Kurs:Analysis/Teil I/60/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	6	2	4	4	2	3	3	4	5	7	5	4	2	7	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Realteil einer komplexen Zahl ${}z$.
2. Der Grad eines Polynoms ${}P\in K[X]$, ${}P\neq 0$, über einem Körper ${}K$.
3. Das Maximum der Funktion

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

   wird im Punkt ${}x\in M$ angenommen.

4. Die Potenzreihe in ${}z\in {\mathbb {C} }$ zu den Koeffizienten ${}c_{n}\in {\mathbb {C} }$, ${}n\in \mathbb {N}$.
5. Eine konkave Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

6. Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$

Lösung

1. Zu einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ nennt man ${}a$ den Realteil von ${}z$.
2. Der Grad eines von ${}0$ verschiedenen Polynoms

   ${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

   mit ${}a_{n}\neq 0$ ist ${}n$.

3. Man sagt, dass ${}f$ in ${}x\in M$ das Maximum annimmt, wenn

   $f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.$

4. Die Potenzreihe in ${}z$ ist die Reihe

   $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}.$

5. Die Funktion ${}f$ heißt konkav, wenn ihr Subgraph eine konvexe Menge ist.
6. Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu ${}f$ über ${}[a,b]$ heißt bestimmtes Integral.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Quotientenregel für konvergente Folgen.
2. Der Satz über die stetige Umkehrfunktion.
3. Die Produktregel für differenzierbare Funktionen

   $f,g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   in einem Punkt

   ${}a\in {\mathbb {K} }$.

Lösung

1. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in einem angeordneten Körper mit dem Grenzwert ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und mit ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$, Dann ist ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,.$

2. Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige,streng wachsende Funktion. Dann ist das Bild ${}J:=f(I)$ ebenfalls ein Intervall, und die Umkehrabbildung

   $f^{-1}\colon J\longrightarrow I$

   ist ebenfalls stetig.
3. Es seien ${}f$ und ${}g$ in ${}a$ differenzierbar. Dann ist das Produkt ${}f\cdot g$ differenzierbar in ${}a$ mit

   ${}(f\cdot g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)\,.$

Aufgabe (6 (2+1+3) Punkte)

Professor Knopfloch kommt gelegentlich mit verschiedenen Socken und/oder mit verschiedenen Schuhen in die Universität. Er legt folgende Definitionen fest.

1. Ein Tag heißt sockenzerstreut, wenn er verschiedene Socken anhat.
2. Ein Tag heißt schuhzerstreut, wenn er verschiedene Schuhe anhat.
3. Ein Tag heißt zerstreut, wenn er sockenzerstreut oder schuhzerstreut ist.
4. Ein Tag heißt total zerstreut, wenn er sowohl sockenzerstreut als auch schuhzerstreut ist.

a) Vom Jahr ${}2015$ weiß man, dass ${}17$ Tage sockenzerstreut und ${}11$ Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal zerstreut? Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal total zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut?

b) Vom Jahr ${}2013$ weiß man, dass ${}270$ Tage sockenzerstreut und ${}120$ Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut?

c) Erstelle eine Formel, die die Anzahl der sockenzerstreuten, der schuhzerstreuten, der zerstreuten und der total zerstreuten Tage in einem Jahr miteinander in Verbindung bringt.

Lösung

a) Zerstreutheit: Die sockenzerstreuten Tage sind jedenfalls zerstreut. Das Minimum ergibt sich, wenn alle schuhzerstreuten Tage auch sockenzerstreut waren, das sind ${}17$. Das Maximum ergibt sich, wenn kein Tag gleichzeitig sockenzerstreut und schuhzerstreut war, das ergibt ${}28$ Tage.

