Kurs:Analysis/Teil I/7/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 2 4 2 4 10 3 3 2 8 4 5 6 5 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine surjektive Abbildung
  2. Ein archimedisch angeordneter Körper .
  3. Der Grenzwert einer Funktion

    in einem Punkt (dabei ist eine Teilmenge).

  4. Der Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe
  5. Das Taylor-Polynom vom Grad zu einer -mal differenzierbaren Funktion

    im Entwicklungspunkt .

  6. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

    auf einem kompakten Intervall .


Lösung

  1. Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit gibt.
  2. Ein angeordneter Körper heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit
    gibt.
  3. Eine Zahl heißt Grenzwert von in , wenn für jede Folge in , die gegen konvergiert, die Bildfolge gegen konvergiert.
  4. Unter dem Konvergenzradius der Potenzreihe versteht man
  5. Das Polynom

    heißt das Taylor-Polynom vom Grad zu im Entwicklungspunkt .

  6. Die Funktion heißt Riemann-integrierbar auf , wenn Ober- und Unterintegral von existieren und übereinstimmen.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Quotientenkriterium für eine komplexe Reihe .
  2. Der Satz über die stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion
    wobei eine Teilmenge ist.
  3. Die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion.


Lösung

  1. Es gebe eine reelle Zahl mit und ein mit
    für alle . Dann konvergiert die Reihe absolut.
  2. Es sei die Menge aller Berührpunkte von und

    sei gleichmäßig stetig. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung

  3. Es sei eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei eine Stammfunktion von . Dann ist
    eine Stammfunktion der Umkehrfunktion .


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass eine streng wachsende Funktion

injektiv ist.


Lösung Funktionen/R/Streng monoton wachsend/Injektiv/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und drei Folgen in . Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen diesen Grenzwert konvergiert.


Lösung

Es ist

Bei ist somit

und bei ist

Daher ist stets

Für ein vorgegebenes gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen natürliche Zahlen  und derart, dass

für und

für gilt. Für gilt daher

Dies bedeutet die Konvergenz von gegen .


Aufgabe (2 Punkte)

Entscheide, ob die Reihe

konvergiert.


Lösung

Für ist

Da die Reihe konvergiert, liegt eine konvergente Majorante vor und damit konvergiert die angegebene Reihe.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei , . Es sei

eine stetige Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit für alle gelte. Zeige, dass konstant ist.


Lösung

Unter der gegebenen Voraussetzung konvergiert die Folge gegen . Daher konvergiert auch für jedes feste die Folge gegen . Durch iterative Anwendung der Voraussetzung an erhält man

für jedes . Aufgrund der Stetigkeit von ist also

Somit ist der einzige Wert der Funktion.


Aufgabe (10 Punkte)

Beweise den großen Umordnungssatz.


Lösung

Die Summierbarkeit der Teilfamilien folgt aus Lemma 17.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)). Es sei vorgegeben. Da die Ausgangsfamilie summierbar ist, gibt es eine endliche Teilmenge mit

für alle endlichen Teilmengen  mit . Es gibt eine endliche Teilmenge derart, dass

ist. Wir behaupten, dass dieses für die Familie  , , die Summationseigenschaft für erfüllt. Es sei dazu  mit endlich und . Da die Familien  , , summierbar mit den Summen sind, gibt es für jedes ein endliches mit

für alle endlichen  mit . Wir wählen nun für jedes ein solches so, dass zusätzlich gilt. Dann ist und daher . Somit haben wir insgesamt die Abschätzungen


Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Zeige durch Induktion, dass die -te Ableitung () von gleich

ist.


Lösung

Die Ableitung von ist nach der Produktregel

Dadurch ist die Gleichung für richtig und der Induktionsanfang ist gesichert. Es sei die Gleichung nun für die -te Ableitung schon bewiesen. Wegen gilt somit

Daher ist die Gleichung auch für die -te Ableitung richtig.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Kreis mit Mittelpunkt und Radius und ein gegeben. Für welches verläuft die Tangente zu an den oberen Kreisbogen durch den Punkt ?


