Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 10/kontrolle

Aufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei angenommen, dass jede ganze Zahl ${}n\in \mathbb {Z}$, ${}n\neq 0$, eine Primfaktorzerlegung in ${}R$ besitzt. Zeige, dass dann ${}R$ bereits faktoriell ist.

Aufgabe Aufgabe 10.2 ändern

Es sei ${}D\neq 0,1$ quadratfrei und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Es Es sei ${}p$ eine Primzahl, die in ${}A_{D}$ nicht träge sei. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen.

1. ${}p$ besitzt eine Primfaktorzerlegung in ${}A_{D}$.
2. ${}p$ ist nicht irreduzibel (also zerlegbar) in ${}A_{D}$.
3. ${}p$ oder ${}-p$ ist die Norm eines Elementes aus ${}A_{D}$.
4. ${}p$ oder ${}-p$ ist die Norm eines Primelementes aus ${}A_{D}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}D<0$ quadratfrei und ${}A_{D}$ der zugehörige imaginär-quadratische Zahlbereich. Bestimme für ${}D\geq -12$ die Nichteinheiten ${}z\in A_{D}$ mit minimaler Norm.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$ die beiden Elemente

$x=4+7{\sqrt {-2}}\,\,{\text{ und }}\,\,y=5+8{\sqrt {-2}}.$

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler der Normen ${}N(x)$ und ${}N(y)$ (in ${}\mathbb {Z}$) und das von ${}x$ und ${}y$ erzeugte Ideal in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für einen quadratischen Zahlbereich, wo die ${}-1$ als Norm eines Elementes auftritt, und ein Beispiel, wo dies nicht der Fall ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die Norm des Ideals ${}(X^{2}+1)$ im Zahlbereich ${}\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+1\right)}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Norm des Ideals ${}(X^{2}+7)$ im Zahlbereich ${}\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-2\right)}$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

1. Zeige, dass in ${}\mathbb {Z} [X]$ die Ideale ${}{\left(X^{4}-7,X^{3}-5\right)}$ und ${}(X+55,282)$ übereinstimmen.
2. Bestimme die Norm des Ideals ${}(X^{3}-5)$ im Zahlbereich ${}\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}-7\right)}$.
3. Bestimme die Norm des Ideals ${}(X^{4}-7)$ im Zahlbereich ${}\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-5\right)}$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und es sei ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ ein Primideal. Zeige, dass die Norm von ${}{\mathfrak {p}}$ eine echte Primzahlpotenz ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme im quadratischen Zahlbereich ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]$ endlich viele Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{m}$, deren Norm ${}13$ ist, und die die Eigenschaft erfüllen, dass jedes Element mit der Norm ${}13$ zu einem der ${}f_{j}$ assoziiert ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe das Spektrum eines diskreten Bewertungsringes.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring und sei ${}{\mathfrak {m}}=(\pi )$. Es sei ${}K=R/(\pi )$ der Restklassenkörper von ${}R$. Zeige, dass es für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ einen ${}R$- Modulisomorphismus

$(\pi ^{n})/(\pi ^{n+1})\longrightarrow K$

gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring, dessen Restekörper ${}K=R/{\mathfrak {m}}={\mathbb {F} }_{q}$ endlich mit ${}q$ Elementen sei. Zeige, dass ${}R/{\mathfrak {m}}^{n}$ ein endlicher Ring mit ${}q^{n}$ Elementen ist. Man folgere, dass zu ${}f\in R$ die Gleichheit

${}{\#\left(R/(f)\right)}=q^{\operatorname {ord} \,(f)}\,$

gilt, und dass man die Ordnung von ${}f$ aus der Größe des Restklassenringes berechnen kann.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper ${}Q$. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen ${}R$ und ${}Q$ gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper ${}Q$. Charakterisiere die endlich erzeugten ${}R$- Untermoduln von ${}Q$. Auf welche Form kann man ein Erzeugendensystem bringen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$ und sei ${}f\in K[X]$, ${}f\neq 0$, und ${}a\in K$. Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von ${}f$ an der Stelle ${}a$ übereinstimmen.

