Algebraische Derivationen und Differentiale/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$-Algebra und ${}M$ ein ${}A$-Modul. Dann heißt eine ${}R$-lineare Abbildung

$\delta \colon A\longrightarrow M$

mit

${}\delta (ab)=a\delta (b)+b\delta (a)\,$

für alle ${}a,b\in A$ eine ${}R$-Derivation (mit Werten in ${}M$).

Die dabei verwendete Regel nennt man Leibniz-Regel. Oft ist ${}M=A$. Für den Polynomring ${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ sind beispielsweise die ${}i$-ten (formalen) partiellen Ableitungen

${\frac {\partial }{\partial X_{i}}}$

${}R$-Derivationen von ${}A$ nach ${}A$. Die Menge der Derivationen von ${}A$ nach ${}M$ ist in natürlicher Weise ein ${}A$-Modul. Er wird mit ${}\operatorname {Der} _{R}{\left(A,M\right)}$ bezeichnet.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine kommutative ${}R$-Algebra. Der von allen Symbolen ${}d(a)$, ${}a\in A$, erzeugte ${}A$-Modul, modulo den Identifizierungen

$d(ab)=ad(b)+bd(a){\text{ für alle }}a,b\in A$

und

$d(ra+sb)=rd(a)+sd(b){\text{ für alle }}r,s\in R{\text{ und }}a,b\in A,$

heißt Modul der Kähler-Differentiale von ${}A$ über ${}R$. Er wird mit

$\Omega _{A{|}R}$

bezeichnet.

Bei dieser Konstruktion startet man also mit dem freien ${}A$-Modul ${}F$ mit ${}da$, ${}a\in A$ als Basis und bildet den ${}A$-Restklassenmodul zu demjenigen Untermodul, der von den Elementen

$d(ab)-ad(b)-bd(a)\,(a,b\in A)$

und

$d(ra+sb)-rd(a)-sd(b)\,(r,s\in R{\text{ und }}a,b\in A)$

erzeugt wird. Die Abbildung

$d\colon A\longrightarrow \Omega _{A{|}R},\,a\longmapsto d(a)=da,$

heißt die universelle Derivation. Man prüft sofort nach, dass es sich um eine ${}R$-Derivation handelt.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine kommutative ${}R$-Algebra. Dann besitzt der ${}A$-Modul ${}\Omega _{A{|}R}$ der Kähler-Differentiale die folgende universelle Eigenschaft.

Zu jedem ${}A$-Modul ${}M$ und jeder ${}R$-Derivation

$\delta \colon A\longrightarrow M$

gibt es eine eindeutig bestimmte ${}A$-lineare Abbildung

$\epsilon \colon \Omega _{A{|}R}\longrightarrow M$

mit ${}\epsilon \circ d=\delta$.

Beweis

Für jedes ${}da$, ${}a\in A$, muss ${}\epsilon (da)=\delta (a)$ sein. Da die ${}da$ ein ${}A$-Modul-Erzeugendensystem von ${}\Omega _{A{|}R}$ bilden, kann es maximal nur einen solchen Homomorphismus geben.
Es sei ${}F$ der freie Modul zur Basis ${}da$, ${}a\in A$. Die Zuordnung ${}{\tilde {\epsilon }}(da)=\delta (a)$ legt nach dem Festlegungssatz einen ${}A$-Modulhomomorphismus

${\tilde {\epsilon }}\colon F\longrightarrow M$

fest. Es ist ${}\Omega _{A{|}R}=F/U$, wobei ${}U$ der von den Elementen erzeugte Untermodul ist, die die Leibnizregel und die Linearität ausdrücken. Da ${}\delta$ eine Derivation ist, wird ${}U$ unter ${}{\tilde {\epsilon }}$ auf ${}0$ abgebildet. Daher gibt es nach dem Homomorphiesatz eine eindeutige ${}A$-lineare Abbildung

$\epsilon \colon \Omega _{A{|}R}\cong F/U\longrightarrow M$

mit

${}\epsilon (da)={\tilde {\epsilon }}(da)=\delta (a)\,.$

$\Box$

Diese Aussage kann man auch so ausdrücken, dass eine natürliche ${}A$-Modulisomorphie

${}\operatorname {Der} _{R}{\left(A,M\right)}\cong \operatorname {Hom} _{A}{\left(\Omega _{A{|}R},M\right)}\,$

vorliegt. Insbesondere ist

${}\operatorname {Der} _{R}{\left(A,A\right)}\cong \operatorname {Hom} _{A}{\left(\Omega _{A{|}R},A\right)}={\Omega _{A{|}R}}^{*}\,,$

wobei rechts der Dualmodul genommen wird.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$-Algebra und ${}\Omega _{A{|}R}$ der Modul der Kähler-Differentiale. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}dr=0$ für alle ${}r\in R$.
2. Man kann

   $\Omega _{A{|}R}$

   als den Restklassenmodul des freien ${}A$-Moduls zur Basis ${}da$, ${}a\in A$, modulo dem Untermodul, der von den Leibnizrelationen und von ${}dr$, ${}r\in R$, erzeugt wird, beschreiben.

