Kurs:Differentialgeometrie/3/Klausur


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 0 0 6 6 0 6 11 5 5 3 7 2 0 6 63




Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine geodätische Kurve auf einer differenzierbaren Hyperfläche .
  2. Die Rotationsmenge (um die -Achse) zu einer Teilmenge .
  3. Die Tangentialabbildung

    zu einer differenzierbaren Abbildung

    zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und .

  4. Ein orientierungstreuer Kartenwechsel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .
  5. Die zurückgezogene Differentialform zu einer Differentialform bezüglich einer stetig differenzierbaren Abbildung zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und .
  6. Ein metrischer linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel einer riemannschen Mannigfaltigkeit .



Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche .
  2. Die Formel für die Berechnung des kanonischen Volumens auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit in einer Karte.
  3. Der Satz über die Partition der Eins.



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe * (6 Punkte)

Bestimme für die durch

gegebene Fläche und den Punkt

eine Diagonalmatrix für die Weingartenabbildung .



Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Isometriesatz für den Paralleltransport auf einer Hyperfläche .



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei eine kompakte topologische -dimensionale Mannigfaltigkeit, . Zeige, dass es eine beschränkte offene Teilmenge und eine stetige surjektive Abbildung

gibt.



Aufgabe * (11 (1+3+1+2+4) Punkte)

Wir betrachten die Menge

der reellen nilpotenten - Matrizen sowie die Menge

a) Ist zusammenhängend?

b) Zeige, dass eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer offenen Teilmenge ist.

c) Bestimme die Dimension von .

d) Ist zusammenhängend?

e) Überdecke mit expliziten topologischen Karten.



Aufgabe (5 Punkte)

Sagen Sie etwas Schlaues zum Thema Möbiusband.



Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Berechne die Matrix der Abbildung

im Punkt bezüglich einer geeigneten Basis.



Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien und offene Teilmengen und sei

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass

gilt, wobei das Zurückziehen von Differentialformen bezeichnet.



Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und sei eine positive Volumenform auf . Es sei

ein Diffeomorphismus mit der Mannigfaltigkeit und eine messbare Teilmenge. Zeige



Aufgabe * (2 Punkte)

Wir betrachten auf dem trivialen Vektorbündel

vom Rang über den linearen Zusammenhang, der durch die Christoffelsymbole und gegeben sei. Berechne den Krümmungsoperator .



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Retraktionen auf den Rand auf Mannigfaltigkeiten.