Totale Zerstreutheit: Die total zerstreuten Tage sind insbesondere schuhzerstreut. Das Maximum ergibt sich, wenn alle schuhzerstreuten Tage auch sockenzerstreut waren, das sind ${}11$ Tage. Das Minimum ergibt sich, wenn kein Tag gleichzeitig schuh- und sockenzerstreut war, also ${}0$.

b) Wegen

${}270+120=390\geq 365\,$

können alle Jahre des Tages zerstreut gewesen sein, also ${}365$. Minimal waren ${}25$ Tage total zerstreut.

c) Es sei ${}s$ die Anzahl der sockenzerstreuten Tage, ${}x$ die Anzahl der schuhzerstreuten Tage, ${}z$ die Anzahl der zerstreuten Tage und ${}t$ die Anzahl der total zerstreuten Tage. Dann gilt die Formel

${}s+x=z+t\,.$

Beide Seiten der Formel sind additiv in den Tagen, sie muss also nur für einen Tag nachgewiesen werden. Wenn der Tag nicht zerstreut ist, steht beidseitig ${}0$. Wenn der Tag sockenzerstreut ist, aber nicht schuhzerstreut (oder umgekehrt), so ist der Tag zerstreut, aber nicht total zerstreut, und beidseitig steht ${}1$. Wenn der Tag total zerstreut ist, so steht beidseitig ${}2$.

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Ist die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

1. injektiv?
2. surjektiv?

Lösung

1. Wegen

   ${}1^{2}=(-1)^{2}\,$

   ist die Abbildung nicht injektiv.

2. Da alle Quadrate ${}\geq 0$ sind, werden negative Zahlen durch die Abbildung nicht erreicht. Die Abbildung ist also nicht surjektiv.

Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

Lucy Sonnenschein und Heidi Gonzales haben jeweils eine zylinderförmige Laugenstange der Länge ${}20$ cm und mit einem Durchmesser von ${}3$ cm. Beide wollen daraus eine Butterlaugenstange machen. Lucy schneidet ihre Stange der Länge nach in der Mitte auf und bestreicht sie einseitig mit Butter der Dicke ${}0,5$ mm. Heidi zerlegt ihre Stange gleichmäßig in Stücke der Höhe ${}2,5$ cm, und bestreicht auf jedem Stück einseitig die runden Querschnitte mit Butter der Dicke ${}0,5$ mm.

1. Wer verwendet mehr Butter?
2. Wie viel Butter verwendet Lucy?
3. Wie viele Laugenstangen kann Lucy mit ihrer Methode bestreichen, wenn sie eine ${}250$ Gramm Butterpackung zur Verfügung hat und wenn ein Kubikzentimeter Butter ein Gramm wiegt?

Lösung

1. Da beide mit der gleichen Dicke streichen, ist der Butterverbrauch proportional zur bestrichenen Fläche. Bei Lucy ist die bestrichene Fläche (in Quadratzentimetern) gleich

   ${}20\cdot 3=60\,.$

   Wegen ${}20:2{,}5=8$ hat Heidi ${}8$ Stücke zu bestreichen, ihre bestrichene Fläche ist gleich

   ${}8\cdot \pi \cdot 1{,}5^{2}=8\cdot 2{,}25\cdot \pi =18\cdot \pi \leq 18\cdot 3{,}2=57{,}6\,.$

   Lucy verwendet also mehr Butter.

2. Lucy verwendet

   ${}60\cdot 0{,}05=3\,$

   Kubikzentimeter Butter für ihre Laugenstange.

3. Es ist

   ${}250:3=83{,}33..\,,$

   Lucy kann also ${}83$ Laugenstangen mit ihrer Methode bestreichen.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper.

Lösung

Wir führen Induktion über ${}n$. Bei ${}n=0$ steht beidseitig ${}1$, sodass die Aussage gilt. Es sei nun die Aussage für ${}n$ bereits bewiesen. Dann ist

${}{\begin{aligned}(1+x)^{n+1}&=(1+x)^{n}(1+x)\\&\geq (1+nx)(1+x)\\&=1+(n+1)x+nx^{2}\\&\geq 1+(n+1)x,\end{aligned}}$

da Quadrate (und positive Vielfache davon) in einem angeordneten Körper nichtnegativ sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Unterteile die Strecke von ${}{\frac {2}{7}}$ nach ${}{\frac {3}{4}}$ rechnerisch in drei gleichlange Strecken.

