Glatte Kurve/Weildivisoren/Vorschub/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einem nichtkonstanten Morphismus

$\varphi \colon C_{1}\longrightarrow C_{2}$

zwischen glatten Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und einem Weildivisor ${}D=\sum _{P}n_{P}\cdot P$ auf ${}C_{1}$ nennt man

${}\varphi _{*}D:=\sum _{P\in C_{1}}n_{P}\varphi (P)=\sum _{Q\in C_{2}}{\left(\sum _{P\in \varphi ^{-1}(Q)}n_{P}\right)}Q\,$

den vorgeschobenen Weildivisor.

Die entscheidende Eigenschaft ist, dass ein Punkt ${}P\in C_{1}$ auf den Punkt ${}\varphi (P)\in C_{2}$ abgebildet wird, dies legt den Gruppenhomomorphismus ${}\varphi _{*}$ fest.

Lemma

Es sei ${}\varphi \colon C_{1}\rightarrow C_{2}$ ein endlicher Morphismus vom Grad ${}d$ zwischen irreduziblen, glatten Kurven. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.

1. Zu einem weiteren endlichen Morphismus ${}\psi \colon C_{2}\rightarrow C_{3}$ ist ${}(\psi \circ \varphi )_{*}=\psi _{*}\circ \varphi _{*}$.
2. Zu einem Divisor ${}D$ auf ${}C_{1}$ ist

   ${}\operatorname {Grad} \,(\varphi _{*}D)=\operatorname {Grad} \,(D)\,.$

3. Zu einem Weildivisor ${}D$ auf ${}C_{2}$ ist

   ${}\varphi _{*}(\varphi ^{*}(D))=d\cdot D\,.$

Beweis

(1) ist klar, bei (2) und (3) genügt es, die Aussagen für einen einzelnen Punkt zu zeigen. (2) ist dann klar, (3) folgt aus Fakt.

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Lemma

Es sei ${}\varphi \colon C_{1}\rightarrow C_{2}$ ein endlicher Morphismus vom Grad ${}d$ zwischen irreduziblen, glatten Kurven, die zugehörige Körpererweiterung der Funktionenkörper sei galoissch mit Galoisgruppe ${}G$.

1. Zu einem Weildivisor ${}D$ auf ${}C_{1}$ ist

   ${}\varphi _{*}(D)=\varphi _{*}(\sigma _{*}(D))\,$

   für ${}\sigma \in G$.

2. Zu ${}g\in Q(C_{2})$, ${}g\neq 0$, ist

   ${}\varphi _{*}\operatorname {div} {\left(g\right)}=d\cdot \operatorname {div} {\left(g\right)}\,$

3. Zu einem Hauptdivisor ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ mit ${}f\in Q(C_{1})$, ${}f\neq 0$, ist

   ${}\varphi _{*}(\operatorname {div} {\left(f\right)})=\operatorname {div} {\left(N(f)\right)}\,,$

   wobei ${}N(f)$ die Norm bezeichnet.

Beweis

Wegen der Endlichkeit der Abbildung operiert die Galoisgruppe auf ${}C_{1}$, siehe Fakt. (1) folgt direkt aus der Funktorialität des Vorschubs. (2) ergibt sich unter Verwendung von Fakt  (3) und Fakt mit

${}\varphi _{*}\operatorname {div} {\left(g\right)}=\varphi _{*}\varphi ^{*}(\operatorname {div} {\left(g\right)})=d\cdot \operatorname {div} {\left(g\right)}\,.$

(3). Es ist

${}N(f)=\prod _{\sigma \in G}\sigma \circ f\,.$

In der Divisorengruppe zu ${}C_{1}$ gilt

${}\operatorname {div} {\left(N(f)\right)}=\sum _{\sigma }\operatorname {div} {\left(\sigma \circ f\right)}\,$

und daher ist nach (2) und (1)

${}d\cdot \operatorname {div} {\left(N(f)\right)}=\varphi _{*}\operatorname {div} {\left(N(f)\right)}=\sum _{\sigma }\varphi _{*}\operatorname {div} {\left(\sigma \circ f\right)}=d\cdot \varphi _{*}\operatorname {div} {\left(f\right)}\,.$

Da die Divisorengruppe torsionsfrei ist, folgt die Gleichheit.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}p$ und sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung des Transzendenzgrades ${}1$ mit der zugehörigen glatten projektiven Kurve ${}C_{2}$ im Sinne von Fakt. Das Element ${}a\in L$ besitze in ${}L$ keine ${}p$-te Wurzel und sei ${}M=L[Y]/(Y^{p}-a)$ der dadurch gegebene Erweiterungskörper von ${}L$ mit zugehöriger Kurve ${}C_{1}$ und dem zugehörigen endlichen Morphismus ${}\varphi \colon C_{1}\rightarrow C_{2}$ im Sinne von Fakt.

