Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 16

Diskriminanten

Definition

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und seien ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ Elemente in ${}L$. Dann wird die Diskriminante von ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ durch

${}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})=\det \left(\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{j}\right)}_{i,j}\right)\,$

definiert.

Die Produkte ${}b_{i}b_{j}$, ${}1\leq i,j\leq n$, sind dabei Elemente in ${}L$, von denen man jeweils die Spur nimmt, die in ${}K$ liegt. Man erhält also eine quadratische ${}n\times n$-Matrix über ${}K$. Deren Determinante ist nach Definition die Diskriminante. Im folgenden werden wir vor allem an der Diskriminante von speziellen Basen interessiert sein, sodass sich die Diskriminante als Invariante eines Zahlkörpers erweist.

Bei einem Basiswechsel verhält sich die Diskriminante wie folgt.

Lemma

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und seien ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ und ${}c_{1},\ldots ,c_{n}$ ${}K$- Basen von ${}L$. Der Basiswechsel werde durch ${}c=Tb$ mit der Übergangsmatrix ${}T={\left(t_{ij}\right)}_{ij}$ beschrieben. Dann gilt für die Diskriminanten die Beziehung

${}\triangle (c_{1},\ldots ,c_{n})=(\det(T))^{2}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})\,.$

Beweis

Ausgeschrieben haben wir die Beziehungen ${}c_{i}=\sum _{j=1}^{n}t_{ij}b_{j}$. Damit gilt

${}c_{i}c_{k}={\left(\sum _{j=1}^{n}t_{ij}b_{j}\right)}{\left(\sum _{m=1}^{n}t_{km}b_{m}\right)}=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{j}b_{m}\,.$

Wir schreiben ${}c_{ik}:=S(c_{i}c_{k})$ und ${}b_{jm}:=S(b_{j}b_{m})$. Wegen der ${}K$-Linearität der Spur gilt

${}c_{ik}=S(c_{i}c_{k})=S{\left(\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{j}b_{m}\right)}=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}S(b_{j}b_{m})=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{jm}\,.$

Wir schreiben diese Gleichung mit den Matrizen ${}C={\left(c_{ik}\right)}$, ${}B={\left(b_{jm}\right)}$ und ${}T={\left(t_{ij}\right)}$ als

${}C=T^{\rm {transp}}BT\,$

und die Behauptung folgt dann aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Fakt *****.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K\subseteq L$ eine separable endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und sei ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine ${}K$- Basis von ${}L$. Dann ist

${}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})\neq 0\,.$

Beweis

Wir beweisen diese Aussage nur in Charakteristik ${}0$.

Es sei angenommen, dass die Diskriminante ${}0$ ist. Das bedeutet, dass das durch die Matrix ${}S(b_{i}b_{j})_{ij}$ definierte lineare Gleichungssystem eine nicht-triviale Lösung ${}(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\in K^{n}$ besitzt. Es ist also

${}\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}S(b_{i}b_{j})=0\,$

für alle ${}j$. Sei ${}x=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}\neq 0$. Dann ist für jedes ${}j$

${}S(xb_{j})=S{\left({\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}\right)}b_{j}\right)}=S{\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}b_{j}\right)}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}S(b_{i}b_{j})=0\,.$

Da ${}x$ eine Einheit in ${}L$ ist, ist auch ${}xb_{j}$, ${}j=1,\ldots ,n$, eine ${}K$-Basis von ${}L$ und es folgt, dass die Spur auf dieser Basis und somit überall den Wert ${}0$ hat. Dies ist aber bei einer separablen Erweiterung nicht möglich: In Charakteristik ${}0$ folgt dies sofort aus Lemma 15.14  (2).

$\Box$

Beschreibung von Spur und Norm mit Einbettungen

Satz

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$. Dann gibt es genau ${}n$ Einbettungen von ${}L$ in die komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$.

Beweis

Nach dem Satz vom primitiven Element wird ${}L$ durch ein Element erzeugt, es ist also

${}L=\mathbb {Q} (x)\cong \mathbb {Q} [X]/(F)\,$

mit einem irreduziblen Polynom ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ vom Grad ${}n$. Da ${}F$ irreduzibel ist und da die Ableitung ${}F'\neq 0$ ist und kleineren Grad besitzt, folgt, dass ${}F$ und ${}F'$ teilerfremd sind. Nach Fakt ***** ergibt sich, dass ${}F$ und ${}F'$ das Einheitsideal erzeugen, also ${}AF+BF'=1$ ist. Wir betrachten diese Polynome nun als Polynome in ${}{\mathbb {C} }[X]$, wobei die polynomialen Identitäten erhalten bleiben. Über den komplexen Zahlen zerfallen ${}F$ und ${}F'$ in Linearfaktoren, und wegen der Teilerfremdheit bzw. der daraus resultierenden Identität haben ${}F$ und ${}F'$ keine gemeinsame Nullstelle. Daraus folgt wiederum, dass ${}F$ keine mehrfache Nullstelle besitzt, sondern genau ${}n$ verschiedene komplexe Zahlen ${}z_{1},\ldots ,z_{n}$ als Nullstellen besitzt. Jedes ${}z_{i}$ definiert nun einen Ringhomomorphismus