Lösung

Die Länge der Strecke ist

${}{\frac {3}{4}}-{\frac {2}{7}}={\frac {21-8}{28}}={\frac {13}{28}}\,.$

Der dritte Teil davon ist

${}{\frac {13}{3\cdot 28}}={\frac {13}{84}}\,.$

Die Unterteilungspunkte, die die Strecke in drei gleichlange Stücke unterteilen, sind daher

${\frac {2}{7}},\,{\frac {2}{7}}+{\frac {13}{84}}={\frac {24+13}{84}}={\frac {37}{84}},\,{\frac {2}{7}}+2\cdot {\frac {13}{84}}={\frac {24+26}{84}}={\frac {50}{84}}={\frac {25}{42}},\,{\frac {3}{4}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Zu jeder natürlichen Zahl ${}k$ sei eine Nullfolge ${}y_{k}$ gegeben, das ${}n$-te Folgenglied der ${}k$-ten Folge sei mit ${}y_{kn}$ bezeichnet. Ist die Folge ${}z_{n}$, deren ${}n$-tes Folgenglied durch

${}z_{n}=\sum _{k=1}^{n}y_{kn}\,$

gegeben ist, ebenfalls eine Nullfolge?

Lösung

Die Folge ${}z_{n}$ muss keine Nullfolge sein. Jede Folge sei die Folge der Stammbrüche, also

${}y_{kn}={\frac {1}{n}}\,$

für alle ${}k$ und ${}n\geq 1$. Dann ist

${}z_{n}=\sum _{k=1}^{n}y_{kn}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n}}=n\cdot {\frac {1}{n}}=1\,.$

Es handelt sich also um die konstante Folge mit dem Wert ${}1$, die gegen ${}1$ konvergiert, und keine Nullfolge ist.

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

1. Berechne das Produkt

   ${\left(2-3X+X^{2}\right)}\cdot {\left(-5+4X-3X^{2}\right)}$

   im Polynomring ${}\mathbb {Q} [X]$.

2. Berechne das Produkt

   ${\left(2-3{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}\right)}\cdot {\left(-5+4{\sqrt {2}}-3{\sqrt {2}}^{2}\right)}$

   in ${}\mathbb {R}$ auf zwei verschiedene Arten.

Lösung

1. Es ist

   ${}{\begin{aligned}(2-3X+X^{2})\cdot (-5+4X-3X^{2})&=-10+8X+15X-6X^{2}-5X^{2}-12X^{2}+4X^{3}+9X^{3}-3X^{4}\\&=-10+23X-23X^{2}+13X^{3}-3X^{4}.\,\end{aligned}}$

2. Es ist einerseits direkt

   ${}{\begin{aligned}(2-3{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2})\cdot (-5+4{\sqrt {2}}-3{\sqrt {2}}^{2})&={\left(4-3{\sqrt {2}}\right)}{\left(-11+4{\sqrt {2}}\right)}\\&=-44-12\cdot 2+(16+33){\sqrt {2}}\\&=-68+49{\sqrt {2}}.\end{aligned}}$

   Andererseits kann man im Ergebnis von Teil 1 die Variable ${}X$ durch ${}{\sqrt {2}}$ ersetzen und erhält

   ${}{\begin{aligned}-10+23{\sqrt {2}}-23{\sqrt {2}}^{2}+13{\sqrt {2}}^{3}-3{\sqrt {2}}^{4}&=-10+23{\sqrt {2}}-23\cdot 2+13\cdot 2{\sqrt {2}}-3\cdot 4\\&=-68+49{\sqrt {2}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Polynom ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ kleinsten Grades, das an der Stelle ${}3-8{\mathrm {i} }$ den Wert ${}5-6{\mathrm {i} }$ und an der Stelle ${}2-7{\mathrm {i} }$ den Wert ${}4-3{\mathrm {i} }$ besitzt.

