Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 87/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Beschreibe diverse Kleidungsstücke als zweidimensionale Mannigfaltigkeiten mit Rand.
Zeige, dass sowohl das blaue als auch das rote Oberflächenstück einschließlich der Begrenzungslinie eine Mannigfaltigkeit mit Rand ist. Was ist der Rand? Sind die beiden Mannigfaltigkeiten diffeomorph? Gibt es eine einfachere dazu diffeomorphe Mannigfaltigkeit?
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) und eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand. Was kann man über das Produkt sagen?
Die abgeschlossene Kreisscheibe trage die Standardorientierung des . Läuft die durch die äußere Normale festgelegte Orientierung auf dem Rand (also auf dem Einheitskreis) mit dem oder gegen den Uhrzeigersinn?
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand. Unter einem differenzierbaren Halbweg verstehen wir jede differenzierbare Abbildung
oder
(mit . Sie heißen nach innen bzw. nach außen gerichtet). Definiere, wann zwei Halbwege mit tangential äquivalent sind, und zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation gegeben ist, und dass die Quotientenmenge ein reeller Vektorraum ist, der der Tangentialraum in heißt. Charakterisiere die Äquivalenzklassen, die sowohl nach innen als auch nach außen repräsentierbar sind.
Es sei ein euklidischer Halbraum und . Es gebe eine in offene Menge mit . Zeige, dass kein Randpunkt von ist.
Es seien und offene Teilmengen in euklidischen Halbräumen und und es sei
ein Diffeomorphismus. Zeige, dass es zu jedem Punkt offene Umgebungen und und eine diffeomorphe Fortsetzung
gibt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Halbebene und der Quadrant nicht diffeomorph sind.
(Was ist hierbei der geeignete Diffeomorphiebegriff?)
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei , also die abgeschlossene Kreisscheibe, aus der man zwei Randpunkte herausgenommen hat. Es sei das Produkt eines offenen und eines abgeschlossenen Intervalls. Zeige, dass und diffeomorphe Mannigfaltigkeiten mit Rand sind.
Es seien offene Teilmengen und es sei
ein Diffeomorphismus, der eine Homöomorphie zwischen und induziert und damit auch zwischen und ( bezeichnet den Halbraum und seinen Rand). Zeige, dass die Einschränkung auf den Rand ebenfalls ein Diffeomorphismus ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Die abgeschlossene Einheitskugel trage die Standardorientierung des . Bestimme, ob die beiden Tangentenvektoren und am Nordpol die durch die äußere Normale induzierte Orientierung auf dem Rand (also auf der Einheitssphäre) repräsentieren oder nicht?
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