3. Bei ${}A=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ ist ${}dx_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, ein ${}A$-Modulerzeugendensystem von ${}\Omega _{A{|}R}$.
4. Sei ${}A=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$. Für ein Polynom ${}F\in R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und das zugehörige Element ${}f=F{\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}\in A$ gilt in ${}\Omega _{A{|}R}$ die Beziehung

   ${}df={\frac {\partial F}{\partial x_{1}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial F}{\partial x_{n}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{n}\,,$

   wobei ${}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}$ die ${}i$-te partielle Derivation bezeichnet.

5. Zu einem kommutativen Diagramm

   ${\begin{matrix}R&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&S&\\\downarrow &&\downarrow &\\A&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&B&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

   wobei die Pfeile Ringhomomorphismen repräsentieren, gibt es eine eindeutig bestimmte ${}A$-lineare Abbildung

   $\Omega _{A{|}R}\longrightarrow \Omega _{B{|}S},\,da\longmapsto d\varphi (a).$

Beweis

1. Es sei ${}r\in R$. Wegen der ${}R$-Linearität ist ${}d(r1)=rd(1)$. Wegen der Produktregel ist

   ${}d(1)=d(1\cdot 1)=1d(1)+1d(1)\,,$

   sodass durch Subtraktion ${}d(1)=0$ folgt.

2. Wir zeigen, dass der in Frage stehende Untermodul ${}V$ mit dem Untermodul ${}U$ übereinstimmt, der von allen Leibnizrelationen und von den Linearitätsrelationen erzeugt wird. Nach Teil (1) ist die Inklusion ${}V\subseteq U$ klar. Für ${}a,b\in A$ und ${}r,s\in R$ gilt modulo ${}V$ die Gleichheit

   ${}d(ra+sb)=d(ra)+d(sb)=rda+adr+sdb+bds=rda+sdb\,,$

   sodass also auch die Linearitätsrelationen zu ${}V$ gehören.

3. Dies folgt aus der Linearität und der Leibnizregel.
4. Beide Seiten sind ${}R$-linear, sodass es genügt, die Aussage für Monome zu zeigen. Für Monome beweist man die Aussage durch Induktion über den Gesamtgrad des Monoms.
5. Da ${}B$ über ${}\varphi \colon A\rightarrow B$ eine ${}A$-Algebra ist, ist auch ${}\Omega _{B{|}S}$ ein ${}A$-Modul. Die Verknüpfung

   $A{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}B{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Omega _{B{|}S}$

   ist eine ${}R$-Derivation, wie man unmittelbar nachrechnet. Aufgrund der universellen Eigenschaft von ${}\Omega _{A{|}R}$ gibt es eine eindeutig bestimmte ${}A$-lineare Abbildung

   ${\tilde {\varphi }}\colon \Omega _{A{|}R}\longrightarrow \Omega _{B{|}S}$

   mit ${}d\varphi (a)={\tilde {\varphi }}(da)$.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in ${}n$ Variablen über ${}R$.

Dann ist der Modul der Kähler-Differentiale der freie ${}A$-Modul zur Basis

$dX_{1},dX_{2},\ldots ,dX_{n}.$

Die universelle Derivation ist bezüglich dieser Basis durch

$A\longrightarrow AdX_{1}\oplus \cdots \oplus AdX_{n},\,F\longmapsto dF={\frac {\partial F}{\partial X_{1}}}dX_{1}+\cdots +{\frac {\partial F}{\partial X_{n}}}dX_{n},$

gegeben.

