Kurs:Differentialgeometrie/3/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 0 | 0 | 6 | 6 | 0 | 6 | 11 | 5 | 5 | 3 | 7 | 2 | 0 | 6 | 63 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine geodätische Kurve auf einer differenzierbaren Hyperfläche .
- Die Rotationsmenge (um die -Achse) zu einer Teilmenge .
- Die
Tangentialabbildung
zu einer differenzierbaren Abbildung
zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und .
- Ein orientierungstreuer Kartenwechsel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .
- Die zurückgezogene Differentialform zu einer Differentialform bezüglich einer stetig differenzierbaren Abbildung zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und .
- Ein metrischer linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel einer riemannschen Mannigfaltigkeit .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche .
- Die Formel für die Berechnung des kanonischen Volumens auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit in einer Karte.
- Der Satz über die Partition der Eins.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (6 Punkte)
Bestimme für die durch
gegebene Fläche und den Punkt
eine Diagonalmatrix für die Weingartenabbildung .
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise den Isometriesatz für den Paralleltransport auf einer Hyperfläche .
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (6 Punkte)
Es sei eine kompakte topologische -dimensionale Mannigfaltigkeit, . Zeige, dass es eine beschränkte offene Teilmenge und eine stetige surjektive Abbildung
gibt.
Aufgabe * (11 (1+3+1+2+4) Punkte)
Wir betrachten die Menge
der reellen nilpotenten - Matrizen sowie die Menge
a) Ist zusammenhängend?
b) Zeige, dass eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer offenen Teilmenge ist.
c) Bestimme die Dimension von .
d) Ist zusammenhängend?
e) Überdecke mit expliziten topologischen Karten.
Aufgabe (5 Punkte)
Sagen Sie etwas Schlaues zum Thema Möbiusband.
Aufgabe * (5 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
Berechne die Matrix der Abbildung
im Punkt bezüglich einer geeigneten Basis.
Aufgabe * (3 Punkte)
Es seien und offene Teilmengen und sei
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei
eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass
gilt, wobei das Zurückziehen von Differentialformen bezeichnet.
Aufgabe * (7 Punkte)
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und sei eine positive Volumenform auf . Es sei
ein Diffeomorphismus mit der Mannigfaltigkeit und eine messbare Teilmenge. Zeige
Aufgabe * (2 Punkte)
Wir betrachten auf dem trivialen Vektorbündel
vom Rang über den linearen Zusammenhang, der durch die Christoffelsymbole und gegeben sei. Berechne den Krümmungsoperator .
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise den Satz über die Retraktionen auf den Rand auf Mannigfaltigkeiten.