Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 83/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer stetigen positiven Volumenform ${}\omega$. Zeige, dass

${}\int _{M}\omega <\infty \,$

ist.

Aufgabe Aufgabe 83.2 ändern

Zeige, dass das zu einer stetigen positiven Volumenform auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit in Definition 83.3 eingeführte Volumenmaß ein ${}\sigma$- endliches Maß ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

${}\omega =dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=e_{1}^{*}\wedge \ldots \wedge e_{n}^{*}\,$

die Standard-Volumenform auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass für jede messbare Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Gleichheit

${}\int _{T}\omega =\int _{T}\,d\lambda ^{n}=\lambda ^{n}(T)\,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer positiven Volumenform ${}\omega$. Es sei ${}T\subseteq M$ messbar und ${}N\subseteq M$ eine Nullmenge. Zeige, dass

${}\int _{T}\omega =\int _{T\setminus N}\omega \,$

gilt.

Aufgabe Aufgabe 83.5 ändern

Es sei ${}M$ eine ${}n$- dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie und es seien ${}\omega _{1}$ und ${}\omega _{2}$ positive Volumenformen auf ${}M$. Zeige, dass für jede messbare Teilmenge ${}T\subseteq M$ und ${}a,b\in \mathbb {R} _{+}$ die Beziehung

${}\int _{T}(a\omega _{1}+b\omega _{2})=a\int _{T}\omega _{1}+b\int _{T}\omega _{2}\,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie. Zeige, wie man unter Bezug auf Karten „Nullmengen“ von ${}M$ erklären kann, ohne dass ein Maß gegeben ist. Zeige ferner, dass wenn eine positive Volumenform gegeben ist, diese Nullmengen auch Nullmengen im Sinne der Maßtheorie sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe den Einheitskreis ${}S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}$ als Faser einer Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

derart, dass die gemäß Korollar 83.6 gegebene Volumenform ${}\omega$ positiv ist. Berechne ${}\int _{S^{1}}\omega$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe die Einheitssphäre ${}S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ als Faser einer Abbildung

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R}$

derart, dass die gemäß Korollar 83.6 gegebene Volumenform ${}\omega$ positiv ist. Berechne ${}\int _{S^{2}}\omega$.

Aufgabe Aufgabe 83.9 ändern

Es seien ${}L$ und ${}M$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine differenzierbare Abbildung. Es sei ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(M)$ eine messbare Differentialform mit der zurückgezogenen Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(L)$ und es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow L$

eine stetig differenzierbare Kurve (${}I$ ein reelles Intervall). Zeige, dass für die Wegintegrale die Gleichheit

${}\int _{\gamma }\varphi ^{*}\omega =\int _{\varphi \circ \gamma }\omega \,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei

$\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t),$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zu den folgenden Differentialformen

a) ${}xdx+ydy$,

b) ${}xdx-ydy$,

c) ${}ydx+xdy$,

d) ${}ydx-xdy$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne das Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ zu

$\gamma \colon [-1,0]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (-t^{2},t^{3}-1,t+2),$

für die ${}1$-Differentialform

${}\omega =x^{3}dx-yzdy+xz^{2}dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

$\gamma \colon [1,2]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,t^{-1}),$

und

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{2},uv,-u+v^{2}),$

und die Differentialform

${}\omega =xdx-zdy+dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$.

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ zum Weg ${}\gamma$.

c) Berechne (ohne Bezug auf b)) das Wegintegral zur Differentialform ${}\omega$ zum Weg ${}\varphi \circ \gamma$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

$\gamma \colon [1,c]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,t^{3}),$

(mit $c\geq 1$) und

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{3},u^{2}+v^{2},u^{-1}v^{-1}),$

und die Differentialform

${}\omega =(x-y)dx-z^{2}dy+dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ auf dem ${}\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}$.

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ zum Weg ${}\gamma$ in Abhängigkeit von ${}c$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 83.14 ändern

Es sei ${}M$ eine ${}n$- dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie. Es sei ${}\omega$ eine positive Volumenform auf ${}M$ und es sei ${}\mu$ das durch diese Volumenform definierte Maß auf ${}M$. Zeige, dass dann jede abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension ${}\leq n-1$ eine Nullmenge ist.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}a,b,c,d,r,s\geq 1$ natürliche Zahlen. Wir betrachten die stetig differenzierbare Kurve

$[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{r},t^{s}).$

Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zur Differentialform ${}\omega =x^{a}y^{b}dx+x^{c}y^{d}dy$.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t,t),$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zur Differentialform ${}\omega =(y-z^{3})dx+x^{2}dy-xzdz$.