Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Vorlesung 40

Wir haben schon im ersten Semester gewöhnliche Differentialgleichungen samt einiger Lösungsverfahren besprochen. Dort ging es um die Bewegungen auf einer Geraden, die durch ein von der Zeit und dem Ort (der Lage auf der Geraden) abhängigen Vektorfeld bestimmt wurden. Eine physikalische Bewegung spielt sich aber häufig höherdimensional (im ${}\mathbb {R} ^{2}$ oder im ${}\mathbb {R} ^{3}$) ab, so dass wir jetzt gewöhnliche Differentialgleichungen allgemein besprechen. Die Zeitkomponente wird sich nach wie vor in einem reellen Intervall bewegen, die Orts- und die Richtungskomponente wird ein Element in einem beliebigen endlichdimensionalen reellen Vektorraum sein. Diesen statten wir mit einem Skalarprodukt aus, so dass wir eine Norm, eine Metrik, offene Mengen, stetige Abbildungen, Limiten, etc. zur Verfügung haben.

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Dann nennt man

${}v'=f(t,v)\,$

die gewöhnliche Differentialgleichung (oder gewöhnliches Differentialgleichungssystem) zum Vektorfeld ${}f$.

(Zeitabhängige) Vektorfelder und gewöhnliche Differentialgleichungssysteme sind im Wesentlichen äquivalente Objekte. Man spricht auch von einem dynamischen System. Von Differentialgleichungen spricht man insbesondere dann, wenn man sich für die Lösungen im Sinne der folgenden Definition interessiert.

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Zur gewöhnlichen Differentialgleichung

${}v'=f(t,v)\,$

heißt eine Abbildung

$v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$

auf einem offenen (Teil)Intervall ${}J\subseteq I$ eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Es ist ${}v(t)\in U$ für alle ${}t\in J$.
2. Die Abbildung ${}v$ ist differenzierbar.
3. Es ist ${}v'(t)=f(t,v(t))$ für alle ${}t\in J$.

Eine Lösung ist also eine differenzierbare Kurve, d.h. eine (orts-)vektorwertige Abbildung

$v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t).$

Wenn ${}V=\mathbb {R} ^{n}$ ist, so wird eine solche Abbildung durch ihre Komponenten

$(v_{1}(t),\ldots ,v_{n}(t))$

beschrieben. Ebenso wird das Vektorfeld durch ${}n$, von ${}t$ und ${}v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ abhängige Funktionen ${}(f_{1},\ldots ,f_{n})$ beschrieben. Die Differentialgleichung lautet dann ausgeschrieben

${}{\begin{pmatrix}v_{1}'\\\vdots \\v_{n}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}(t,v_{1},\ldots ,v_{n})\\\vdots \\f_{n}(t,v_{1},\ldots ,v_{n})\end{pmatrix}}\,.$

Daher spricht man auch von einem Differentialgleichungssystem.

Häufig soll eine Kurve nicht nur eine Differentialgleichung erfüllen, sondern sich zusätzlich zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem bestimmten Ort befinden. Dies führt zum Begriff des Anfangswertproblems.

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Es sei ${}(t_{0},w)\in I\times U$ gegeben. Dann nennt man

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w$

das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung ${}v'=f(t,v)$ mit der Anfangsbedingung ${}v(t_{0})=w$.

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Es sei ${}(t_{0},w)\in I\times U$ vorgegeben. Dann nennt man eine Abbildung

$v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$

auf einem Intervall ${}J\subseteq I$ mit ${}t_{0}\in J$ eine Lösung des Anfangswertproblems

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w,$

wenn ${}v$ eine Lösung der Differentialgleichung ${}v'=f(t,v)$ ist und wenn zusätzlich

${}v(t_{0})=w\,$

gilt.

