Topologischer Raum/Garben/Kohomologie/Cech/Übersicht/Textabschnitt
Eine strukturell befriedigendere Kohomologietheorie erfordert stärkere Hilfsmittel aus der homologischen Algebra. Über injektive Auflösungen kann man zu einer Garbe von kommutativen Gruppen kohomologische Funktoren , , definieren. Dies werden wir nicht im Einzelnen ausführen. Wichtig ist für uns, dass diese „wahre Kohomologie“ häufig über Čech-Kohomologie berechnet werden kann. Der folgende Satz fasst die wichtigsten Eigenschaften dieser Kohomologietheorie zusammen.
Es sei ein topologischer Raum. Dann erfüllt die Garbenkohomologie folgende Eigenschaften.
- Die sind (für jedes ) additive Funktoren von der Kategorie der Garben von kommutativen Gruppen auf in die Kategorie der abelschen Gruppen.
- Es liegt ein natürlicher Isomorphismus vor.
- Zu einer kurzen exakten Garbensequenz
gibt es eine lange exakte Kohomologiesequenz
Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
Eine welke Garbe auf einem topologischen Raum
ist azyklisch, d.h. es ist für .
Nach Fakt gibt es eine Einbettung von in eine injektive Garbe , wir betrachten die zugehörige kurze exakte Garbensequenz
Nach Fakt ist eine welke Garbe. Dann ist nach Fakt (2) auch die Quotientengarbe welk. Die lange exakte Kohomologiesequenz ergibt unter Verwendung von Fakt einerseits
und andererseits
für . Aus dem ersten Ausschnitt folgt wegen der Surjektivität (siehe Fakt (1)) von
dass ist. Dies gilt für alle welke Garben. Daher gilt aufgrund des zweiten Ausschnittes, angewendet für , auch , u.s.w.
Es sei ein beringter Raum und ein -Modul.
Dann sind die Garbenkohomologien in natürlicher Weise -Moduln.
Es sei eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum und es sei eine offene Überdeckung mit und für alle .
Dann ist
Es sei eine Einbettung in eine injektive Garbe und
die zugehörige kurze exakte Garbensequenz. Aufgrund der langen exakten Kohomologiesequenz (siehe Fakt (3)) und wegen Fakt ist
Wir definieren zuerst einen Homomorphismus
Ein Schnitt legt Restriktionen fest. Da auf den keine Kohomologie besitzt, gibt es
die auf die abbilden. Die Elemente (zu )
werden auf in abgebildet, daher ist
Für Indizes ist
deshalb ist die Kozykelbedingung erfüllt. Somit ist die Familie ein Čech-Kozykel und definiert ein Element in . Diese Zuordnung ist unabhängig von den gewählten und ein Gruppenhomomorphismus, siehe Aufgabe. Es sei nun das Bild eines globalen Elementes . Dann kann man die als ansetzen und daher sind die zu konstruierten alle gleich . Ein solches Element wird also unter der angegebenen Abbildung auf abgebildet. Dies ergibt nach Fakt eine Faktorisierung
Es sei nun umgekehrt ein erster Čech-Kozykel von gegeben, der durch
mit repräsentiert sei. Wir fassen die in auf, und zwar als globale Elemente, was aufgrund der Welkheit von injektiven Garben möglich ist. Wir definieren
(mit ) und fassen diese als Elemente in auf. Diese Schnitte erfüllen . Diese Elemente definieren Elemente
Da ihre Differenzen von herrühren, sind sie verträglich und definieren ein globales Element
Dies definiert über den verbindenden Homomorphismus die Kohomologieklasse
Wenn der Čech-Kozykel durch andere Elemente repräsentiert werden, so sind die Elemente , , wegen
verträglich und definieren ein globales Element in . Daher geht die Differenz der beiden Repräsentierungen in auf . Insgesamt liegt daher eine wohldefinierte Abbildung
vor. Es sei nun der Čech-Kozykel so, dass er die Nullklasse in der ersten Čech-Kohomologie definiert. Dann gibt es nach Definition Elemente mit
Wir fassen diese Elemente wieder als globale Elemente in auf und die können direkt die Rolle der von oben übernehmen. Dann sind die alle gleich und damit ist das Bild in ebenfalls gleich . Somit hat man eine Abbildung
Diese ist ein Gruppenhomomorphismus und invers zu der zuvor konstruierten Abbildung.
Es sei eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum und sei
eine Überdeckung .
Dann ist die Abbildung
Wir schließen an den Beweis zu Fakt an und rekapitulieren die Konstruktion der Abbildung. Es sei eine Einbettung in eine injektive Garbe und
die zugehörige kurze exakte Garbensequenz. Es sei ein erster Čech-Kozykel von durch
mit gegeben. Die fassen wir in als globale Elemente auf und definieren
die wir auf auffassen. Diese Elemente definieren Elemente
die einem globalen Element
entsprechen. Dieses legt
fest und das ist das Bild der Čech-Klasse. Es sei nun
vorausgesetzt. Dann gibt es ein globales Element , das auf abbildet. Es werden dann die auf abgebildet und daher ist . Daher ist
und die Čech-Klasse ist trivial.
Es sei eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum .
Dann gibt es einen natürlichen Isomorphismus
Die Injektivität wurde in Fakt gezeigt. Zum Nachweis der Surjektivität sei . Es sei
injektiv. Die Kohomologieklasse wird repräsentiert durch einen globalen Schnitt . Für diesen gibt es eine offene Überdeckung
und Schnitte derart, dass unter der Quotientenabbildung auf abbildet. Dann ist die Familie , , ein erster Čech-Kozykel von . Die zugehörige Čech-Kohomologieklasse bildet auf ab.