$\rho _{i}\colon L\cong \mathbb {Q} [X]/(F)\longrightarrow {\mathbb {C} },\,X\longmapsto z_{i}.$

Da ${}L$ ein Körper ist, ist diese Abbildung injektiv. Da dabei ${}X$ auf verschiedene Elemente abgebildet wird, liegen ${}n$ verschiedene Abbildungen vor. Es kann auch keine weiteren Ringhomomorphismen ${}L\rightarrow {\mathbb {C} }$ geben, da jeder solche durch ${}X\mapsto z$ gegeben ist und ${}F(z)=0$ sein muss.

$\Box$

Man beachte im vorstehenden Satz, dass das Bild von verschiedenen Einbettungen

$\rho _{i}\colon L\longrightarrow {\mathbb {C} }$

der gleiche Unterkörper von ${}{\mathbb {C} }$ sein kann. Dies gilt bereits für quadratische Erweiterungen wie ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$. Man hat die beiden Einbettung ${}\rho _{1},\rho _{2}\colon \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\rightarrow {\mathbb {C} }$, wobei die eine Abbildung ${}{\mathrm {i} }$ auf ${}{\mathrm {i} }$ und die andere ${}{\mathrm {i} }$ auf ${}-{\mathrm {i} }$ schickt. Das Bild ist aber in beiden Fällen gleich.

Wenn das Bild einer Einbettung ganz in den reellen Zahlen liegt, so spricht man auch von einer reellen Einbettung. Zu einem Element ${}z\in L$ nennt man die verschiedenen komplexen Zahlen

$z_{1}=\rho _{1}(z),\ldots ,z_{n}=\rho _{n}(z)$

zueinander konjugiert. Diese sind allesamt Nullstellen eines irreduziblen Polynoms ${}F$ mit rationalen Koeffizienten vom Grad ${}n$.

Lemma

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und ${}z\in L$ ein Element. Es seien

$\rho _{1},\ldots ,\rho _{n}\colon L\longrightarrow {\mathbb {C} }$

die verschiedenen komplexen Einbettungen und es sei ${}M=\{y_{1},\ldots ,y_{k}\}$ die Menge der verschiedenen Werte ${}\rho _{i}(z)$. Dann gilt in ${}{\mathbb {C} }[X]$ für das Minimalpolynom ${}G$ von ${}z$ die Gleichung

${}G=(X-y_{1})(X-y_{2})\cdots (X-y_{k})\,.$

Beweis

Es sei ${}K\subseteq L$ der von ${}z$ erzeugte Unterkörper von ${}L$. Es ist dann

${}K\cong \mathbb {Q} [X]/(G)\,$

mit dem (normierten) Minimalpolynom ${}G$ von ${}z$ und ${}K$ (bzw. ${}G$) haben den Grad ${}m$ über ${}\mathbb {Q}$. Gemäß Fakt ***** gibt es ${}m$ Einbettungen ${}\sigma \colon K\rightarrow {\mathbb {C} }$, die den komplexen Nullstellen ${}M'$ von ${}G$ entsprechen, und daher ist

${}G=\prod _{\sigma }(X-\sigma (z))\,.$

Die ${}n$ Einbettungen ${}\rho _{i}\colon L\rightarrow {\mathbb {C} }$ induzieren jeweils eine Einbettung ${}\sigma _{i}=\rho _{i}{|}_{K}\colon K\rightarrow {\mathbb {C} }$ und somit ist ${}\rho _{i}(z)=\sigma _{i}(z)$, also ${}M\subseteq M'$. Andererseits lässt sich eine Einbettung ${}\sigma \colon K\rightarrow {\mathbb {C} }$ zu einer Einbettung ${}L\rightarrow {\mathbb {C} }$ fortsetzen, da ${}L$ über ${}K$ separabel ist und nach dem Satz vom primitiven Element von einem Element erzeugt wird und das zugehörige Minimalpolynom über ${}{\mathbb {C} }$ zerfällt. Daher ist auch ${}M'\subseteq M$.

$\Box$

Wir erwähnen ohne Beweis die folgende Beschreibung von Norm und Spur, die wir aber in der Vorlesung nicht intensiv verwenden werden.

Lemma

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und seien ${}\rho _{i}\colon L\rightarrow {\mathbb {C} }$ die ${}n$ verschiedenen komplexen Einbettungen. Es sei ${}z\in L$ und ${}z_{i}=\rho _{i}(z)$, ${}i=1,\ldots ,n$. Dann ist

$N(z)=z_{1}\cdots z_{n}{\text{ und }}\operatorname {Spur} {\left(z\right)}=z_{1}+\cdots +z_{n}.$

Beweis

Wir verzichten auf einen Beweis.

