Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 15

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer stetigen positiven Volumenform ${}\omega$. Zeige, dass

${}\int _{M}\omega <\infty \,$

ist.

Aufgabe

Zeige, dass das zu einer stetigen positiven Volumenform auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit in Definition 15.3 eingeführte Volumenmaß ein ${}\sigma$- endliches Maß ist.

Aufgabe

Es sei

${}\omega =dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=e_{1}^{*}\wedge \ldots \wedge e_{n}^{*}\,$

die Standard-Volumenform auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass für jede messbare Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Gleichheit

${}\int _{T}\omega =\int _{T}\,d\lambda ^{n}=\lambda ^{n}(T)\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer positiven Volumenform ${}\omega$. Es sei ${}T\subseteq M$ messbar und ${}N\subseteq M$ eine Nullmenge. Zeige, dass

${}\int _{T}\omega =\int _{T\setminus N}\omega \,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine ${}n$- dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie und es seien ${}\omega _{1}$ und ${}\omega _{2}$ positive Volumenformen auf ${}M$. Zeige, dass für jede messbare Teilmenge ${}T\subseteq M$ und ${}a,b\in \mathbb {R} _{+}$ die Beziehung

${}\int _{T}(a\omega _{1}+b\omega _{2})=a\int _{T}\omega _{1}+b\int _{T}\omega _{2}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie. Zeige, wie man unter Bezug auf Karten „Nullmengen“ von ${}M$ erklären kann, ohne dass ein Maß gegeben ist. Zeige ferner, dass wenn eine positive Volumenform gegeben ist, diese Nullmengen auch Nullmengen im Sinne der Maßtheorie sind.

Aufgabe

Beschreibe den Einheitskreis ${}S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}$ als Faser einer Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

derart, dass die gemäß Korollar 15.6 gegebene Volumenform ${}\omega$ positiv ist. Berechne ${}\int _{S^{1}}\omega$.

Aufgabe

Beschreibe die Einheitssphäre ${}S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ als Faser einer Abbildung

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R}$

derart, dass die gemäß Korollar 15.6 gegebene Volumenform ${}\omega$ positiv ist. Berechne ${}\int _{S^{2}}\omega$.

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine differenzierbare Abbildung. Es sei ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(M)$ eine messbare Differentialform mit der zurückgezogenen Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(L)$ und es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow L$

eine stetig differenzierbare Kurve (${}I$ ein reelles Intervall). Zeige, dass für die Wegintegrale die Gleichheit

${}\int _{\gamma }\varphi ^{*}\omega =\int _{\varphi \circ \gamma }\omega \,.$

Aufgabe

Sei

$\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t),$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zu den folgenden Differentialformen

a) ${}xdx+ydy$,

b) ${}xdx-ydy$,

c) ${}ydx+xdy$,

d) ${}ydx-xdy$.

Aufgabe *

Berechne das Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ zu

$\gamma \colon [-1,0]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (-t^{2},t^{3}-1,t+2),$

für die ${}1$-Differentialform

${}\omega =x^{3}dx-yzdy+xz^{2}dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe *

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

$\gamma \colon [1,2]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,t^{-1}),$

und

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{2},uv,-u+v^{2}),$

und die Differentialform

${}\omega =xdx-zdy+dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$.

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ zum Weg ${}\gamma$.

c) Berechne (ohne Bezug auf b)) das Wegintegral zur Differentialform ${}\omega$ zum Weg ${}\varphi \circ \gamma$.

Aufgabe *

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

$\gamma \colon [1,c]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,t^{3}),$

(mit $c\geq 1$) und

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{3},u^{2}+v^{2},u^{-1}v^{-1}),$

und die Differentialform

${}\omega =(x-y)dx-z^{2}dy+dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ auf dem ${}\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}$.

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ zum Weg ${}\gamma$ in Abhängigkeit von ${}c$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}n$- dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie. Es sei ${}\omega$ eine positive Volumenform auf ${}M$ und es sei ${}\mu$ das durch diese Volumenform definierte Maß auf ${}M$. Zeige, dass dann jede abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension ${}\leq n-1$ eine Nullmenge ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}a,b,c,d,r,s\geq 1$ natürliche Zahlen. Wir betrachten die stetig differenzierbare Kurve

$[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{r},t^{s}).$

Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zur Differentialform ${}\omega =x^{a}y^{b}dx+x^{c}y^{d}dy$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t,t),$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zur Differentialform ${}\omega =(y-z^{3})dx+x^{2}dy-xzdz$.