Kurs:Analysis/Teil II/15/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
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Punkte | 3 | 3 | 0 | 3 | 4 | 3 | 4 | 10 | 3 | 4 | 6 | 5 | 8 | 4 | 5 | 65 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine abgeschlossene Menge in einem metrischen Raum .
- Das
Wegintegral
zu einem stetigen Vektorfeld
und einer stetig differenzierbaren Kurve
- Ein Fundamentalsystem von Lösungen eines homogenen linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
- Eine
höhere Richtungsableitung
zu einer Abbildung
wobei endlichdimensionale - Vektorräume sind, bezüglich der Richtungen .
- Der Typ einer symmetrischen Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum .
- Das Gradientenfeld
zu einer differenzierbaren Funktion
auf einem euklidischen Vektorraum .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über das Maximum von Funktionen auf kompakten Teilmengen.
- Der Trägheitssatz von Sylvester.
- Der Satz über den Gradienten und die Niveaumenge.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Beweise die Stetigkeit polynomialer Funktionen .
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Es sei
eine stetige Abbildung in einen weiteren metrischen Raum und sei , , ein Punkt, der ein Berührpunkt von sei. Zeige, dass der Grenzwert
genau dann existiert, wenn eine stetige Fortsetzung
besitzt.
Aufgabe * (3 Punkte)
Es seien
differenzierbare Kurven. Berechne die Ableitung der Funktion
Formuliere das Ergebnis mit dem Skalarprodukt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Aufgabe * (10 Punkte)
Beweise den Kurvenlängensatz.
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei eine reelle - Matrix, ein Eigenvektor von zum Eigenwert . Es sei eine stetige Funktion. Finde eine nichttriviale Lösung für das lineare Differentialgleichungssystem
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme die ersten drei Picard-Lindelöf-Iterationen zum Anfangswertproblem
mit der Anfangsbedingung
Aufgabe * (6 (4+2) Punkte)
- Bestimme die
Richtungsableitung
der Funktion
im Punkt in Richtung mit einer direkten Limesbetrachtung unter Verwendung der Regel von Hospital.
- Überprüfe das Ergebnis aus (1) mit Hilfe des totalen Differentials.
Aufgabe * (5 (1+1+1+2) Punkte)
Wir betrachten Dreiecke mit den beiden fixierten Eckpunkten und und dem variablen Eckpunkt .
- Erstelle eine Formel für den Flächeninhalt des Dreieckes mit den Eckpunkten .
- Erstelle eine Formel für den Umfang des Dreieckes mit den Eckpunkten .
- In welche Richtung muss man den dritten Punkt bewegen, damit der Flächeninhalt möglichst schnell wächst?
- In welche Richtung muss man den dritten Punkt bewegen, damit der Umfang möglichst schnell wächst?
Aufgabe * (8 (2+1+1+2+2) Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
- Bestimme die Jacobi-Matrix zu .
- Berechne die Determinante der Jacobi-Matrix in Abhängigkeit von .
- Besitzt im Punkt lokal eine Umkehrabbildung?
- Besitzt im Punkt lokal eine Umkehrabbildung?
- Zeige, dass es genau einen Punkt mit
gibt.
Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
- Bestimme das totale Differential von in jedem Punkt .
- Zeige, dass
ein regulärer Punkt für ist und bestimme eine Basis für den Tangentialraum an die Faser von in Punkt .
Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)
Wir betrachten das Vektorfeld
- Zeige, dass die Integrabilitätsbedingung erfüllt.
- Zeige, dass kein Gradientenfeld ist.