Eine zu einem Vektorfeld, einer gewöhnlichen Differentialgleichung und einem Anfangswertproblem passende Vorstellung ist das Windmodell. Das Vektorfeld

$F\colon I\times U\longrightarrow V$

beschreibt zu einem jeden Zeitpunkt ${}t\in I$ und einem Ortspunkt ${}P\in U$ die in diesem Punkt herrschende Windrichtung (oder Windgeschwindigkeit). Die Lösung einer Differentialgleichung ist die Bewegung eines Teilchens, das (beschleunigungsfrei und verzögerungsfrei) vom Wind getragen wird, dessen Momentangeschwindigkeit also zu jedem Zeitpunkt gleich der Windgeschwindigkeit an dem Ort ist, an dem sich das Teilchen gerade befindet. Die Lösung eines Anfangswertproblems beschreibt die Bewegung, wenn das Teilchen an einem bestimmten Punkt losgelassen wird.

Die Vorstellung, dass eine Differentialgleichung die Bewegung in einem Kraftfeld beschreibt, kann irreführend sein. Ein Kraftfeld ist ein Beschleunigungsfeld und kein Geschwindigkeitsfeld. Allerdings führt ein Kraftfeld zu einer Differentialgleichung zweiter Ordnung, die in eine Differentialgleichung erster Ordnung (unter Hinzunahme neuer Variablen) übersetzt werden kann.

Erste Beispiele

Beispiel

Wir betrachten ein konstantes Vektorfeld auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$, also eine Abbildung

$\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto w,$

wobei ${}w\in \mathbb {R} ^{n}$ ein fixierter Vektor ist. Im „Windmodell“ bedeutet dies, dass überall und zu jeder Zeit eine konstante Windgeschwindigkeit herrscht. Die Bewegung eines (durch den Wind getragenen) Teilchens muss sich also auf der durch einen Startpunkt und den Richtungsvektor ${}w$ gegebenen Geraden vollziehen. In der Tat besitzt das Anfangswertproblem

$v'=w{\text{ und }}v(t_{0})=P$

die eindeutige (affin-lineare) Lösung

$v\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto v(t)=P+{\left(t-t_{0}\right)}w,$

wie man durch Ableiten bestätigt.

Beispiel

Wir betrachten ein stetiges ortsunabhängiges Vektorfeld auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$, d.h. es sei eine stetige Abbildung

$g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

auf einem reellen Intervall ${}I$ gegeben, die wir als Vektorfeld

$F\colon I\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto g(t),$

auffassen. Im „Windmodell“ bedeutet dies, dass zu einem festen Zeitpunkt überall die gleiche Windgeschwindigkeit herrscht, diese sich aber mit der Zeit ändert. Die Bewegungskurven der (durch den Wind getragenen) Teilchen müssen also parallel zueinander sein, also durch eine Ortsverschiebung auseinander hervorgehen. Der Differenzvektor zwischen den Positionen von zwei Teilchen bleibt während des Bewegungsvorgangs erhalten. Die Lösungskurven zu einem Anfangswertproblem

$v'=F(t,v)=g(t){\text{ und }}v(t_{0})=P$

lassen sich einfach berechnen: Die eindeutige Lösung ist die Integralkurve

$v\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto v(t)=P+\left(\int _{t_{0}}^{t}g_{1}(s)ds,\int _{t_{0}}^{t}g_{2}(s)ds,\ldots ,\int _{t_{0}}^{t}g_{n}(s)ds\right),$

wobei die ${}g_{i}$ die Komponentenfunktionen von ${}g$ sind.

Beispiel

Es seien ${}n$ reellwertige Funktionen ${}f_{i}(t,x)$ in zwei Variablen gegeben. Diese kann man zu einem Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto {\left(f_{1}(t,x_{1}),f_{2}(t,x_{2}),\ldots ,f_{n}(t,x_{n})\right)}$

zusammenfassen. Dabei hängt die ${}i$-te Koordinatenfunktion des Vektorfeldes nur von ${}t$ und der ${}i$-ten Ortskoordinaten ${}x_{i}$ ab. Eine Lösungskurve ${}x(t)=(x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t))$ muss die Bedingungen

${}x'_{i}(t)=F_{i}(t,x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{i}(t,x_{i})\,$

(für ${}i=1,\ldots ,n$) erfüllen. Diese ${}n$ Bedingungen sind unabhängig voneinander, d.h. man kann die ${}n$ Komponentenfunktionen ${}x_{i}(t)$ getrennt mit einem eindimensionalen Ansatz bestimmen. Daher spricht man von einem entkoppelten Differentialgleichungssystem.

Manchmal ist ein Differentialgleichungssystem in den ursprünglich gegebenen Koordinaten nicht entkoppelt, lässt sich aber durch einen Koordinatenwechsel entkoppeln und dann lösen. Dies ist vor allem für lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten wichtig, die mit Mitteln der linearen Algebra entkoppelt werden können.

Beispiel

Wir betrachten das (zeitunabhängige) Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto (-y,x).$

Hier steht also der Richtungsvektor ${}F(t,x,y)=(-y,x)$ stets senkrecht auf dem Ortsvektor ${}(x,y)$, und ihre Normen stimmen überein. Man erwartet kreisförmige Bewegungen. In der Tat ist zur Anfangsbedingung ${}v(0)=(r,0)$ die Kurve

$v\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\left(r\cos t,r\sin t\right)},$

die eindeutige Lösung.

Zentralfelder

Definition

Es sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und es sei

$g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v)$

eine Funktion. Dann heißt das Vektorfeld

$F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(t,v)\cdot v,$

ein Zentralfeld.

Bei einem Zentralfeld sind also der Ortsvektor und der Richtungsvektor linear abhängig, d.h. der Richtungsvektor weist in Richtung des Ortsvektors. Daher findet die durch ein Zentralfeld definierte Bewegung allein auf der durch einen Ortspunkt und den Nullpunkt (dem Zentrum) festgelegten Geraden statt. Es handelt sich also im Grunde um einen eindimensional festgelegten Bewegungsvorgang, was auch im folgenden Lemma zum Ausdruck kommt.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$. Es sei

$F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(t,v)\cdot v,$

ein stetiges Zentralfeld zur stetigen Funktion

$g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v).$

Es sei ${}w\in U$ und es sei

$\alpha \colon J\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Lösung der eindimensionalen Differentialgleichung

$z'=h(t,z):=g(t,zw)\cdot z{\text{ mit }}\alpha (t_{0})=1.$

Dann ist

${}v(t)=\alpha (t)\cdot w\,$

eine Lösung des Anfangswertproblems

$v'=F(t,v){\text{ mit }}v(t_{0})=w.$

Beweis

Es ist

${}{\begin{aligned}v'(t)&=(\alpha (t)\cdot w)'\\&=\alpha '(t)\cdot w\\&=g(t,\alpha (t)\cdot w)\cdot \alpha (t)\cdot w\\&=F(t,\alpha (t)\cdot w)\\&=F(t,v(t))\end{aligned}}$

und

${}v(t_{0})=\alpha (t_{0})\cdot w=w\,,$

sodass eine Lösung des Anfangswertproblems vorliegt.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten das Zentralfeld zum zeitunabhängigen identischen Vektorfeld

$f\colon \mathbb {R} \times V\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto v,$

die beschreibende Hilfsfunktion ist also durch

${}g(t,v)=1\,$

gegeben. Es sei ${}t_{0}$ und ${}w\in V$ vorgegeben. Nach Lemma 40.10 müssen wir die eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung ${}z'=z$ betrachten, die gesuchte Lösung ist

${}z(t)=e^{t-t_{0}}\,.$

Daher ist

${}v(t)=e^{t-t_{0}}w\,$

die Lösung des Anfangswertproblems zum Zentralfeld.

Beispiel

Wir betrachten das Zentralfeld zur Funktion

$g\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x,y)\longmapsto g(t,x,y)={\frac {t^{2}x^{2}}{y}},$

also das Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto {\frac {t^{2}x^{2}}{y}}\cdot \left(x,\,y\right)=\left({\frac {t^{2}x^{3}}{y}},\,t^{2}x^{2}\right),$

und die Anfangsbedingung ${}\varphi (0)=(4,-3)$. Um dieses Anfangswertproblem zu lösen, müssen wir gemäß Lemma 40.10 die eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung

${}z'=g(t,4z,-3z)\cdot z={\frac {t^{2}16z^{2}}{-3z}}\cdot z=-{\frac {16}{3}}t^{2}z^{2}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}z(0)=1$ lösen. Dies ist eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen, nach Korollar 30.6 ist

${}z(t)={\frac {1}{{\frac {16}{9}}t^{3}+1}}\,$

die Lösung mit ${}z(0)=1$. Daher ist

${}v(t)={\frac {1}{{\frac {16}{9}}t^{3}+1}}\left(4,\,-3\right)\,$

die Lösung des Anfangswertproblems zum Zentralfeld.

Differentialgleichungen höherer Ordnung

Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall, ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und

$h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann nennt man den Ausdruck

${}y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}\,$

eine Differentialgleichung der Ordnung ${}n$.

Unter einer Lösung einer Differentialgleichung höherer Ordnung versteht man eine ${}n$-mal differenzierbare Funktion

$y\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t)$

(wobei ${}J\subseteq I$ ein offenes Teilintervall ist) derart, dass

${}y^{(n)}(t)=h(t,y(t),y'(t),y^{\prime \prime }(t),\ldots ,y^{(n-1)}(t))\,$

für alle ${}t\in J$ gilt.

Differentialgleichungen beliebiger Ordnung können unter Inkaufnahme von neuen Variablen auf ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung zurückgeführt werden.

Lemma

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall, ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und

$h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion.

Dann ist die Differentialgleichung höherer Ordnung

${}y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}\,$

über die Beziehung

${}v_{i}:=y^{(i)}\,$

äquivalent zum Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-2}\\v_{n-1}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\h(t,v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n-1})\end{pmatrix}}\,.$

Beweis

Wenn

$y\colon J\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Lösung der Differentialgleichung höherer Ordnung

${}y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}\,$

ist, so sind alle Funktionen ${}v_{i}=y^{(i)}$ für ${}i=0,\ldots ,n-1$ differenzierbar, und es gilt ${}v_{i}'=v_{i+1}$ für ${}i=0,\ldots ,n-2$ nach Definition und schließlich

${}{\begin{aligned}v_{n-1}'(t)&={\left(y^{(n-1)}\right)}^{\prime }(t)\\&=y^{(n)}(t)\\&=h{\left(t,y(t),y'(t),y^{\prime \prime }(t),\ldots ,y^{(n-1)}(t)\right)}\\&=h{\left(t,v_{0}(t),v_{1}(t),v_{2}(t),\ldots ,v_{n-1}(t)\right)}.\end{aligned}}$

Wenn umgekehrt

$v\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine Lösung des Differentialgleichungssystems zum Vektorfeld

$F\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v_{0},\ldots ,v_{n-1})\longmapsto F(t,v_{0},\ldots ,v_{n-1})=(v_{1},\ldots ,v_{n-1},h(t,v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n-1})),$

ist, so ergibt sich sukzessive aus den ersten ${}n-1$ Gleichungen, dass ${}y=v_{0}$ ${}n$-mal differenzierbar ist, und die letzte Gleichung des Differentialgleichungssystems besagt gerade

${}y^{(n)}(t)=h{\left(t,y(t),y'(t),y^{\prime \prime }(t),\ldots ,y^{(n-1)}(t)\right)}\,.$

$\Box$

Mit dieser Umformung ist auch klar, wie sinnvolle Anfangsbedingungen für eine Differentialgleichung höherer Ordnung aussehen. Man muss nicht nur einen Startwert ${}y(t_{0})=w_{0}$, sondern auch die höheren Ableitungen ${}y'(t_{0})=w_{1}$, ${}y^{\prime \prime }(t_{0})=w_{2}$, usw. festlegen.

Fußnoten

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