Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 1
- Übungsaufgaben
Skizziere im die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
Berechne den Durchschnitt der Kurven aus Aufgabe 1.1 mit den folgenden Geraden.
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
- Finde eine ganzzahlige Lösung
für die Gleichung
- Zeige, dass
eine Lösung für die Gleichung
ist.
Es sei das Bild unter der polynomialen Abbildung
Bestimme ein Polynom in zwei Variablen derart, dass auf dem Nullstellengebilde zu liegt.
Wir betrachten die Kurve
a) Zeige, dass die Bildpunkte der Kurve die Gleichung
erfüllen.
b) Zeige, dass jeder Punkt mit zum Bild der Kurve gehört.
c) Zeige, dass es genau zwei Punkte und mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.
Diskutiere den Zusammenhang zwischen ebenen algebraischen Kurven und dem Satz über implizite Funktionen.
Sei . Bestimme alle Punkte in , die auf der Kurve liegen, die durch die Gleichung
gegeben ist. Wie viele Lösungen gibt es?
Finde eine Gerade , die die Kurve
in genau einem Punkt schneidet.
Zeige, dass die Neilsche Parabel
jede Gerade durch den Punkt in mindestens einem weiteren Punkt trifft.
Begründe analytisch, dass es einen reellen Schnittpunkt des Einheitskreises mit der Neilschen Parabel gibt und bestimme numerisch die reelle -Koordinate eines solchen Schnittpunktes mit einem Fehler .
Multipliziere in die beiden Polynome
Multipliziere in die beiden Polynome
Es sei ein Integritätsbereich. Zeige, dass dann auch der Polynomring integer ist.
Es sei ein Integritätsbereich und der Polynomring über . Zeige, dass die Einheiten von genau die Einheiten von sind.
Es sei ein Körper. Zeige, dass die beiden folgenden Eigenschaften äquivalent sind:
- ist algebraisch abgeschlossen.
- Jedes nicht-konstante Polynom zerfällt in Linearfaktoren.
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Bestimme in die irreduziblen Polynome.
Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass nicht endlich sein kann.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Betrachte Gleichungen der Form
über . Skizziere die verschiedenen Lösungsmengen für die Koeffizienten .
Aufgabe (3 Punkte)
Führe in folgende Polynomdivision aus.
Aufgabe (5 Punkte)
Bestimme im Polynomring alle irreduziblen Polynome vom Grad .
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung
für die Körper , und .
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei das Bild unter der polynomialen Abbildung
Bestimme ein Polynom in zwei Variablen derart, dass auf dem Nullstellengebilde zu liegt.
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
die einem Punkt den eindeutigen Schnittpunkt der durch die beiden Punkte und gegebenen Geraden mit dem Einheitskreis
zuordnet. Zeige, dass diese Abbildung wohldefiniert ist und bestimme die funktionalen Ausdrücke, die diese Abbildung beschreiben. Zeige, dass differenzierbar ist. Ist injektiv, ist surjektiv?
Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018) | >> |
---|