Singularitätentheorie/Tensorprodukt/Textabschnitt

Das Tensorprodukt von Moduln

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n},W$ ${}R$-Moduln. Eine Abbildung

$\psi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

heißt ${}R$-multilinear, wenn für jedes ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und jedes ${}(n-1)$-Tupel ${}(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n})$ (mit $v_{j}\in V_{j}$) die induzierte Abbildung

$V_{i}\longrightarrow W,\,u\longmapsto \psi {\left(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n}\right)},$

${}R$-linear ist.

Bei ${}n=2$ spricht man von bilinear.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}V_{1},\ldots ,V_{n},W$ seien ${}R$-Moduln. Es sei ${}F$ der von sämtlichen Symbolen ${}v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{n}$ (mit $v_{i}\in V_{i}$) erzeugte freie ${}R$-Modul. Es sei ${}U\subseteq F$ der von allen Elementen der Form

1. ${}r{\left(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes v_{i}\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}\right)}-v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes rv_{i}\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}$,
2. ${}v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes (u+w)\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}-v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes u\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}-v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes w\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}$,

erzeugte ${}R$-Untermodul. Dann nennt man den Restklassenmodul ${}F/U$ das Tensorprodukt der ${}V_{i}$, ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$. Es wird mit

$V_{1}\otimes _{R}V_{2}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}$

bezeichnet.

Die Bilder von ${}(v_{1},\ldots ,v_{n})$ in ${}V_{1}\otimes _{R}V_{2}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}$ bezeichnet man wieder mit ${}v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}$. Jedes Element aus ${}V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}$ besitzt eine

(nicht eindeutige) Darstellung als

$a_{1}v_{1,1}\otimes \cdots \otimes v_{1,n}+\cdots +a_{m}v_{m,1}\otimes \cdots \otimes v_{m,n}$

(mit $a_{i}\in R$ und $v_{i,j}\in V_{j}$). Insbesondere bilden die (zerlegbaren Tensoren) ${}v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}$ ein ${}R$-Modulerzeugendensystem des Tensorprodukts. Die definierenden Erzeuger des Untermoduls werden zu Gleichungen im Tensorprodukt, sie drücken die Multilinearität aus. Insbesondere gilt

$v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{i-1}\otimes rv_{i}\otimes v_{i+1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}=v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{j-1}\otimes rv_{j}\otimes v_{j+1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}\,$

für beliebige ${}i,j$.

Wichtiger als die Konstruktion des Tensorprodukts ist die folgende universelle Eigenschaft.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ seien ${}R$-Moduln.

1. Die Abbildung

   $\pi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n},\,{\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)}\longmapsto v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n},$

   ist ${}R$-multilinear.

2. Es sei ${}W$ ein weiterer ${}R$-Modul und

   $\psi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

   eine multilineare Abbildung. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte ${}R$-lineare Abbildung

   ${\bar {\psi }}\colon V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}\longrightarrow W$

   mit ${}\psi ={\bar {\psi }}\circ \pi$.

Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Definition des Tensorprodukts. (2). Da die ${}v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}$ ein ${}R$-Modulerzeugendensystem von ${}V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}$ sind und

${}{\bar {\psi }}(v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n})=\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})\,$

gelten muss, kann es maximal eine solche lineare Abbildung geben. Zur Existenz betrachten wir den freien Modul ${}F$ aus der Konstruktion des Tensorprodukts. Die Symbole ${}v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}$ bilden eine Basis von ${}F$, daher legt die Vorschrift ${}\varphi {\left(v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}\right)}:=\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$ eine lineare Abbildung

$F\longrightarrow W$

fest. Wegen der Multilinearität von ${}\psi$ wird der Untermodul ${}U$ auf ${}0$ abgebildet. Daher induziert diese Abbildung nach dem Faktorisierungssatz einen ${}R$-Modulhomomorphismus

$F/U\cong V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}\longrightarrow W.$

$\Box$

Das Tensorprodukt ist durch diese universelle Eigenschaft bis auf (eindeutige) Isomorphie festgelegt. Wenn es also einen ${}R$-Modul ${}T$ zusammen mit einer multilinearen Abbildung ${}V_{1}\times \cdots \times V_{n}\rightarrow T$ derart gibt, dass jede multilineare Abbildung in einen ${}R$-Modul ${}W$ eindeutig über ${}T$ mit einer linearer Abbildung von ${}T$ nach ${}W$ faktorisiert, so gibt es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus zwischen ${}T$ und dem Tensorprodukt ${}V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}$. Daher ist diese universelle Eigenschaft wichtiger als die oben durchgeführte Konstruktion des Tensorprodukts.

