Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 4
- Die Restklassenringe
Genau dann ist eine Einheit modulo (d.h. repräsentiert eine Einheit in ), wenn und teilerfremd sind.
Sind und teilerfremd, so gibt es nach Fakt ***** eine Darstellung der , es gibt also ganze Zahlen mit
Betrachtet man diese Gleichung modulo , so ergibt sich in . Damit ist eine Einheit mit Inversem .
Ist umgekehrt eine Einheit in , so gibt es ein mit in . Das bedeutet aber, dass ein Vielfaches von ist, sodass also
gilt. Dann ist aber wieder und und sind teilerfremd.
Es sei . Der Restklassenring ist genau dann ein Körper,
wenn eine Primzahl ist.
Die Zahl ist genau dann prim, wenn sie teilerfremd zu jeder Zahl , , ist. Dies ist nach Satz 4.1 genau dann der Fall, wenn in jedes von verschiedene Element eine Einheit ist.
Zu einer natürlichen Zahl bezeichnet die Anzahl der Elemente von . Man nennt die Eulersche Funktion.
Die Eulersche Funktion gibt also für nach Satz 4.1 an, wie viele Zahlen , , zu teilerfremd sind.
Es sei eine natürliche Zahl.
Dann gilt für jede zu teilerfremde Zahl die Beziehung
Das Element gehört zur Einheitengruppe , die Elemente besitzt. Nach dem Satz von Lagrange ist aber die Gruppenordnung ein Vielfaches der Ordnung des Elementes.
Als Spezialfall erhalten wir den sogenannten kleinen Fermatschen Satz:
Ist nicht durch teilbar, so definiert ein Element in der Einheitengruppe ; diese Gruppe hat die Ordnung , und nach dem Satz von Lagrange gilt . Durch Multiplikation mit ergibt sich die Behauptung. Für Vielfache von gilt die Aussage ebenso, da dann beidseitig steht.
Es sei beispielsweise . Dann ist für
Ein Körper heißt endlich, wenn er nur endlich viele Elemente besitzt.
Es sei ein endlicher Körper.
Dann ist das Produkt aller von verschiedener Elemente aus gleich .
Die Gleichung hat in einem Körper nur die Lösungen und , die allerdings gleich sein können. Das bedeutet, dass für immer ist. Damit kann man das Produkt aller Einheiten als
schreiben. Ist , so ist das Produkt . Ist hingegen , so fehlt in dem Produkt der zweite Faktor und das Produkt ist .
Es sei eine Primzahl.
Dann ist .
Dies folgt unmittelbar aus Satz 4.9, da ja die Fakultät durch alle Zahlen zwischen und läuft, also durch alle Einheiten im Restklassenkörper .
Wir wollen im folgenden die Struktur der Restklassenringe verstehen, insbesondere, wenn die Primfaktorzerlegung von bekannt ist.
Wir betrachten die Ringhomomorphismen
Aufgrund der Teilerbeziehung haben wir die Beziehung
Aufgrund des Homomorphiesatzes hat man daher einen kanonischen Ringhomomorphismus von links unten nach rechts oben.
Zur Formulierung des Chinesischen Restsatzes erinnern wir an den Begriff des Produktringes.
Es seien kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt
versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der , .
Es sei eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung
(die seien also verschieden und ).
Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen einen Ringisomorphismus
Zu gegebenen ganzen Zahlen gibt es also genau eine natürliche Zahl , die die simultanen Kongruenzen
löst.
Da die Ringe links und rechts beide endlich sind und die gleiche Anzahl von Elementen haben, nämlich , genügt es, die Injektivität zu zeigen. Es sei eine natürliche Zahl, die im Produktring (rechts) zu wird, also modulo den Rest hat für alle . Dann ist ein Vielfaches von für alle , d.h. in der Primfaktorzerlegung von muss zumindest mit dem Exponenten vorkommen. Also muss nach Satz 3.10 ein Vielfaches des Produktes sein, also ein Vielfaches von . Damit ist in und die Abbildung ist injektiv.
(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
die Restetupel und repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen
(a) : Alle Vielfachen von haben modulo und modulo den Rest . Unter diesen Vielfachen muss also die Lösung liegen. hat modulo den Rest , somit hat modulo den Rest . Also repräsentiert das Restetupel .
: Hier betrachtet man die Vielfachen von , und hat modulo den Rest . Also repräsentiert das Restetupel .
: Hier betrachtet man die Vielfachen von , und hat modulo den Rest . Also repräsentiert das Restetupel .
(b) Man schreibt (in )
Die Lösung ist dann
Die minimale Lösung ist dann .
- Die Einheiten im Restklassenring
Wir wollen zeigen, dass die Einheitengruppe , wenn eine Primzahl ist, eine zyklische Gruppe ist, also von einem Element erzeugt wird. Der Restklassenring ist ein Körper, und wir werden hier nach einigen Vorbereitungen allgemeiner zeigen, dass jede endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers zyklisch ist. Dazu benötigen wir einige Resultate über kommutative Gruppen und zu Polynomringen über Körpern. Wir beginnen mit zwei gruppentheoretischen Lemmata. Wir verwenden multiplikative Schreibweise.
Es sei eine kommutative Gruppe und Elemente der endlichen Ordnungen und , wobei und teilerfremd seien.
Dann hat die Ordnung .
Sei . Wir haben zu zeigen, dass ein Vielfaches von ist. Es ist
da ja die Ordnung von ist. Aus dieser Gleichung erhält man, dass ein Vielfaches der Ordnung von , also von sein muss. Da und teilerfremd sind, folgt aus Fakt *****, dass ein Vielfaches von ist. Ebenso ergibt sich, dass ein Vielfaches von ist, sodass , wieder aufgrund der Teilerfremdheit, ein Vielfaches von sein muss.
Der Exponent einer endlichen Gruppe ist die kleinste positive Zahl mit der Eigenschaft, dass für alle ist.
Es sei eine endliche kommutative Gruppe und sei , wobei den Exponenten der Gruppe bezeichnet.
Dann ist zyklisch.
Sei
die Primfaktorzerlegung der Gruppenordnung. Der Exponent der Gruppe ist
Es sei ein Primteiler von . Wegen
gibt es ein Element , dessen Ordnung ein Vielfaches von ist. Dann gibt es auch (in der von erzeugten zyklischen Untergruppe) ein Element der Ordnung . Dann hat das Produkt nach Lemma 4.14 die Ordnung .
