Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 18

Wir werden uns in dieser Vorlesung hauptsächlich für den ganzen Abschluss von ${}\mathbb {Z}$ in einem endlichen Erweiterungskörper der rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ interessieren.

Definition

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man den ganzen Abschluss von ${}\mathbb {Z}$ in ${}L$ den Ring der ganzen Zahlen in ${}L$. Solche Ringe nennt man auch Zahlbereiche.

Den endlichen Erweiterungskörper ${}L$ von ${}\mathbb {Q}$ nennt man übrigens einen Zahlkörper.

Satz

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich.

Dann ist ${}R$ ein normaler Integritätsbereich.

Beweis

Nach Satz 17.13 ist ${}L$ der Quotientenkörper des Ganzheitsrings ${}R$. Ist ${}q\in Q(R)=L$ ganz über ${}R$, so ist ${}q$ nach Aufgabe ***** auch ganz über ${}\mathbb {Z}$ und gehört selbst zu ${}R$.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich.

Dann enthält jedes von ${}0$ verschiedene Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ eine Zahl ${}m\in \mathbb {Z}$ mit ${}m\neq 0$.

Beweis

Sei ${}0\neq f\in {\mathfrak {a}}$. Dieses Element ist nach der Definition eines Zahlbereiches ganz über ${}\mathbb {Z}$ und erfüllt demnach eine Ganzheitsgleichung

${}f^{n}+k_{n-1}f^{n-1}+k_{n-2}f^{n-2}+\cdots +k_{1}f+k_{0}=0\,$

mit ganzen Zahlen ${}k_{i}$. Bei ${}k_{0}=0$ kann man die Gleichung mit ${}f$ kürzen, da ${}f\neq 0$ ein Nichtnullteiler ist. So kann man sukzessive fortfahren und erhält schließlich eine Ganzheitsgleichung, bei der der konstante Term nicht ${}0$ ist. Es sei also in obiger Gleichung ${}k_{0}\neq 0$. Dann ist

${}f{\left(f^{n-1}+k_{n-1}f^{n-2}+k_{n-2}f^{n-3}+\cdots +k_{1}\right)}=-k_{0}\,$

und somit ist ${}k_{0}\in (f)\cap \mathbb {Z} \subseteq {\mathfrak {a}}$.

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f\in Q(R)=L$. Dann ist ${}f$ genau dann ganz über ${}\mathbb {Z}$, wenn die Koeffizienten des Minimalpolynoms von ${}f$ über ${}\mathbb {Q}$ alle ganzzahlig sind.

Beweis

Das Minimalpolynom ${}P$ von ${}f$ über ${}\mathbb {Q}$ ist ein normiertes irreduzibles Polynom mit Koeffizienten aus ${}\mathbb {Q}$. Wenn die Koeffizienten sogar ganzzahlig sind, so liegt direkt eine Ganzheitsgleichung für ${}f$ über ${}\mathbb {Z}$ vor.

Es sei umgekehrt ${}f$ ganz über ${}\mathbb {Z}$, und sei ${}S\in \mathbb {Z} [X]$ ein normiertes ganzzahliges Polynom mit ${}S(f)=0$, das wir als irreduzibel in ${}\mathbb {Z} [X]$ annehmen dürfen. Wir betrachten ${}S\in \mathbb {Q} [X]$. Dort gilt

${}S=PT\,.$

Da nach dem Lemma von Gauß ein irreduzibles Polynom von ${}\mathbb {Z} [X]$ auch in ${}{\mathbb {Q} }[X]$ irreduzibel ist, folgt ${}S=P$ und daher sind alle Koeffizienten von ${}P$ ganzzahlig.

$\Box$

Es ergibt sich insbesondere, dass die Norm und die Spur von Elementen aus einem Zahlbereich zu ${}\mathbb {Z}$ gehören.

Lemma

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$. Dann enthält ${}{\mathfrak {a}}$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$, die eine ${}\mathbb {Q}$- Basis von ${}L$ sind.

Beweis

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$. Das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ enthält nach Lemma 18.3 ein Element ${}0\neq m\in {\mathfrak {a}}\cap \mathbb {Z}$. Nach (dem Beweis von) Satz 17.13 kann man ${}v_{i}={\frac {r_{i}}{n_{i}}}$ mit ${}r_{i}\in R$ und ${}n_{i}\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$ schreiben. Dann sind die ${}m(n_{i}v_{i})\in {\mathfrak {a}}$ und sie bilden ebenfalls eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$.