Proposition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}U,V,W$ seien ${}R$-Moduln. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist

   ${}U\otimes _{R}V\cong V\otimes _{R}U\,.$

2. Es ist

   ${}U\otimes _{R}{\left(V\otimes _{R}W\right)}\cong {\left(U\otimes _{R}V\right)}\otimes _{R}W\,.$

3. Es ist

   ${}U\otimes _{R}{\left(V\oplus W\right)}\cong {\left(U\otimes _{R}V\right)}\oplus {\left(U\otimes _{R}W\right)}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Proposition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}U,V,W,M$ ${}R$-Moduln. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einem ${}R$-Modulhomomorphismus ${}\varphi \colon U\rightarrow V$ gibt es einen natürlichen ${}R$-Modulhomomorphismus ${}\varphi \otimes _{R}\operatorname {Id} _{M}\colon U\otimes _{R}M\rightarrow V\otimes _{R}M$.
2. Zu einer exakten Sequenz

   $U\longrightarrow V\longrightarrow W\longrightarrow 0$

   von ${}R$-Moduln ist auch

   $U\otimes _{R}M\longrightarrow V\otimes _{R}M\longrightarrow W\otimes _{R}M\longrightarrow 0$

   exakt.

Beweis

(1). Die Abbildung

$U\times M\longrightarrow V\otimes _{R}M,\,(u,m)\longmapsto \varphi (u)\otimes m,$

ist ${}R$-bilinear und induziert daher einen ${}R$-Modulhomomorphismus

$U\otimes _{R}M\longrightarrow V\otimes _{R}M.$

(2). Die Surjektivität der Abbildung

$V\otimes _{R}M\longrightarrow W\otimes _{R}M$

ist klar, da die ${}w\otimes m$ ein ${}R$-Modulerzeugendensystem von ${}W\otimes _{R}N$ bilden und diese im Bild der Abbildung liegen. Für die Exaktheit an der anderen Stelle müssen wir die Isomorphie

${}V\otimes _{R}M/\operatorname {bild} {\left(U\otimes _{R}M\right)}\cong W\otimes _{R}M\,$

nachweisen. Dazu beweisen wir für diesen Restklassenmodul, dass er die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts erfüllt. Es sei also

$W\times M\longrightarrow N$

eine ${}R$-multilineare Abbildung in einen ${}R$-Modul ${}N$. Somit liegt auch eine eindeutige multilineare Abbildung

$\psi \colon V\times M\longrightarrow N$

und damit eine ${}R$-lineare Abbildung

${\tilde {\psi }}\colon V\otimes _{R}M\longrightarrow N$

vor. Wegen

${}\psi (\operatorname {bild} U\times M)=0\,$

ist

${}{\tilde {\psi }}{\left(\operatorname {bild} U\otimes _{R}M\right)}=0\,$

und daher gibt es eine eindeutige Faktorisierung

$V\otimes _{R}M/\operatorname {bild} {\left(U\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow N.$

$\Box$

Ringwechsel

Wir betrachten jetzt den Fall des Tensorproduktes, wenn über ${}R$ ein ${}R$-Modul ${}M$ und eine kommutative ${}R$-Algebra ${}R'$ vorliegt.

Definition

Zu einem ${}R$-Modul ${}M$ und einem Ringhomomorphismus

$R\longrightarrow R'$

zwischen kommutativen Ringen nennt man ${}R'\otimes _{R}M$ den durch Ringwechsel gewonnenen ${}R'$-Modul.

Beispiel

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum. Die Tensorierung mit der ${}\mathbb {R}$-Algebra ${}{\mathbb {C} }$, also

${}V_{\mathbb {C} }:={\mathbb {C} }\otimes _{\mathbb {R} }V\,,$

nennt man die Komplexifizierung von ${}V$. Wenn ${}V$ die Dimension ${}n$ besitzt, so besitzt ${}V_{\mathbb {C} }$ als komplexer Vektorraum ebenfalls die Dimension ${}n$. Wenn man ${}V_{\mathbb {C} }$ als reellen Vektorraum betrachtet, so besitzt er die reelle Dimension ${}2n$.

Proposition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ ein ${}R$-Modul und ${}R\rightarrow R'$ ein Ringhomomorphismus. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das Tensorprodukt ${}R'\otimes _{R}M$ ist ein ${}R'$-Modul.
2. Es gibt einen kanonischen ${}R$-Modulhomomorphismus

   $M\longrightarrow R'\otimes _{R}M,\,v\longmapsto 1\otimes v.$

   Bei ${}R=R'$ ist dies ein Isomorphismus.

3. Zu einem ${}R$-Modulhomomorphismus ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ist die induzierte Abbildung

   $\operatorname {Id} _{R'}\otimes \varphi \colon R'\otimes _{R}M\longrightarrow R'\otimes _{R}N$

   ein ${}R'$-Modulhomomorphismus.

4. Zu ${}M=R^{n}$ ist

   ${}R'\otimes _{R}R^{n}\cong {\left(R'\right)}^{n}\,.$

5. Zu einem weiteren Ringhomomorphismus ${}R'\rightarrow R^{\prime \prime }$ ist

   ${}R^{\prime \prime }\otimes _{R}M\cong R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R^{\prime }\otimes _{R}M\right)}\,$

   (eine Isomorphie von $R^{\prime \prime }$-Moduln).