Lösung

Der Ansatz

${}P=aX+b\,$

führt auf die beiden Gleichungen

${}a{\left(3-8{\mathrm {i} }\right)}+b=5-6{\mathrm {i} }\,$

und

${}a{\left(2-7{\mathrm {i} }\right)}+b=4-3{\mathrm {i} }\,$

besitzt. Somit ist

${}a{\left(1-{\mathrm {i} }\right)}=1-3{\mathrm {i} }\,$

und daher

${}{\begin{aligned}a&={\left(1-{\mathrm {i} }\right)}^{-1}{\left(1-3{\mathrm {i} }\right)}\\&={\frac {1+{\mathrm {i} }}{2}}{\left(1-3{\mathrm {i} }\right)}\\&={\frac {1+3-2{\mathrm {i} }}{2}}\\&=2-{\mathrm {i} }\end{aligned}}$

und

${}b=5-6{\mathrm {i} }-{\left(2-{\mathrm {i} }\right)}{\left(3-8{\mathrm {i} }\right)}=5-6{\mathrm {i} }+{\left(2+19{\mathrm {i} }\right)}=7+13{\mathrm {i} }\,.$

Das gesuchte Polynom ist also

${}P={\left(2-{\mathrm {i} }\right)}X+7+13{\mathrm {i} }\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise das Leibnizkriterium für alternierende Reihen.

Lösung

Wir setzen

${}s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x_{k}\,.$

Wir betrachten die Teilfolge mit geradem Index. Für jedes ${}n$ gilt wegen ${}x_{2n+2}\leq x_{2n+1}$ die Beziehung

${}s_{2(n+1)}=s_{2n}-x_{2n+1}+x_{2n+2}\leq s_{2n}\,,$

d.h. diese Teilfolge ist fallend. Ebenso ist die Folge der ungeraden Teilsummen wachsend. Es gelten die Abschätzungen

${}s_{0}\geq s_{2n}\geq s_{2n-1}\geq s_{1}\,.$

Daher sind die beiden Teilfolgen fallend und nach unten beschränkt bzw. wachsend und nach oben beschränkt, und daher wegen Korollar 7.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) konvergent. Wegen ${}s_{2n}-s_{2n-1}=x_{2n}$ und ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=0$ stimmen die Grenzwerte überein.

Aufgabe (7 Punkte)

Zeige, dass eine stetige Funktion

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

gleichmäßig stetig ist.

Lösung

 Wir nehmen an, dass ${}f$ nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein ${}\epsilon >0$ mit der Eigenschaft, dass es für alle ${}\delta >0$ ein Punktepaar ${}x,y\in [a,b]$ mit ${}\vert {x-y}\vert \leq \delta$ und ${}\vert {f(x)-f(y)}\vert \geq \epsilon$ gibt. Insbesondere gibt es somit für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ eine Punktepaar ${}x_{n},y_{n}\in [a,b]$ mit ${}\vert {x_{n}-y_{n}}\vert \leq {\frac {1}{n}}$ und ${}\vert {f(x_{n})-f(y_{n})}\vert \geq \epsilon$. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die Folge ${}x_{n}$ eine in ${}\mathbb {R}$ konvergente Teilfolge, deren Grenzwert, nennen wir ihn ${}x$, wegen der Abgeschlossenheit zum Intervall gehören muss. Die Glieder der Teilfolge besitzen die eingangs beschriebenen Eigenschaften, deshalb können wir direkt annehmen, dass die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$ konvergiert. Die Folge ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert nach Aufgabe 6.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ebenfalls gegen ${}x$. Wegen der Stetigkeit konvergieren dann nach dem Folgenkriterium auch die beiden Bildfolgen ${}f(x_{n})$ und ${}f(y_{n})$ gegen ${}f(x)$. Es sei nun ${}\epsilon '<{\frac {\epsilon }{2}}$. Dann ist für ${}n$ hinreichend groß sowohl ${}\vert {f(x_{n})-f(x)}\vert \leq \epsilon '$ als auch ${}\vert {f(y_{n})-f(x)}\vert \leq \epsilon '$. Dies ergibt mit der Dreiecksungleichung einen Widerspruch zu ${}\vert {f(x_{n})-f(y_{n})}\vert \geq \epsilon$.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Extrema der Funktion

