Kurs:Analysis/Teil II/17/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Punkte | 3 | 3 | 2 | 3 | 3 | 5 | 3 | 5 | 2 | 4 | 7 | 5 | 6 | 5 | 3 | 5 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Eigenschaft zweier metrischer Räume und , zueinander homöomorph zu sein.
- Eine
stark kontrahierende
Abbildung
zwischen metrischen Räumen und .
- Die
Kurvenlänge
einer Kurve
- Die
totale Differenzierbarkeit
einer Abbildung
in einem Punkt .
- Eine Linearform auf einem - Vektorraum , wobei ein Körper ist.
- Eine
punktweise konvergente
Abbildungsfolge
auf einer Menge in einen metrischen Raum .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die Folgencharakterisierung von kompakten Teilmengen .
- Der Satz über differenzierbare Kurven und Komponentenfunktionen.
- Der Satz von Schwarz.
Aufgabe * (2 Punkte)
Ergänze die folgende Tabelle, in der Winkel in verschiedenen Maßeinheiten miteinander in Bezug gesetzt werden. Die Prozentangabe bezieht sich auf den Vollkreis.
Grad | Bogenmaß | Prozent | |
---|---|---|---|
Aufgabe * (3 Punkte)
Beweise den Satz über zusammenhängende Teilmengen unter einer stetigen Abbildung.
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme die Ableitung der Kurve
Aufgabe * (5 Punkte)
Beweise die Mittelwertabschätzung für differenzierbare Kurven.
Aufgabe * (3 Punkte)
Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem
Zeige, dass die Lösung des zugehörigen Anfangswertproblems mit der Anfangsbedingung
durch
gegeben ist.
Aufgabe * (5 Punkte)
Aufgabe (2 Punkte)
Skizziere den Graphen der Funktion
Aufgabe * (4 Punkte)
Zeige für Polynomfunktionen
direkt, dass
gilt.
Aufgabe * (7 Punkte)
Beweise die Taylor-Formel für eine beliebig oft differenzierbare Funktion
in einem Punkt .
Aufgabe * (5 Punkte)
Finde ein reelles Polynom in zwei Variablen vom Grad , das die folgenden Eigenschaften besitzt. Ist die Lösung eindeutig?
- Es ist .
- Es ist .
- Es ist
- Es ist
- Es ist
- Es ist
Aufgabe * (6 (1+1+1+3) Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
- Bestimme die Jacobi-Matrix zu in einem Punkt .
- Berechne die Jacobi-Determinante von in einem Punkt .
- Begründe, dass in einer offenen Umgebung des Punktes einen Diffeomorphismus beschreibt.
- Bestimme die Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung im Punkt .
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei offen und
eine stetig differenzierbare Abbildung, die im Punkt ein surjektives totales Differential besitze. Es sei ein Vektor des Tangentialraumes an die Faser zu durch . Zeige, dass es eine stetig differenzierbare Kurve
(für ein geeignetes ) mit und mit
gibt.
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei eine abgeschlossene sternförmige Menge und es sei die Menge aller Punkte, bezüglich der sternförmig ist. Zeige, dass abgeschlossen ist.
Aufgabe (5 Punkte)
Sie sind Lehrer/in an einem Gymnasium und wurden soeben zur/m Beauftragten zur Förderung besonders begabter Schüler und Schülerinnen eingesetzt. Die Förderung soll sich auf Analysis beziehen. Welches Konzept (Thema, Idee, Begriffsbildung, ...) der Analysis 2 halten Sie dafür für geeignet? Inwiefern denken Sie, dass dieses Konzept zwar für den normalen Unterricht nicht geeignet ist, für das angesprochene Zielpublikum aber doch?