Differenzierbare Mannigfaltigkeit/de Rham-Komplex/Einführung/Textabschnitt

Auf einer ${}C^{\infty }$-differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ bilden die (reell- oder komplexwertigen) ${}k$-Differentialformen eine Garbe ${}U\mapsto {\mathcal {E}}^{k}(U)$. Die äußere Ableitung definiert einen Garbenhomomorphismus

$d\colon {{\mathcal {E}}^{k}}\longrightarrow {{\mathcal {E}}^{k+1}}.$

Definition

Es sei ${}M$ eine ${}n$-dimensionale ${}C^{\infty }$-reelle Mannigfaltigkeit. Man nennt den durch die äußeren Ableitungen gegebenen Garbenkomplex

$0\longrightarrow {\mathcal {E}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{{\mathcal {E}}^{(1)}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{{\mathcal {E}}^{(2)}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\ldots {\stackrel {d}{\longrightarrow }}{{\mathcal {E}}^{(n-1)}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{{\mathcal {E}}^{(n)}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}0$

den de-Rham-Komplex auf ${}M$.

Wichtige Eigenschaften werden in Fakt formuliert. Ferner ist wegen des Lemmas von Poincarés für Differentialformen der Komplex ab der Stelle ${}i\geq 1$ als Garbenkomplex exakt. Öfters ergänzt man links den Komplex durch die Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in ${}\mathbb {R}$, um überall Exaktheit zu erreichen. In der gegebenen Form ist der Komplex aber gerade eine Auflösung dieser lokal konstanten Garbe. Die globale Auswertung ist im Allgemeinen nicht exakt, vielmehr die Grundlage für die Einführung der de-Rham-Kohomologie.

Definition

Es sei ${}M$ eine ${}n$-dimensionale ${}C^{\infty }$-reelle Mannigfaltigkeit. Man definiert über den de-Rham-Komplex die ${}i$-te de-Rham-Kohomologie von ${}M$ durch

${}H_{dR}^{i}(M):=\operatorname {kern} \left({{\mathcal {E}}^{(i)}}{\left(M\right)}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{{\mathcal {E}}^{(i+1)}}{\left(M\right)}\right)/\operatorname {bild} {\left({{\mathcal {E}}^{(i-1)}}{\left(M\right)}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{{\mathcal {E}}^{(i)}}{\left(M\right)}\right)}\,.$

Eine ${}i$-te de Rham-Kohomoloieklasse wird also durch eine geschlossene ${}i$-te Differentialform ${}\omega$ repräsentiert, wobei zwei Differentialformen die gleiche Klasse definieren, wenn ihre Differenz eine exakte Differentialform ist.

Bemerkung  

Für eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$ ist ${}H_{dR}^{0}(M)=\mathbb {R} ^{I}$, wobei ${}I$ die Menge der Zusammenhangskomponenten von ${}M$ ist. Insbesondere ist ${}H_{dR}^{0}(M)=\mathbb {R}$ für eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit.

Beispiel

Für die eindimensionale Sphäre ${}S^{1}$ ist ${}H^{0}(S^{1})=\mathbb {R}$ und ${}H^{1}(S^{1})=\mathbb {R}$. Ersteres folgt aus Bemerkung.

Lemma

Es sei ${}M$ eine ${}n$-dimensionale ${}C^{\infty }$-reelle Mannigfaltigkeit.

Dann ist durch das Dachprodukt von Differentialformen eine assoziative Verknüpfung

$H_{dR}^{i}(M)\times H_{dR}^{j}(M)\longrightarrow H_{dR}^{i+j}(M),\,([\sigma ],[\tau ])\longmapsto \sigma \wedge \tau ,$

auf der direkten Summe ${}\bigoplus _{i=0}^{n}H_{dR}^{i}(M)$ der de Rham-Komomologien definiert.

Beweis

Es sei ${}\sigma$ eine ${}i$-te geschlossene Differentialform und ${}\tau$ eine ${}j$-te geschlossene Differentialform. Dann ist zunächst ${}\sigma \wedge \tau$ ebenfalls geschlossen, da nach Fakt  (3) die Produktregel

${}d(\sigma \wedge \tau )=(d\sigma )\wedge \tau +(-1)^{i}\sigma \wedge d\tau \,$

gilt. Wenn man zu ${}\sigma$ (entsprechend zu ${}\tau$) eine exakte Differentialform ${}d\omega$ (mit einer ${}i-1$-Form ${}\omega$) hinzuaddiert, ist ebenfalls wegen der Produktregel

${}{\begin{aligned}{\left(\sigma +d\omega \right)}\wedge \tau &=\sigma \wedge \tau +{\left(d\omega \right)}\wedge \tau \\&=\sigma \wedge \tau +d(\omega \wedge \tau )-(-1)^{i-1}\omega \wedge d\tau \\&=\sigma \wedge \tau +d(\omega \wedge \tau ),\end{aligned}}$

d.h.

${}[{\left(\sigma +d\omega \right)}\wedge \tau ]=[\sigma \wedge \tau ]\,$

in ${}H_{dR}^{i+j}(M)$. Die Assoziativität folgt aus der Assoziativität des Dachproduktes.

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Definition

Es sei ${}M$ eine ${}n$-dimensionale ${}C^{\infty }$-reelle Mannigfaltigkeit. Man definiert die de-Rham-Kohomologie von ${}M$ durch ${}H_{dR}^{*}(M):=\bigoplus _{i=0}^{n}H_{dR}^{i}(M)$ zusammen mit der durch das Dachprodukt gegebenen Verknüpfung.

Lemma

Differenzierbare Mannigfaltigkeit/de Rham-Kohomologie/Algebra/Eigenschaften/Fakt

Beweis

Differenzierbare Mannigfaltigkeit/de Rham-Kohomologie/Algebra/Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Lemma

Es seien ${}M$ und ${}N$ ${}C^{\infty }$-reelle Mannigfaltigkeiten.

Dann induziert eine differenzierbare Abbildung ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ über den Rückzug von Differentialformen einen homogenen ${}\mathbb {R}$-Algebrahomomorphismus

$H_{dR}^{*}(N)\longrightarrow H_{dR}^{*}(M),\,[\omega ]\longmapsto [\varphi ^{*}\omega ].$

Beweis

Die Wohldefiniertheit ergibt sich aus Fakt  (5). Die Verträglichkeit mit der Produktstruktur folgt aus der Verträglichkeit des Dachproduktes mit dem Rückzug von Differentialformen.

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Satz

Es seien ${}M$ und ${}N$ ${}C^{\infty }$-reelle Mannigfaltigkeiten und seien ${}f,g\colon M\rightarrow N$ differenzierbare Abbildungen, die zueinander differenzierbar homotop seien.

Dann stimmen die induzierten Abbildungen auf der de Rham-Kohomologie

$H^{*}(f),H^{*}(g)\colon H^{*}(N)\longrightarrow H^{*}(M)$

überein.

Beweis

Differenzierbare Mannigfaltigkeit/de Rham-Kohomologie/Homotopieinvarianz/Fakt/Beweis

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