$\Box$

Satz

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$. Es seien ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ Elemente, die eine ${}\mathbb {Q}$- Basis von ${}L$ bilden und für die der Betrag der Diskriminante

$\vert {\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})}\vert$

unter all diesen Basen aus ${}{\mathfrak {a}}$ minimal sei.

Dann ist

${}{\mathfrak {a}}=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,.$

Beweis

Zunächst sind wegen Fakt ***** die Spuren zu Elementen aus ${}R$ ganzzahlig und somit sind auch die in Frage stehenden Diskriminanten ganzzahlig. Man kann also die Diskriminanten bzw. ihre Beträge untereinander der Größe nach vergleichen.

Es sei ${}f\in {\mathfrak {a}}$ ein beliebiges Element. Wir haben zu zeigen, dass sich ${}f$ als eine ${}\mathbb {Z}$-Linearkombination ${}f=k_{1}b_{1}+\cdots +k_{n}b_{n}$ mit ${}k_{i}\in \mathbb {Z}$ schreiben lässt, wenn die ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$ mit minimalem Diskriminantenbetrag bilden. Es gibt eine eindeutige Darstellung

${}f=q_{1}b_{1}+\cdots +q_{n}b_{n}\,$

mit rationalen Zahlen ${}q_{i}\in \mathbb {Q}$. Es sei angenommen, dass ein ${}q_{i}$ nicht ganzzahlig ist, wobei wir ${}i=1$ annehmen dürfen. Wir schreiben dann ${}q_{1}=k+\delta$ mit ${}k\in \mathbb {Z}$ und einer rationalen Zahl ${}\delta$ (echt) zwischen ${}0$ und ${}1$. Dann ist auch

$c_{1}=f-kb_{1}=\delta b_{1}+\sum _{i=2}^{n}q_{i}b_{i},\,b_{2},\ldots ,b_{n}$

eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$, die in ${}{\mathfrak {a}}$ liegt. Die Übergangsmatrix der beiden Basen ist

${}T={\begin{pmatrix}\delta &q_{2}&q_{3}&\cdots &q_{n}\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}\,.$

Nach Lemma 16.2 gilt für die beiden Diskriminanten die Beziehung

${}\triangle (c_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})=(\det(T))^{2}\triangle (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})\,.$

Wegen ${}(\det(T))^{2}=\delta ^{2}<1$ und da die Diskriminanten nach Lemma 16.3 nicht ${}0$ sind, ist dies ein Widerspruch zur Minimalität der Diskriminante.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$.

Dann ist ${}{\mathfrak {a}}$ eine freie abelsche Gruppe vom Rang ${}n$,

d.h. es gibt Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ mit

${}{\mathfrak {a}}=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,,$

wobei die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes aus ${}{\mathfrak {a}}$ eindeutig bestimmt sind.

Beweis

Nach Lemma 18.5 gibt es überhaupt Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$, die eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$ bilden. Daher gibt es auch solche Basen, wo der (ganzzahlige) Betrag der Diskriminante minimal ist. Für diese gilt nach Satz 18.6, dass sie ein ${}\mathbb {Z}$-Erzeugendensystem von ${}{\mathfrak {a}}$ bilden. Die lineare Unabhängigkeit über ${}\mathbb {Q}$ sichert die Eindeutigkeit der Koeffizienten.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich.

Dann ist ${}R$ eine freie abelsche Gruppe vom Rang ${}n$,

d.h. es gibt Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in R$ mit

${}R=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,$

derart, dass die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes eindeutig bestimmt sind.

Beweis

Dies folgt direkt aus Korollar 18.7, angewendet auf das Ideal ${}{\mathfrak {a}}=R$.

$\Box$

Ein solches System von Erzeugern ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ nennt man auch eine Ganzheitsbasis.

Korollar

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}m\in \mathbb {Z}$. Dann gibt es einen Gruppenisomorphismus

${}R/(m)\cong (\mathbb {Z} /(m))^{n}\,.$

Für eine Primzahl ${}m=p$ ist ${}R/(m)$ eine Algebra der Dimension ${}n$ über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(p)$. Zu jeder Primzahl ${}p$ gibt es Primideale ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}R$ mit ${}{\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z} =(p)$.