${}f(x)={\left(\cos x\right)}{\left(\sin ^{2}x\right)}\,$

auf dem Intervall ${}[0,{\frac {\pi }{2}}]$.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}f'(x)&=-\sin ^{3}x+2{\left(\cos ^{2}x\right)}{\left(\sin x\right)}\\&={\left(\sin x\right)}{\left(-\sin ^{2}x+2{\left(\cos ^{2}x\right)}\right)}\\&={\left(\sin x\right)}{\left(-\sin ^{2}x+2{\left(1-\sin ^{2}x\right)}\right)}\\&={\left(\sin x\right)}{\left(2-3\sin ^{2}x\right)}.\end{aligned}}$

Die Nullstellen dieser Funktion im Intervall ${}[0,{\frac {\pi }{2}}]$ liegen bei

$0$

und bei

${}\sin ^{2}x={\frac {2}{3}}\,,$

also (da der Sinus im angegebenen Intervall ${}\geq 0$ ist)

${}\sin x={\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}\,,$

also

${}x=\arcsin \left({\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}\right)\,.$

Auf dem Intervall ist die Funktion ${}f$ nichtnegativ und besitzt den Wert ${}0$ an den Intervallgrenzen. Daher liegen in ${}0$ und in ${}{\frac {\pi }{2}}$ lokale Minima vor, die beide maximal und isoliert sind. An der Stelle ${}\arcsin \left({\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}\right)$ muss daher ein globales isoliertes Maximum vorliegen.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, für welche ${}a\in \mathbb {R}$ die Funktion

$a\longmapsto \int _{-1}^{2}at^{2}-a^{2}t\,dt$

ein Maximum oder ein Minimum besitzt.

Lösung

Es sei

${}f(a)=\int _{-1}^{2}at^{2}-a^{2}t\,dt\,.$

Dann ist

${}{\begin{aligned}f(a)&=\left({\frac {1}{3}}at^{3}-{\frac {1}{2}}a^{2}t^{2}\right)|_{-1}^{2}\\&={\frac {1}{3}}a\cdot 2^{3}-{\frac {1}{2}}a^{2}\cdot 2^{2}-{\left(a{\frac {1}{3}}(-1)-a^{2}{\frac {1}{2}}(-1)^{2}\right)}\\&={\left(-2+{\frac {1}{2}}\right)}a^{2}+{\left({\frac {8}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)}a\\&=-{\frac {3}{2}}a^{2}+3a.\end{aligned}}$

Es ist

${}f'(a)=-3a+3\,$

mit der einzigen Nullstelle bei

${}a=1\,$

und

${}f''(a)=-3\,.$

Das bedeutet nach Korollar 19.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)), dass das bestimmte Integral für den Parameter

${}a=1\,$

ein isoliertes globales Maximum annimmt und keine weiteren Extrema vorliegen.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Stammfunktion von

$7x^{8}e^{x^{9}+13},$

die an der Stelle ${}-1$ den Wert ${}17$ besitzt.

Lösung

Es ist

${}7x^{8}e^{x^{9}+13}=7e^{13}x^{8}e^{x^{9}}\,,$

die Stammfunktionen sind

${\frac {7e^{13}}{9}}e^{x^{9}}+c.$

Aus

${}{\frac {7e^{13}}{9}}e^{(-1)^{9}}+c={\frac {7e^{13}}{9}}e^{-1}+c={\frac {7e^{12}}{9}}+c=17\,$

folgt

${}c=17-{\frac {7e^{12}}{9}}\,.$

Die gesuchte Stammfunktion ist also

${\frac {7e^{13}}{9}}e^{x^{9}}+17-{\frac {7e^{12}}{9}}.$

Aufgabe (7 (1+2+4) Punkte)