Beweis

(1). Die Multiplikation

$R'\times R'\longrightarrow R',\,(r,s)\longmapsto rs,$

ist ${}R'$-bilinear und führt nach Fakt zu einer ${}R'$-linearen Abbildung

$R'\otimes _{R}R'\longrightarrow R'.$

Dies induziert nach Fakt  (2) und nach Fakt einen ${}R$-Modulhomomorphismus

$R'\otimes _{R}{\left(R'\otimes _{R}M\right)}\cong {\left(R'\otimes _{R}R'\right)}\otimes _{R}M\longrightarrow R'\otimes _{R}M.$

Dies ergibt eine wohldefinierte Skalarmultiplikation

$R'\times {\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow {\left(R'\otimes _{R}M\right)},$

die explizit durch

${}s\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}r_{j}\otimes m_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}{\left(sr_{j}\right)}\otimes m_{j}\,$

gegeben ist. Aus dieser Beschreibung folgen direkt die Eigenschaften einer Skalarmultiplikation.
(2). Die ${}R$-Homomorphie folgt direkt aus der Bilinearität des Tensorprodukts. Bei ${}R'=R$ ist die Abbildung surjektiv. Die Skalarmultiplikation ${}R\times M\rightarrow M$ induziert eine ${}R$-lineare Abbildung

$R\otimes _{R}M\longrightarrow M.$

Die Verknüpfung der kanonischen Abbildung ${}M\rightarrow R\otimes _{R}M$ mit dieser Abbildung ist die Identität auf ${}M$, sodass die erste Abbildung auch injektiv ist.
(3) folgt aus der expliziten Beschreibung in (1).
(4) folgt aus Fakt  (3).
(5). Nach Teil (2) haben wir einerseits eine ${}R$-lineare Abbildung ${}M\rightarrow R'\otimes _{R}M$. Dies führt zu einer ${}R$-multilinearen Abbildung

$R^{\prime \prime }\times M\longrightarrow R^{\prime \prime }\times {\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R'\otimes _{R}M\right)},$

die eine ${}R$-lineare Abbildung

$R^{\prime \prime }\otimes _{R}M\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R'\otimes _{R}M\right)}$

induziert. Andererseits haben wir eine ${}R'$-lineare Abbildung

$R'\otimes _{R}M\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R}M.$

Rechts steht ein ${}R^{\prime \prime }$-Modul, daher kann man die Skalarmultiplikation als eine ${}R'$-multilineare Abbildung

$R^{\prime \prime }\times {\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R}M$

auffassen, die ihrerseits zu einer ${}R'$-linearen Abbildung

$R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R}M$

führt. Diese beiden Abbildungen sind invers zueinander, was man auf den zerlegbaren Tensoren überprüfen kann. Daran sieht man auch, dass sich die ${}R^{\prime \prime }$-Multiplikationen entsprechen.

$\Box$

Proposition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einem multiplikativen System ${}S\subseteq R$ ist ${}M_{S}\cong R_{S}\otimes _{R}M$.
2. Zu einem Ideal ${}I\subseteq R$ ist ${}M/IM\cong R/I\otimes _{R}M$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Beispiel

Zu einem Integritätsbereich ${}R$ mit Quotientenkörper ${}Q(R)$ und einem ${}R$-Modul ${}M$ erhält man im Tensorprodukt ${}Q(R)\otimes _{R}M$ einen Modul über dem Quotientenkörper ${}Q(R)$, also einen Vektorraum. Dieser Vektorraum trägt häufig schon wesentliche Informationen über den Modul. Seine Dimension nennt man auch den Rang des Moduls.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ ein ${}R$-Modul und ${}S$ eine kommutative ${}R$-Algebra.

Dann gibt es einen natürlichen Isomorphismus

$\operatorname {Hom} _{S}{\left(M\otimes _{R}S,S\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}{\left(M,S\right)}$

von ${}S$-Moduln.

Beweis

Eine ${}S$-lineare Abbildung

$\theta \colon M\otimes _{R}S\longrightarrow S$

induziert über

$M\longrightarrow M\otimes _{R}S,\,m\longmapsto m\otimes 1,$

eine ${}R$-lineare Abbildung von ${}M$ nach ${}S$. Umgekehrt definiert eine ${}R$-lineare Abbildung ${}\psi$ von ${}M$ nach ${}S$ eine ${}R$-bilineare Abbildung

$M\times S\longrightarrow S,\,(m,s)\longmapsto s\psi (m),$

was eine ${}S$-lineare Abbildung von ${}M\otimes _{R}S$ nach ${}S$ festlegt. Diese beiden Zuordnungen sind invers zueinander.

$\Box$