$\Box$

Moduln und Ideale

Für den Begriff des Ganzheitsringes in einem Erweiterungskörper ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ benötigen wir den Begriff des Moduls, der den eines Vektorraums in dem Sinne verallgemeinert, dass der Skalarenbereich kein Körper mehr sein muss, sondern ein beliebiger kommutativer Ring sein darf.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M=(M,+,0)$ eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt ${}M$ einen ${}R$-Modul, wenn eine Operation

$R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,$

(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r,s\in R$ und $u,v\in M$ beliebig):

1. ${}r(su)=(rs)u$,
2. ${}r(u+v)=(ru)+(rv)$,
3. ${}(r+s)u=(ru)+(su)$,
4. ${}1u=u$.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Eine Teilmenge ${}U\subseteq M$ heißt ${}R$-Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von ${}(M,0,+)$ ist und wenn für jedes ${}u\in U$ und ${}r\in R$ auch ${}ru\in U$ ist.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Eine Familie ${}v_{i}\in M$, ${}i\in I$, heißt Erzeugendensystem für ${}M$, wenn es für jedes Element ${}v\in M$ eine Darstellung

${}v=\sum _{i\in J}r_{i}v_{i}\,$

gibt, wobei ${}J\subseteq I$ endlich ist und ${}r_{i}\in R$.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Der Modul ${}M$ heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem ${}v_{i}$, ${}i\in I$, für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).

Ein kommutativer Ring ${}R$ selbst ist in natürlicher Weise ein ${}R$-Modul, wenn man die Ringmultiplikation als Skalarmultiplikation interpretiert. Die Ideale sind dann genau die ${}R$-Untermoduln von ${}R$. Die Begriffe Ideal-Erzeugendensystem und Modul-Erzeugendensystem stimmen für Ideale überein.

Unter den Idealen sind besonders die Primideale und die maximalen Ideale relevant.

Definition

Ein Ideal ${}{\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Primideal, wenn ${}{\mathfrak {p}}\neq R$ ist und wenn für ${}r,s\in R$ mit ${}r\cdot s\in {\mathfrak {p}}$ folgt: ${}r\in {\mathfrak {p}}$ oder ${}s\in {\mathfrak {p}}$.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}p\in R$, ${}p\neq 0$. Dann ist ${}p$ genau dann ein Primelement, wenn das von ${}p$ erzeugte Hauptideal ${}(p)$ ein Primideal ist.

Beweis

Das ist trivial.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Ideal in ${}R$.

Dann ist ${}{\mathfrak {p}}$ genau dann ein Primideal, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich ist.

Beweis

Es sei zunächst ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann ist insbesondere ${}{\mathfrak {p}}\subset R$ und somit ist der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {p}}$ nicht der Nullring. Sei ${}fg=0$ in ${}R/{\mathfrak {p}}$ wobei ${}f,g$ durch Elemente in ${}R$ repräsentiert seien. Dann ist ${}fg\in {\mathfrak {p}}$ und damit ${}f\in {\mathfrak {p}}$ oder ${}g\in {\mathfrak {p}}$. was in ${}R/{\mathfrak {p}}$ gerade ${}f=0$ oder ${}g=0$ bedeutet.

Ist umgekehrt ${}R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich, so handelt es sich nicht um den Nullring und daher ist ${}{\mathfrak {p}}\neq R$. Sei ${}f,g\notin {\mathfrak {p}}$. Dann ist ${}f,g\neq 0$ in ${}R/{\mathfrak {p}}$ und daher ${}fg\neq 0$ in ${}R/{\mathfrak {p}}$, also ist ${}fg\notin {\mathfrak {p}}$.

$\Box$

Definition

Ein Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt maximales Ideal, wenn ${}{\mathfrak {m}}\neq R$ ist und wenn es zwischen ${}{\mathfrak {m}}$ und ${}R$ keine weiteren Ideale gibt.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {m}}$ ein Ideal in ${}R$.

Dann ist ${}{\mathfrak {m}}$ genau dann ein maximales Ideal, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {m}}$ ein Körper ist.

Beweis

Nach Aufgabe 16.10 entsprechen die Ideale im Restklassenring ${}R/{\mathfrak {m}}$ eindeutig den Idealen in ${}R$ zwischen ${}{\mathfrak {m}}$ und ${}R$. Nun ist ${}R/{\mathfrak {m}}$ ein Körper genau dann, wenn es genau nur zwei Ideale gibt, und dies ist genau dann der Fall, wenn ${}{\mathfrak {m}}\neq R$ ist und es dazwischen kein weiteres Ideal gibt. Dies bedeutet, dass ${}{\mathfrak {m}}$ maximal ist.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal in ${}R$.

Dann ist ${}{\mathfrak {m}}$ ein Primideal.

Beweis

Dies folgt sofort aus den Charakterisierungen für Primideale und für maximale Ideale mit den Restklassenringen.

$\Box$

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