Normaler Endomorphismus/Einführung/Textabschnitt
Definition
Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt . Ein Endomorphismus
heißt normal, wenn und der adjungierte Endomorphismus vertauschbar sind.
Es muss also
gelten. Ein selbstadjungierter Endomorphismus ist trivialerweise normal. Bei einer Isometrie ist der adjungierte Endomorphismus nach Beispiel gleich , und somit ist eine Isometrie ebenfalls normal. Wenn der Endomorphismus bezüglich einer Orthonormalbasis durch die Matrix gegeben ist, so lautet die Normalitätsbedingung
Beispiel
In der zweidimensionalen Situation lautet die Normalitätsbedingung
was für die Einträge übersetzt zu den beiden Bedingungen
und
führt. Neben Diagonalmatrizen und Drehmatrizen haben beispielsweise reelle Matrizen der Form
diese Eigenschaft.
Beispiel
besitze eine Orthonormalbasis (bezüglich des Standardskalarproduktes) aus Eigenvektoren, d.h. die beschreibende Matrix besitzt die Diagonalgestalt
Dann wird der adjungierte Endomorphismus nach Beispiel durch die komplex-konjugierte Matrix
beschrieben. Diese beiden Matrizen sind offenbar vertauschbar, d.h. es liegt ein normaler Endomorphismus vor.
Die dritte Eigenschaft des folgenden Lemmas erklärt die Bezeichnung „normal“.
Lemma
Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei
ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
- ist normal.
- Für alle gilt
- Für alle gilt
Beweis
Es ist
und unter Verwendung von Fakt (3) ist
Wenn und vertauschen, so gilt also auch
für beliebige . Wenn dies umgekehrt gilt, so ist
für alle und daher sind die Endomorphismen vertauschbar. Daher sind (1) und (2) äquivalent. Von (2) nach (3) ist eine Einschränkung. Umgekehrt kann man aus (3) auch (2) gewinnen, da man das Skalarprodukt gemäß der Polarisationsformel aus der Norm erhalten kann.
Lemma
Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei
ein Endomorphismus.
Dann ist ein Untervektorraum genau dann -invariant, wenn das orthogonale Komplement invariant unter ist.
Beweis
Lemma
Beweis
Lemma
Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei
ein normaler Endomorphismus. Dann gelten folgende Aussagen.
- ist ein Eigenwert von genau dann, wenn ein Eigenwert von ist.
- Ein Vektor ist ein Eigenvektor zum Eigenwert genau dann, wenn ein Eigenvektor zu zum Eigenwert ist.
Beweis
Sei
dessen Kern der Eigenraum von zum Eigenwert ist. Der adjungierte Endomorphismus zu ist unter Verwendung von Fakt
Nach Aufgabe ist auch normal und nach Fakt ist somit
Satz
Es sei ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum mit Skalarprodukt und sei
ein Endomorphismus.
Dann ist genau dann normal, wenn es eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu gibt.
Beweis
Es sei zunächst eine Orthonormalbasis von , wobei die Eigenvektoren zu seien. Die beschreibende Matrix ist dann eine Diagonalmatrix, deren Diagonaleinträge die Eigenwerte sind. Nach Fakt wird der adjungierte Endomorphismus durch die konjugiert-transponierte Matrix beschrieben. Daher ist diese ebenfalls eine Diagonalmatrix und damit mit vertauschbar. Also ist normal.
Die Umkehrung beweisen wir durch Induktion über die Dimension von . Es sei also normal. Der eindimensionale Fall ist klar. Aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra gibt es einen Eigenvektor von , den wir als normiert annehmen können. Nach Fakt (2) ist auch ein Eigenvektor zu . Daraus folgt mit Fakt, dass invariant unter ist. Die Einschränkung von auf ist wieder normal und die Induktionsvoraussetzung liefert die Behauptung.