit einer einfachen Singularität im Nullpunkt. Die Hessematrix von habe den Rang .
Dann ist rechtsäquivalent zu für ein .
Nach Satz 28.6 ist rechtsäquivalent zu mit . Der Fall ist nach Lemma 29.4 ausgeschlossen, da dann die Singularität nicht einfach wäre. Also ist nicht und hat die Form
mit und . Da eine Singularität im Nullpunkt mit Hesserang vorliegt, muss sein. Nach Beispiel 26.4 ist rechtsäquivalent zu . Damit ist rechtsäquivalent zu mit .
Die folgenden Lemmata setzen sich mit dem Fall auseinander, dass der Rang der Hessematrix gleich ist. Dann beginnt die Taylorentwicklung im Grad und in
Lemma 29.3
wurden dafür die verschiedenen Möglichkeiten aufgelistet.
Es sei mit offen eine holomorphe Funktion mit einer einfachen Singularität im Nullpunkt. Das dritte Taylorpolynom von sei .
Dann ist rechtsäquivalent zu für ein .
Die Funktion kann nicht rechtsäquivalent zu sein, da dieses nach Lemma 29.4 nicht einfach ist. Es müssen also in mindestens einem Taylorpolynom höheren Grades noch Terme hinzukommen. Es gibt also und das -te Taylorpolynom ist
mit und ein homogenes Polynom von Grad . Wir wenden auf die Transformation
und erhalten (mit )
wobei wieder homogen vom Grad und ist. Mit der holomorphen Transformation
wird daraus
mit . Bei ist bezüglich der neuen Koordinaten das -te Taylorpolynom gleich und wir können die entsprechende Argumentation für das Taylorpolynom der Ordnung durchführen. Da nach Korollar 28.3 für hinreichend groß - bestimmt ist, kann dieser Prozess nicht immer liefern, da sonst rechtsäquivalent zu wäre, was aber nicht einfach ist. Also ist rechtsäquivalent
mit und . Wir behaupten, dass die Voraussetzungen von Satz 28.2 erfüllt sind. Das Jacobiideal ist
Damit ist
für und
jeweils mit einem . Somit ist . Daher ist -bestimmt und damit rechtsäquivalent zu und auch zu mit .
Es sei mit offen eine holomorphe Funktion mit einer einfachen Singularität im Nullpunkt. Das dritte Taylorpolynom von sei .
Dann ist rechtsäquivalent zu , zu oder zu .
Das Taylorpolynom der Ordnung zu hat die Form
mit homogen von Grad . Wir wenden auf die Transformation
an und erhalten
mit (das für das Taylorpolynom vom Grad nicht relevant ist). Wir schreiben wieder statt .
Fall 1. Sei . Dann kann man durch die holomorphe Transformation (mit einer fixierten vierten Wurzel von )
die Funktion nach
mit homogen vom Grad und transformieren. Dies kann man wiederum mittels
zu mit transformieren. Es ist
und damit ist
sodass man Satz 28.2 anwenden kann. Also ist - bestimmt und damit rechtsäquivalent zu .
Fall 2. Sei und . Dann ist rechtsäquivalent zu mit . Wir schreiben als
mit und . Mit
transformiert sich dies zu
mit wie zuvor. Mit
wird das zu
Der Term ist in einer Umgebung des Nullpunktes ungleich . In den neuen Koordinaten
und
erhalten wir
Mittels
kann man den vierten Summanden wegkriegen und mittels
erhält man
mit . Es gilt wieder
woraus -bestimmt nach Satz 28.2 folgt. Somit ist die Funktion rechtsäquivalent zu .
noch:
E8
Es sei eine einfache Singularität gegeben. Wenn der Rang der Hessematrix gleich oder gleich ist, so zeigen Lemma 29.6 bzw. Lemma 29.7, dass die Singularität rechtsäquivalent zu einer -Singularität ist. Es sei der Rang der Hessematrix also gleich . Nach Lemma 29.3 hat das dritte Taylorpolynom nach einer linearen Transformation die Form
Im Fall liegt nach Lemma 29.8 eine -Singularität mit vor. Im Fall liegt nach Lemma 29.9 eine -Singularität vor. Im Fall kann die Singularität nach nicht einfach sein. Es liege also der Fall vor. Das Jacobiideal hat die Form
mit . Somit enthält das Produktideal Elemente der Form
mit . Also gilt
Daher ist nach Satz 28.2 -bestimmt, und somit ist es rechtsäquivalent zu selbst, was den -Typ ergibt.
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