Dann gilt für den Vorschub eines Hauptdivisors

${}\varphi _{*}(\operatorname {div} {\left(f\right)})=\operatorname {div} {\left(f^{p}\right)}\,.$

Beweis

Die Kurvenabbildung ist eine Bijektion mit Verzweigungsordnung ${}p$ in jedem Punkt, die Erweiterung der diskreten Bewertungsringe ist durch ${}V\rightarrow V[X]/(X^{p}-b)=W$ mit einem ${}b\in V$ gegeben. Für eine Ortsuniformisierende ${}\pi _{1}\in V$ ist ${}\pi _{2}=u\pi _{1}^{p}$ mit einer Einheit ${}u$. Für ${}f\in W$ ist ${}f^{p}\in V$ und aus

${}f=v\pi _{2}^{n}\,$

folgt direkt

${}f^{p}=v^{p}\pi _{2}^{pn}=v^{p}\pi _{1}^{n}\,,$

die Ordnung von ${}f$ oben stimmt also mit der Ordung von ${}f^{p}$ unten überein.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}\varphi \colon C_{1}\rightarrow C_{2}$ ein endlicher Morphismus vom Grad ${}d$ zwischen irreduziblen, glatten Kurven.

Dann werden unter dem Vorschub

$\varphi _{*}\colon \operatorname {Div} {\left(C_{1}\right)}\longrightarrow \operatorname {Div} {\left(C_{2}\right)},\,D\longmapsto \varphi _{*}D,$

Hauptdivisoren auf Hauptdivisoren abgebildet.

Insbesondere induziert der Morphismus einen Homomorphismus

$\varphi _{*}\colon \operatorname {DKG} {\left(C_{1}\right)}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(C_{2}\right)}$

der Divisorenklassengruppen.

Beweis

Die Erweiterung der Funktionenkörper ${}\mathbb {Q} (C_{2})\subseteq \mathbb {Q} (C_{1})$ besitzt nach Fakt einen Zwischenkörper ${}\mathbb {Q} (C_{2})\subseteq M\subseteq \mathbb {Q} (C_{1})$ derart, dass ${}\mathbb {Q} (C_{2})\subseteq M$ separabel und ${}M\subseteq \mathbb {Q} (C_{1})$ rein-inseparabel ist. Dem entspricht gemäß Fakt eine Faktorisierung

$C_{1}\longrightarrow C\longrightarrow C_{2}.$

Es genügt also, die Aussage für eine separable Kurvenabbildung und eine rein-inseparable Kurvenabbildung zu zeigen. Im zweiten Fall liegt eine Verknüpfung von Körpererweiterungen der in Fakt beschriebenen Form vor, für diese wurde die Behauptung dort bewiesen.

Den separablen Fall kann man auf den Galoisfall zurückführen, der in Fakt  (3) behandelt wurde. Es sei ${}Q(C)\subseteq Q(C_{1})\subseteq L$ insgesamt galoissch und ${}L=Q(C_{0})$ mit einer weiteren Kurve ${}C_{0}$ endlich über ${}C_{1}$. Wir betrachten also die Situation

$C_{0}{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}C_{1}{\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}C.$

Zu ${}D=\operatorname {div} {\left(f\right)}$ behaupten wir wieder

${}\theta _{*}D=\operatorname {div} {\left(N_{C}^{C_{1}}(f)\right)}\,.$

Es ist

${}\psi _{*}\psi ^{*}\operatorname {div} {\left(f\right)}=\operatorname {Grad} \,(\psi )\cdot \operatorname {div} {\left(f\right)}\,.$

Nach Fakt  (3), Fakt, Fakt  (3) und Gesetzen für die Norm ist

${}{\begin{aligned}\operatorname {Grad} \,(\psi )\cdot \theta _{*}(\operatorname {div} {\left(f\right)})&=\theta _{*}(\operatorname {Grad} \,(\psi )\cdot \operatorname {div} {\left(f\right)})\\&=\theta _{*}(\psi _{*}\psi ^{*}\operatorname {div} {\left(f\right)})\\&=(\theta _{*}\psi _{*})(\operatorname {div} {\left(f\right)})\\&=\operatorname {div} {\left(N_{C}^{C_{0}}(f)\right)}\\&=\operatorname {div} {\left(N_{C}^{C_{1}}(f^{\operatorname {Grad} \,(\psi )})\right)}\\&=\operatorname {Grad} \,(\psi )\cdot \operatorname {div} {\left(N_{C}^{C_{1}}(f)\right)}.\end{aligned}}$

$\Box$