Kurs:Analysis 3/5/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 0 0 9 3 1 0 0 0 6 8 3 0 0 0 36




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Messraum.
  2. Die -Endlichkeit eines Prämaßes auf einem Präring auf einer Menge .
  3. Das Produktmaß zu - endlichen Maßräumen .
  4. Ein zusammenhängender topologischer Raum .
  5. Die -te äußere Potenz zu einem - Vektorraum (es genügt, das Symbol dafür anzugeben).
  6. Eine positive Volumenform auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .


Lösung

  1. Eine Menge , auf der eine - Algebra erklärt ist, heißt ein Messraum.
  2. Das Prämaß heißt -endlich, wenn man als eine abzählbare Vereinigung von Teilmengen aus mit

    schreiben kann.

  3. Man nennt das durch

    für festgelegte Maß das Produktmaß auf .

  4. Ein topologischer Raum heißt zusammenhängend, wenn es in genau zwei Teilmengen gibt (nämlich und der Gesamtraum ), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
  5. Man nennt den -Vektorraum das -te Dachprodukt von .
  6. Eine - Differentialform auf heißt eine positive Volumenform, wenn für jede Karte

    (mit und Koordinatenfunktionen ) in der lokalen Darstellung der Differentialform

    die Funktion überall positiv ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Fortsetzungssatz für Maße.
  2. /Fakt/Name
  3. /Fakt/Name


Lösung

  1. Es sei eine Menge, ein Präring auf ,

    ein Prämaß auf und die Fortsetzung von auf die von erzeugte - Algebra . Dann ist ein Maß

    auf .
  2. /Fakt
  3. /Fakt


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (9 Punkte)

Zeige, dass sich die abgeschlossene Einheitskreisscheibe
nicht durch abzählbar viele abgeschlossene Rechtecke

(mit und ) überdecken lässt.


Lösung

Nehmen wir an, es sei mit abgeschlossenen Rechtecken . Dies führen wir zu einem Widerspruch. Es sei ein Randpunkt der Kreisscheibe, also ein Punkt mit . Es ist dann für mindestens ein . Wir behaupten, dass ein Eckpunkt dieses Rechtecks ist.

Dazu zeigen wir, dass beide Koordinaten und Seitenkoordinaten des Rechtecks sind. Betrachten wir und nehmen wir an, sei keine Seitenkoordinate des Rechtecks, also . Dann gibt es ein derart, dass sowohl als auch zu und damit zu gehören. Also ist

Da man das Vorzeichen bei nichtnegativem positiv und bei negativem negativ wählen kann, steht bei dieser Wahl unter der Wurzel eine Zahl, die größer als ist, was einen Widerspruch bedeutet. Da diese Überlegung auch für die -Koordinate gilt, muss ein Eckpunkt eines Rechtecks sein.

Da nur abzählbar viele Rechtecke beteiligt sind, stehen insgesamt nur abzählbar viele Eckpunkte zur Verfügung. Andererseits gibt es aber überabzählbar viele Punkte auf der Sphäre , wie aus der Bijektion

folgt. Also kann eine abzählbare Überdeckung mit abgeschlossenen Rechtecken in nicht den gesamten Rand und damit nicht die abgeschlossene Kreisscheibe überdecken.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren

im erzeugten Parallelogramms (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).


Lösung

Es ist

und

Die Determinante der zugehörigen Matrix ist

Daher ist der Flächeninhalt des Parallelogramms gleich .


Aufgabe (1 Punkt)

Es sei

eine numerische Funktion. Zeige


Lösung

Es sei . Bei ist und , somit ist

Bei ist hingegen und , und somit ist


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Wir betrachten den Graph der Abbildung

als zweidimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des , also

mit der vom induzierten riemannschen Metrik. Es sei

die zugehörige Diffeomorphie.

a) Bestimme das totale Differential zu sowie die Bildvektoren und in .

b) Bestimme für jeden Punkt der Form den Flächeninhalt des von und in aufgespannten Parallelogramms.

c) Bestimme für jeden Punkt der Form den Flächeninhalt des von und in aufgespannten Parallelogramms.


Lösung

a) Das totale Differential zu im Punkt ist

und es ist

b) und c) Zur Bestimmung des Flächeninhalts berechnen wir zunächst die Skalarprodukte der beiden Vektoren und . Es ist

und

b) Für berechnet sich der Flächeninhalt des von und in aufgespannten Parallelogramms zu

c) Für berechnet sich der Flächeninhalt des von und in aufgespannten Parallelogramms zu


Aufgabe (8 Punkte)

Zeige, dass eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension unendlich viele Diffeomorphismen

besitzt.


Lösung

Wir betrachten Funktionen der Bauart

mit

mit einem Parameter . Dabei ist stetig und auch stetig differenzierbar, da die Nullstellen des Polynoms doppelt sind. Somit ist auch stetig differenzierbar. Für hinreichend klein ist streng wachsend und definiert eine stetig differenzierbare bijektive Abbildung des Einheitsintervalls in sich, die im unteren und im oberen Drittel die Identität ist.

Mit definieren wir Diffeomorphismen des offenen Einheitsballes in sich, durch

Es wird also der Punkt abhängig vom Radius gestreckt, wobei auf und auf die Identität vorliegt.

Wenn nun eine Mannigfaltigkeit der Dimension ist, so wählen wir eine Karte

mit , wobei wir (durch verkleinern) davon ausgehen können, dass (ein offener Ball und dann auch) der offene Einheitsball ist. Die konstruierten Diffeomorphismen auf liefern Diffeomorphismen auf . Da diese für den äußeren Ball (ab Radius ) die Identität sind, kann man diese Diffeomorphismen auf durch die Identität auf diffeomorph ausdehnen.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, es sei

eine Funktion auf und eine - Form auf . Zeige


Lösung

Es sei und . Dann ist


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung