Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 85/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Es sei
eine Linearform. Es sei der Graph dieser Funktion, den wir als riemannsche Mannigfaltigkeit auffassen. Zeige, dass zwischen den Volumina entsprechender Teilmengen des und des Graphen eine konstante Beziehung besteht.
Berechne den Flächeninhalt der Sphäre mit Hilfe von Korollar 85.1.
Diskutiere die Rotationsfläche zu
um die -Achse . Ist eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ? Ist die Menge abgeschlossen in ? Ist der Abschluss von in eine Mannigfaltigkeit?
Zeige, dass der Flächeninhalt der Rotationsfläche, die entsteht, wenn man den Graphen
um die -Achse rotieren lässt, kleiner als ist.
Bestätige, dass die in Beispiel 85.6, Beispiel 85.7 und Beispiel 85.8 angegebenen Abbildungen ihr Bild auf der Einheitssphäre haben und bis auf eine Nullmenge surjektiv sind.
Bestimme die (partiell definierten) Umkehrabbildungen zu den in Beispiel 85.6, Beispiel 85.7 und Beispiel 85.8 angegebenen Abbildungen.
Zeige, dass Längenkreise und Breitenkreise auf der Erdkugel senkrecht aufeinander stehen.
Wie lange ist der -ste Breitenkreis auf der Erde (man setze den Erdradius mit km an).
Welcher Prozentanteil der Erde wird in einem Moment von der Sonne beschienen (die Sonne soll wegen ihrer großen Entfernung als punktförmig angesetzt werden)?
Betrachte den Ellipsoid
für . Berechne den Flächeninhalt von M für . Was passiert für ?
Bestimme das Infimum und das Supremum der Länge der Bilder der Großkreise auf der in Beispiel 85.6 beschriebenen Karte.
Bringe Korollar 85.1 und Beispiel 83.10 mit Hilfe von Aufgabe 84.9 miteinander in Verbindung.
Es sei
die stereographische Projektion.
a) Bestime zur kanonischen Flächenform auf .
b) Berechne mit den Flächeninhalt der Sphäre.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten den Graphen der Funktion
als riemannsche Mannigfaltigkeit. Berechne den Flächeninhalt des Graphen oberhalb des Quadrats .
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
die Parabel, also der Graph der Funktion
Zeige, dass die zugehörige Rotationsfläche um die -Achse keine Mannigfaltigkeit ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Man stelle eine Kugeloberfläche als Rotationsfläche dar und berechne damit den Inhalt der Kugeloberfläche.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Man stelle einen Torus als Rotationsfläche dar und berechne damit seinen Flächeninhalt.
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Wie lange ist das Bild des -sten Breitenkreises auf den in Beispiel 85.6, Beispiel 85.7 und Beispiel 85.8 beschriebenen Karten (man setze den Erdradius mit km an)?
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