Es sei ein Stromkreis mit Widerstand ${}R$ und mit Induktivität ${}L$ gegeben (beide konstant und positiv). Die anliegende Spannung ${}U(t)$ und die dadurch hervorgerufene Stromstärke ${}I(t)$ hängen von der Zeit ab. Dabei gilt das Gesetz

${}L\cdot I'(t)+R\cdot I(t)=U(t)\,.$

1. Bestimme die Lösungen für ${}I(t)$, wenn

   ${}U(t)=0\,$

   ist.

2. Bestimme die Lösungen für ${}I(t)$, wenn

   ${}U(t)=u\,$

   konstant ist.

3. Zeige, dass es bei

   ${}U(t)=u\cos \left(\omega t\right)\,$

   eine Lösung der Form

   ${}I(t)=\alpha \cos \left(\omega t\right)+\beta \sin \left(\omega t\right)\,$

   gibt.

Lösung

Wir schreiben die Differentialgleichung

${}L\cdot I'(t)+R\cdot I(t)=U(t)\,$

als

${}I'(t)=-{\frac {R}{L}}\cdot I(t)+{\frac {1}{L}}U(t)\,,$

es liegt also eine lineare Differentialgleichung mit der Störfunktion ${}U(t)$ vor.

1. Bei

   ${}U(t)=0\,$

   liegt eine homogene lineare Differentialgleichung vor, die Lösungen sind

   ${}I(t)=ce^{-{\frac {R}{L}}t}\,$

   mit ${}c\in \mathbb {R}$.

2. Bei

   ${}U(t)=u\,$

   müssen wir nach Satz 29.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) die Stammfunktionen zu ${}{\frac {u}{L}}e^{{\frac {R}{L}}t}$ bestimmen, diese sind ${}{\frac {u}{R}}e^{{\frac {R}{L}}t}+c$. Die Lösungen sind daher

   ${}I(t)={\left({\frac {u}{R}}e^{{\frac {R}{L}}t}+c\right)}e^{-{\frac {R}{L}}t}={\frac {u}{R}}+ce^{-{\frac {R}{L}}t}\,.$

3. Es sei

   ${}U(t)=u\cos \left(\omega t\right)\,.$

   Der Ansatz

   ${}{\begin{aligned}{\left(\alpha \cos \left(\omega t\right)+\beta \sin \left(\omega t\right)\right)}'&=-\alpha \omega \sin \left(\omega t\right)+\beta \omega \cos \left(\omega t\right)\\&=-{\frac {R}{L}}\cdot {\left(\alpha \cos \left(\omega t\right)+\beta \sin \left(\omega t\right)\right)}+{\frac {u}{L}}\cos \left(\omega t\right)\\&=-{\frac {\beta R}{L}}\sin \left(\omega t\right)+{\left({\frac {u-\alpha R}{L}}\right)}\cos \left(\omega t\right)\end{aligned}}$

   führt auf

   ${}\alpha \omega =\beta {\frac {R}{L}}\,.$

   und

   ${}\beta \omega ={\frac {u-\alpha R}{L}}\,$

   bzw. auf

   ${}\alpha \omega L=\beta R\,.$

   und

   ${}\beta \omega L=u-\alpha R\,.$

   Dies ist ein lineares Gleichungssystem in den beiden Variablen ${}\alpha ,\beta ,$ die Lösungen sind

   ${}\beta ={\frac {\omega Lu}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}}\,$

   und

   ${}\alpha ={\frac {Ru}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}}\,.$

   Daher ist

   ${}{\begin{aligned}I(t)&={\frac {Ru}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}}\cos \left(\omega t\right)+{\frac {\omega Lu}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}}\sin \left(\omega t\right)\\&={\frac {u}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}}{\left(R\cos \left(\omega t\right)+\omega L\sin \left(\omega t\right)\right)}\end{aligned}}$

   eine Lösung der Differentialgleichung.