Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 74/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Es sei
eine bijektive, stetig differenzierbare Abbildung. Was besagt in dieser Situation die Transformationsformel für Quader und was die Newton-Leibniz-Formel?
Zeige, dass die Transformation
auf geeigneten offenen Teilmengen ein Diffeomorphismus ist und berechne die Jacobi-Determinante in jedem Punkt.
Es sei
ein - Diffeomorphismus mit offenen zusammenhängenden Mengen und im . Zeige, dass genau dann maßtreu ist, wenn die Jacobi-Determinante überall den Wert oder überall den Wert hat.
Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechtecks unter der Abbildung
Es sei
eine stetig differenzierbare Funktion. Beweise die Volumenformel für den zugehörigen Rotationskörper mit der Transformationsformel und der Abbildung
wobei die Einheitskreisscheibe bezeichnet.
Es sei messbar, ein Punkt mit und der zugehörige Kegel. Beweise die Maßformel für den Kegel mit der Transformationsformel und der Abbildung
Interpretiere die Substitutionsregel als einen Spezialfall der Transformationsformel.
Zeige, dass der Flächeninhalt eines Annulus gleich dem Produkt aus der Länge des Mittelkreises und der Breite ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne den Wert des Quadrats für das Bildmaß unter der Abbildung
Aufgabe (7 (3+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Abbildung
a) Zeige, dass zu zwei verschiedenen Punkten auf dem Funktionsgraphen die Senkrechten der Länge (mit dem Mittelpunkt auf dem Graphen) untereinander überschneidungsfrei sind.
b) Man gebe eine (möglichst einfache) Parametrisierung der Straße an.
c) Bestimme den Flächeninhalt der Straße.
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