1. Die Verschwindungsordnung von ${}f$ an der Stelle ${}a$, also die maximale Ordnung einer formalen Ableitung mit ${}f^{(k)}(a)=0$.
2. Der Exponent des Linearfaktors ${}X-a$ in der Zerlegung von ${}f$.
3. Die Ordnung von ${}f$ an der Lokalisierung ${}K[X]_{(X-a)}$ von ${}K[X]$ am maximalen Ideal ${}(X-a)$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K(T)$ der Körper der rationalen Funktionen über ${}K$. Finde einen diskreten Bewertungsring ${}R\subseteq K(T)$ mit ${}Q(R)=K(T)$ und mit ${}R\cap K[T]=K$.

Aufgabe Aufgabe 10.18 ändern

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(p)$. Zeige, dass die Ordnung

$R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} \,(f),$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. ${}\operatorname {ord} \,(fg)=\operatorname {ord} \,(f)+\operatorname {ord} \,(g)$.
2. ${}\operatorname {ord} \,(f+g)\geq \operatorname {min} \left(\operatorname {ord} \,(f),\,\operatorname {ord} \,(g)\right)$.
3. Es ist ${}f\in {\mathfrak {m}}$ genau dann, wenn ${}\operatorname {ord} \,(f)\geq 1$ ist.
4. Es ist ${}f\in R^{\times }$ genau dann, wenn ${}\operatorname {ord} \,(f)=0$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}p$ eine fixierte Primzahl. Zu jeder ganzen Zahl ${}n\neq 0$ bezeichne ${}\nu _{p}(n)$ den Exponenten, mit dem die Primzahl ${}p$ in der Primfaktorzerlegung von ${}n$ vorkommt.

a) Zeige: die Abbildung ${}\nu _{p}\colon \mathbb {Z} \setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {N}$ ist surjektiv.

b) Zeige: es gilt ${}\nu _{p}(nm)=\nu _{p}(n)+\nu _{p}(m)$.

c) Finde eine Fortsetzung ${}\nu _{p}\colon \mathbb {Q} \setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {Z}$ der gegebenen Abbildung, die ein Gruppenhomomorphismus ist (wobei ${}\mathbb {Q} ^{\times }=\mathbb {Q} \setminus \{0\}$ mit der Multiplikation und ${}\mathbb {Z}$ mit der Addition versehen ist).

d) Beschreibe den Kern des unter c) beschriebenen Gruppenhomomorphismus.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich ${}R=A_{-5}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ das Primideal ${}{\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})$. Zeige direkt, dass das Ideal ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ in der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein Hauptideal ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}D\neq 1$ quadratfrei und ${}D=1\mod 4$. Finde in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ derart, dass die Lokalisierung an ${}{\mathfrak {p}}$ kein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

$\nu \colon (K^{\times },\cdot ,1)\longrightarrow (\mathbb {Z} ,+,0)$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit ${}\nu (f+g)\geq \min\{\nu (f),\nu (g)\}$ für alle ${}f,g\in K^{\times }$. Zeige, dass

${}R={\left\{f\in K^{\times }\mid \nu (f)\geq 0\right\}}\cup \{0\}\,$

ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ der Einheitskreis über einem Körper ${}K$ und es sei ${}P=(a,b)\in V$ ein Punkt.

1. Zeige, dass der lokale Ring ${}R$ von ${}V$ im Punkt ${}P$ ein diskreter Bewertungsring ist.
2. Folgere, dass der Koordinatenring ${}K[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)$ normal ist (man kann ${}K$ algebraisch abgeschlossen annehmen).
3. Zeige, dass ${}K[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)$ nicht faktoriell ist.
4. Bestimme die Ordnung von ${}X$ und von ${}Y-1$ im lokalen Ring zum Punkt ${}(0,1)$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper. Eine Potenzreihe in einer Variablen über ${}K$ ist ein formaler Ausdruck der Form

$a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+a_{3}T^{3}+\ldots {\text{ mit }}a_{i}\in K.$

Es kann hier also unendlich viele von ${}0$ verschiedene Koeffizienten ${}a_{i}$ geben. Definiere eine Ringstruktur auf der Menge aller Potenzreihen, die die Ringstruktur auf dem Polynomring in einer Variablen fortsetzt. Zeige, dass dieser Ring ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$. Es sei ${}R=\bigcap _{i\in I}R_{i}$, wobei die ${}R_{i}\subseteq K$, ${}i\in I$, alle diskrete Bewertungsringe seien. Zeige: ${}R$ ist normal.

Ein Modul, der außer ${}0$ keine Torsionselemente enthält, heißt torsionsfrei.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass ein torsionsfreier endlich erzeugter Modul ${}M$ über einem diskreten Bewertungsring frei ist.