Beweis

Es sei ${}G$ der von den Symbolen ${}dX_{i}$ erzeugte freie ${}A$-Modul. Die Abbildung

$\varphi \colon G\longrightarrow \Omega _{A{|}R},$

die das Basiselement ${}dX_{i}$ auf das Differential ${}dX_{i}$ schickt, ist nach Fakt  (3) surjektiv. Die ${}i$-te partielle Ableitung

${\frac {\partial }{\partial X_{i}}}\colon A\longrightarrow A,\,F\longmapsto {\frac {\partial F}{\partial X_{i}}},$

ist eine ${}R$-Derivation, sodass es aufgrund der universellen Eigenschaft des Moduls der Differentialformen eine ${}A$-lineare Abbildung

$p_{i}\colon \Omega _{A{|}R}\longrightarrow A$

mit ${}p_{i}\circ d={\frac {\partial }{\partial X_{i}}}$ gibt. Dabei ist ${}p_{i}(dX_{i})=1$ und ${}p_{i}(dX_{j})=0$ für ${}j\neq i$. Diese Abbildungen ergeben zusammen eine ${}A$-lineare Abbildung

$p=p_{1}\times \cdots \times p_{n}\colon \Omega _{A{|}R}\longrightarrow A^{n}\cong G,$

für die ${}p\circ \varphi =\operatorname {Id} _{G}$ gilt. Daher ist ${}\varphi$ auch injektiv.

$\Box$

Im Allgemeinen ist der Modul der Kähler-Differentiale nicht frei. Wenn ${}R$ ein Körper und ${}A$ der lokale Ring zu einem Punkt auf einer Varietät ist, so charakterisiert die Freiheit des Moduls sogar, dass der Punkt glatt ist, siehe Fakt und Fakt.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$-Algebra und ${}S\subseteq A$ ein multiplikatives System.

Dann ist

${}\Omega _{A_{S}{|}R}\cong {\left(\Omega _{A{|}R}\right)}_{S}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es seien ${}A$ und ${}B$ kommutative ${}R$-Algebren und

$\varphi \colon A\longrightarrow B$

ein ${}R$-Algebrahomomorphismus.

Dann ist die Sequenz

$\Omega _{A{|}R}\otimes _{A}B\longrightarrow \Omega _{B{|}R}\longrightarrow \Omega _{B{|}A}\longrightarrow 0$

von ${}B$-Moduln exakt.

Dabei geht ${}da\otimes b$ auf ${}bd\varphi (a)$ und ${}db$ (in ${}\Omega _{B{|}R}$) auf ${}db$ (in ${}\Omega _{B{|}A}$).

Beweis

Die Surjektivität rechts ist klar. Zur Exaktheit an der zweiten Stelle verwenden wir die Beschreibung aus Fakt  (2). Die beiden Moduln ${}\Omega _{B{|}A}$ und ${}\Omega _{B{|}R}$ besitzen das gleiche Erzeugendensystem und auch die Leibnizrelationen sind für beide gleich. Der Modul ${}\Omega _{B{|}A}$ ergibt sich aus ${}\Omega _{B{|}R}$ gerade dadurch, dass man den von den ${}da$, ${}a\in A$, erzeugten ${}B$-Untermodul zu ${}0$ macht. Dieser Untermodul ist genau das Bild der Abbildung links.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, es sei ${}A$ eine kommutative ${}R$-Algebra und ${}I\subseteq A$ ein Ideal mit dem Restklassenring ${}B=A/I$.

Dann ist die Sequenz

$I/I^{2}\longrightarrow \Omega _{A{|}R}\otimes _{A}B\longrightarrow \Omega _{B{|}R}\longrightarrow 0$

von ${}B$-Moduln exakt.

Dabei geht ${}a\in I$ auf ${}da\otimes 1$ und ${}da\otimes b$ auf ${}bda$.

Beweis

Die ${}R$-lineare Abbildung

$A\longrightarrow \Omega _{A{|}R},\,a\longmapsto da,$

kann man auf das Ideal ${}I\subseteq A$ einschränken. Durch Tensorieren mit ${}A/I$ erhält man unter Verwendung von Fakt  (2) die ${}A/I$-lineare Abbildung

$I/I^{2}\cong I\otimes _{A}A/I\longrightarrow \Omega _{A{|}R}\otimes _{A}A/I.$

Die Surjektivität der Abbildung rechts ist klar, da der ${}B$-Modul ${}\Omega _{B{|}R}$ von den ${}db$, ${}b\in B$, erzeugt wird und diese von ${}da$, ${}a\in A$ herrühren. Ein Element ${}a\in I$ geht auf ${}da$ und damit auf ${}0$ in ${}\Omega _{B{|}R}$, da das Element ${}a$ in ${}B$ selbst ${}0$ wird.