Lösung

Der obere Kreisbogen wird (für ) durch die Funktion

beschrieben. Die Ableitung davon ist

Die Steigung der Geraden durch und wird durch
beschrieben. Dies führt auf die Bedingung

bzw. auf

Daher ist


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Grenzwert


Lösung

Wir verwenden die Regel von Hospital. Die Ableitung der Zählerfunktion ist

und die Ableitung der Nennerfunktion ist

Die Funktion hat keine Nullstelle in einer offenen Ungebung von . Daher ist Hospital anwendbar und es ist


Aufgabe (8 (5+3) Punkte)

Wir betrachten die durch

definierte Folge (). Zeige folgende Aussagen.

  1. Für ist die Folge monoton fallend.
  2. Die Folge konvergiert gegen .


Lösung

Wir schreiben

1. Wir erlauben auch reelle Argumente, d.h. wir betrachten die Funktion

und zeigen, dass diese Funktion für fallend ist; dies gilt dann insbesondere für die natürlichen Zahlen . Da die Exponentialfunktion monoton wachsend ist, genügt es zu zeigen, dass

für fallend ist. Dazu ziehen wir Satz 19.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) heran und betrachten die Ableitung der differenzierbaren Funktion . Diese ist

Für ist und somit ist der Zähler negativ, also ist die Funktion negativ.

2. Wir zeigen, dass für gegen konvergiert. Wegen der Monotonie aus Teil 1 kann man statt auch einsetzen, was zur Folge führt. Für diese Folge gilt

ihr Grenzwert ist nach dem Quetschkriterium also . Da die Exponentialfunktion stetig ist, konvergiert somit gegen .


Aufgabe (4 Punkte)

Der Graph der Funktion

und die -Achse begrenzen eine Fläche. Bestimme die Gerade durch den Nullpunkt, die diese Fläche in zwei gleich große Teile unterteilt.


Lösung

Es ist

die Fläche befindet sich also oberhalb des Intervalls . Eine Stammfunktion von ist

und somit ist

Die Gerade durch den Nullpunkt setzen wir als an. Der Durchstoßungspunkt (abgesehen vom Nullpunkt) mit dem Graphen ergibt sich aus

zu

Die obere Fläche besitzt den Flächeninhalt

Die Bedingung

führt auf

und damit auf

Also ist


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein reelles Intervall und sei

eine stetige Funktion. Es sei und es sei

die zugehörige Integralfunktion. Zeige, dass dann differenzierbar ist und dass für alle gilt.


Lösung

Es sei fixiert. Der Differenzenquotient ist

Wir müssen zeigen, dass für der Limes existiert und gleich ist. Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es zu jedem ein mit

und damit ist

Für konvergiert gegen und wegen der Stetigkeit von konvergiert gegen .


Aufgabe (6 Punkte)

Sei

stetig mit

für jede stetige Funktion . Zeige .


Lösung

Nehmen wir an, dass nicht die Nullfunktion ist. Dann gibt es einen Punkt mit . Sagen wir . Da stetig ist, gibt es ein Teilintervall mit für alle . Die Funktion sei außerhalb von die Nullfunktion und auf durch

definiert. Die Funktion ist stetig auf und im Innern von positiv, also insgesamt nichtnegativ. Daher gibt es ein weiteres Teilintervall derart, dass für alle ist. Daher ist

im Widerspruch zur Voraussetzung.


Aufgabe (5 Punkte)

Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung

mit und .


Lösung

Es liegt eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen vor. Wir setzen

davon ist

eine Stammfunktion. Die Umkehrfunktion davon ist ebenfalls

Wir setzen weiter

Wir machen den Ansatz für die Partialbruchzerlegung, also

Daraus ergibt sich die Bedingung

und daraus

Also ist

eine Stammfunktion von . Daher ist

eine Lösung, die für definiert ist und für die gilt.