Beweis

Nach Fakt ***** ist ${}R\cong \mathbb {Z} ^{n}$ (als abelsche Gruppen), wobei die Standardbasis der Ganzheitsbasis ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ entsprechen möge. Das von ${}m$ in ${}R$ erzeugte Ideal besteht aus allen ${}\mathbb {Z}$-Linearkombinationen der ${}ma_{1},\ldots ,ma_{n}$ und somit entspricht das Ideal (unter dieser Identifizierung) der von ${}(m,0,\ldots ,0),(0,m,0,\ldots ,0),\ldots ,(0,\ldots ,0,m)$ erzeugten Untergruppe von ${}\mathbb {Z} ^{n}$. Die Restklassengruppe ${}R/(m)$ ist demnach gleich ${}(\mathbb {Z} /(m))^{n}$ und besitzt ${}m^{n}$ Elemente. Aufgrund der Ganzheit ist nach Aufgabe ***** ${}mR\cap \mathbb {Z} =m\mathbb {Z}$ und aufgrund des Homomorphiesatzes hat man einen injektiven Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(m)\longrightarrow R/(m),$

sodass ${}R/(m)$ eine von ${}0$ verschiedene ${}\mathbb {Z} /(m)$-Algebra ist.

Für eine Primzahl ${}p$ ist ${}R/(p)$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {Z} /(p)$ der Dimension ${}n$. Deshalb gibt es darin (mindestens) ein maximales Ideal, und dieses entspricht nach Aufgabe 16.10 einem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in ${}R$ mit ${}p\in {\mathfrak {m}}$. Daher ist ${}(p)=(p)R\cap \mathbb {Z} \subseteq {\mathfrak {m}}\cap \mathbb {Z}$, und dieser Durchschnitt ist ein Primideal, also gleich ${}(p)$.

$\Box$

Emmy Noether (1882-1935)

Definition

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.

Korollar

Jeder Zahlbereich ist ein noetherscher Ring.

Beweis

Nach Korollar 18.7 ist jedes von ${}0$ verschiedene Ideal als additive Gruppe isomorph zu ${}\mathbb {Z} ^{n}$, also ist insbesondere jedes Ideal als abelsche Gruppe endlich erzeugt. Insbesondere sind die Ideale dann als Ideale (also als ${}R$-Moduln) endlich erzeugt.

$\Box$

Satz

Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich ${}R$

ist der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ endlich.

Beweis

Als kommutative Gruppe ist ${}R=\mathbb {Z} ^{n}$. Sei ${}a\in {\mathfrak {a}}$, ${}a\neq 0$. Dann ist das von ${}a$ erzeugte Hauptideal eine Untergruppe

${}aR\cong \mathbb {Z} ^{n}\subseteq R\cong \mathbb {Z} ^{n}\,.$

Deshalb ist die Restklassengruppe ${}\mathbb {Z} ^{n}/aR$ endlich und wegen der natürlichen Surjektion ${}\mathbb {Z} ^{n}/aR\rightarrow R/{\mathfrak {a}}$ ist auch der Restklassenring endlich.

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Dann ist jedes von ${}0$ verschiedene Primideal von ${}R$ bereits ein maximales Ideal.

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal ${}\neq 0$ in ${}R$. Dann ist der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {p}}$ nach Lemma 16.13 ein Integritätsbereich und nach Satz 18.12 endlich. Ein endlicher Integritätsbereich ist aber nach Aufgabe ***** bereits ein Körper, sodass nach Lemma 16.15 ein maximales Ideal vorliegt.

$\Box$

Richard Dedekind (1831-1916)

Die bisher etablierten Eigenschaften von Zahlbereichen lassen sich im folgenden Begriff zusammenfassen.

Definition

Einen Integritätsbereich ${}R$ nennt man einen Dedekindbereich, wenn er noethersch und normal ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Primideal darin maximal ist.

Korollar

Jeder Zahlbereich ist ein Dedekindbereich.

Beweis

Dies folgt aus Satz 18.2, aus Korollar 18.11 und aus Satz 18.13.

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