Es sei nun

${}\omega \in \Omega _{A{|}R}\otimes _{A}B\,$

ein Element, das in ${}\Omega _{B{|}R}$ auf ${}0$ abbildet. Wir können

${}\omega =\sum _{i=1}^{n}da_{i}\otimes b_{i}=\sum _{i=1}^{n}da_{i}\otimes {\overline {c}}_{i}\,$

mit ${}a_{i},c_{i}\in A$ schreiben. Da es auf ${}0$ in ${}\Omega _{B{|}R}$ abbildet, gilt in dem von den Symbolden ${}db$, ${}b\in B$, erzeugten freien ${}B$-Modul die Beziehung

${}\sum _{i=1}^{n}c_{i}da_{i}=\sum _{j=1}^{m}h_{j}\omega _{j}\,,$

wobei ${}h_{j}\in B$ und die ${}\omega _{j}$ Erzeuger der Relationen für den Modul der Kähler-Differentiale ist, also gleich ${}dfg=fdg+gdf$ mit ${}f,g\in B$ oder gleich ${}d(rf+sg)=rdf+sdg$ mit ${}r,s\in R$ und ${}f,g\in B$ ist. Der angesprochene freie ${}B$-Modul entsteht aus dem durch die ${}da$, ${}a\in A$, erzeugten freien ${}A$-Modul einfach dadurch, dass man die Koeffizienten aus ${}I$ und die ${}dI$ zu ${}0$ macht. Somit gilt in diesem freien ${}A$-Modul

${}\sum _{i=1}^{n}c_{i}da_{i}-\sum _{j=1}^{m}h_{j}\omega _{j}=\sum _{k=1}^{\ell }m_{k}dn_{k}+du\,$

mit ${}m_{k}\in I$, ${}n_{k}\in B$ und ${}u\in I$. In ${}\Omega _{A{|}R}\otimes _{R}B$ wird ${}\sum _{k=1}^{\ell }m_{k}dn_{k}$ wegen der Tensorierung zu ${}0$ und daher gilt dort in der Tat

${}\sum _{i=1}^{n}c_{i}da_{i}=du\,.$

$\Box$

Korollar

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es sei ${}A$ eine kommutative endlich erzeugte ${}R$-Algebra, die als

${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F_{1},\ldots ,F_{k})\,$

gegeben sei.

Dann ist

${}\Omega _{A{|}R}=\bigoplus _{i=1}^{n}AdX_{i}/(dF_{1},\ldots ,dF_{k})\,.$

Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.

$\Box$

Bemerkung  

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es sei ${}A$ eine kommutative endlich erzeugte ${}R$-Algebra, die als ${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F_{1},\ldots ,F_{k})$ gegeben sei. Dann ist nach Fakt  (4)

${}dF_{j}={\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{1}}}dX_{1}+\cdots +{\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{n}}}dX_{n}\,$

und nach Fakt gibt es eine exakte Sequenz

$A^{k}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}A^{n}\longrightarrow \Omega _{A{|}R}\longrightarrow 0,$

wobei

${}M={\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial F_{k}}{\partial X_{1}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{n}}}&\ldots &{\frac {\partial F_{k}}{\partial X_{n}}}\end{pmatrix}}\,$

die transponierte Jacobi-Matrix (ohne Auswertung an einem Punkt) ist. Die Standardvektoren ${}e_{j}$ werden auf ${}dX_{j}$ abgebildet und die Spaltenvektoren ${}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{1}}}\\\vdots \\{\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{n}}}\end{pmatrix}}$, die die Nullelemente ${}dF_{j}$ repräsentieren, sind die Bilder der durch die Matrix gegebenen Abbildung.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine kommutative endliche erzeugte ${}R$-Algebra. Es sei ${}R\rightarrow R'$ ein Ringhomomorphismus und sei ${}A'=A\otimes _{R}R'$.

Dann ist

${}\Omega _{A'{|}R'}\cong \Omega _{A{|}R}\otimes _{A}A'\,.$

Beweis

Es sei ${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F_{1},\ldots ,F_{k})$. Nach Bemerkung liegt eine exakte Sequenz

$A^{k}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}A^{n}\longrightarrow \Omega _{A{|}R}\longrightarrow 0$

vor, wobei ${}M$ die transponierte Jacobi-Matrix zu den ${}F_{j}$ ist. Tensorierung mit ${}A'$ über ${}A$ ergibt

$(A')^{k}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}(A')^{n}\longrightarrow \Omega _{A{|}R}\otimes _{A}A'\longrightarrow 0.$

Wegen ${}A'=R'[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F_{1},\ldots ,F_{k})$ mit den ${}F_{i}$ aufgefasst über ${}R'$ ist auch

$(A')^{k}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}(A')^{n}\longrightarrow \Omega _{A'{|}R'}\longrightarrow 0,$

sodass die in Frage stehenden ${}A'$-Moduln übereinstimmen.

$\Box$