Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 50/kontrolle

Übungsaufgaben

Wenn in den folgenden Aufgaben nach Extrema gefragt wird, so ist damit gemeint, dass man die Funktionen auf (isolierte) lokale und globale Extrema untersuchen soll. Zugleich soll man, im differenzierbaren Fall, die kritischen Punkte bestimmen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die Addition

$+\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x+y,$

und die Multiplikation

$\cdot \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$

auf kritische Punkte und auf Extrema.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y^{2},$

auf Extrema.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y^{4},$

auf Extrema.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 2x^{2}+3y^{2}+5xy,$

auf Extrema.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 2x^{2}+3y^{2}+4xy,$

auf Extrema.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 4x^{2}-xy+5y^{2},$

auf Extrema.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 3x^{2}-2xy-y^{2}+5x,$

und entscheide, ob in diesen kritischen Punkten ein lokales Extremum vorliegt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto {\frac {xz}{x^{2}+y^{2}}},$

(es ist also ${}y>0$).

a) Berechne die partiellen Ableitungen von ${}f$ und stelle den Gradienten zu ${}f$ auf.

b) Bestimme die isolierten lokalen Extrema von ${}f$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto -3x^{2}+2xy-7y^{2}+x,$

auf Extrema.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ ein kritischer Punkt. Es sei ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Eigenvektor zur Hesse-Matrix in ${}P$ mit einem positiven Eigenwert. Zeige, dass ${}f$ in ${}P$ kein lokales Maximum besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy^{2}-x^{3}y,$

auf Extrema.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+xy-6y^{2}-y,$

auf kritische Punkte und Extrema.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion mit

${}f(P)=f(-P)\,$

für alle ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$.

a) Zeige, dass ${}f$ in ${}0$ einen kritischen Punkt besitzt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in ${}0$ ein isoliertes lokales Maximum besitzt.

c) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in ${}0$ kein Extremum besitzt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der auf der abgeschlossenen Kreisscheibe ${}B\left(0,1\right)={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}$ definierten Funktion

$f\colon B\left(0,1\right)\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{3}-y^{2}-y.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für die Funktion

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy{\sqrt {3-x^{2}-y^{2}}},$

den maximalen Definitionsbereich ${}D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ und untersuche die Funktion auf Extrema.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto 1-t^{2}.$

Für welches ${}x\in [0,1]$ besitzt die zugehörige zweistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu ${}f$ den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto 1-t^{2}.$

Für welche ${}x,y\in [0,1]$, ${}x<y$, besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu ${}f$ den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ offen, und ${}P\in G$. Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen

$f,g\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in ${}P$ übereinstimmen, und die eine Funktion ein Extremum in ${}P$ besitzt, die andere nicht.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}\dim _{\!}{\left(V\right)}\geq 2$, ${}G\subseteq V$ offen, und ${}P\in G$. Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen

$f,g\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in ${}P$ übereinstimmen, und die eine Funktion ein Extremum in ${}P$ besitzt, die andere nicht.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+9y^{2}+6xy,$

auf Extrema.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}I={]{-{\frac {\pi }{2}}},{\frac {\pi }{2}}[}$. Untersuche die Funktion

$f\colon I\times I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {\cos x}{\cos y}},$

auf Extrema.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto t^{2}.$

Für welche ${}x,y\in {]0,1[}$, ${}x<y$, besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu ${}f$ den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei

$h\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion und betrachte

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto h(x^{2}+y^{2}).$

Zeige, dass ${}f$ allenfalls im Nullpunkt ${}(0,0)$ ein isoliertes lokales Extremum besitzen kann, und dass dies genau dann der Fall ist, wenn ${}h$ in ${}0$ ein isoliertes lokales Extremum besitzt.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion und es sei ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ ein isolierter Punkt, d.h. es gebe eine offene Umgebung ${}P\in U$ derart, dass ${}\varphi (Q)\neq \varphi (P)$ ist für alle ${}Q\in U$, ${}Q\neq P$. Zeige, dass dann ${}\varphi$ in ${}P$ ein isoliertes lokales Extremum besitzt.