Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 3/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Aufgabe 3.1 ändern

Es sei ${}\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und es sei

$\delta \colon -I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,s\longmapsto \delta (s)=\gamma (-s),$

die umgekehrt durchlaufene Kurve. Zeige, dass die Krümmung von ${}\delta$ in ${}s$ das Negative der Krümmung von ${}\gamma$ in ${}-s$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und

$L\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine Drehung. Zeige, dass die Krümmung von ${}\gamma$ mit der Krümmung von ${}L\circ \gamma$ übereinstimmt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise Lemma 3.6 im nichtstandardorientierten Fall.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und

$L\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine Streckung mit dem Streckungsfaktor ${}s\neq 0$. In welcher Beziehung steht die Krümmung von ${}\gamma$ mit der Krümmung von ${}L\circ \gamma$?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos \left(\omega t\right)\\\sin \left(\omega t\right)\end{pmatrix}},$

mit einem ${}\omega >0$. Man zeige, dass es unendlich viele Kreisbewegungen mit konstanter Geschwindigkeitsnorm gibt, die mit ${}\gamma$ für ${}t=0$ bis zur ersten Ableitung übereinstimmen.

Die folgende Aufgabe ist wichtig für den Bau von Karussellen. Der Spaß beim Karussellfahren kommt von der Beschleunigung, nicht von der Geschwindigkeit.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos \left(\omega t\right)\\\sin \left(\omega t\right)\end{pmatrix}},$

mit einem ${}\omega >0$. Man zeige, dass es unendlich viele Kreisbewegungen mit konstanter Geschwindigkeitsnorm gibt, die mit ${}\gamma$ für ${}t=0$ übereinstimmen und auch dort die gleiche Beschleunigung haben.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

$\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos \left(\omega t\right)\\\sin \left(\omega t\right)\end{pmatrix}},$

mit einem ${}\omega >0$. Man zeige, dass es keine andere Kreisbewegung mit konstanter Geschwindigkeitsnorm gibt, die mit ${}\gamma$ für ${}t=0$ bis zur zweiten Ableitung übereinstimmt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Zeige, dass

$\gamma \colon I\longrightarrow Y$

genau dann eine geodätische Kurve ist, wenn ${}\gamma$ bogenparametrisiert ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die differenzierbare Kurve (die sogenannte Klothoide)

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \gamma (t),$

mit

${}\gamma (t)={\sqrt {\pi }}\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}\cos {\frac {\pi s^{2}}{2}}\\\sin {\frac {\pi s^{2}}{2}}\end{pmatrix}}ds\,.$

Zeige, dass die Krümmung dieser Kurve die Gleichung

${}\kappa (t)=t\,$

erfüllt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion. Bestimme die Krümmung und den Krümmungskreis des zugehörigen Graphen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ zweifach stetig differenzierbar und

${}\alpha (t):={\begin{pmatrix}\cos f(t)\\\sin f(t)\end{pmatrix}}\,.$

Bestimme die Krümmung von ${}\alpha$ und den Krümmungskreis für ${}t\in \mathbb {R}$ mit den Formeln aus Lemma 3.10.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Krümmung des Graphen von

$\sin \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

für ${}t={\frac {\pi }{2}}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Krümmung der logarithmischen Spirale

$\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \gamma (t)=e^{t}\left(\cos t,\,\sin t\right),$

für jedes ${}t\in \mathbb {R}$.

Eine Funktion ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ auf einem offenen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ heißt analytisch, wenn sie in jedem Punkt ${}a\in I$ durch eine Potenzreihe beschrieben werden kann.

Eine Kurve heißt analytisch, wenn jede Komponentenfunktion analytisch ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}\kappa \colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine analytische Funktion. Zeige, dass es eine analytische Kurve ${}\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ gibt, deren Krümmung im Punkt ${}\gamma (t)$ gleich ${}\kappa (t)$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Evolute der Kurve

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}t\\t^{2}\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die Krümmung in jedem Punkt des durch

${}h(x,y)=x^{2}+y^{2}=1\,$

implizit gegebenen Einheitskreises mit Lemma 3.11 und dem Gradientenfeld zu ${}h$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Krümmung des Graphen der Exponentialfunktion

$\exp \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

für jedes ${}t\in \mathbb {R}$.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Krümmung der archimedischen Spirale

$\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \gamma (t)=t\left(\cos t,\,\sin t\right),$

für jedes ${}t\in \mathbb {R}$.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve

$\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

derart, dass für zwei Zeitpunkte ${}t_{0}\neq t_{1}$ die Gleichheit ${}\gamma (t_{0})=\gamma (t_{1})$ gilt und derart, dass die Krümmungskreise zu ${}t_{0}$ und ${}t_{1}$ nicht übereinstimmen.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Evolute der Kurve

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}2\cos t\\3\sin t\end{pmatrix}}.$

In welchen Punkten hat die Ableitung der Evolute Nullstellen?

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Krümmung des durch

${}h(x,y)=x^{4}+y^{4}=1\,$

implizit gegebenen Einheitskreises mit Lemma 3.11 und dem Gradientenfeld zu ${}h$ in den folgenden Punkten.

1. ${}P={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$,
2. ${}Q={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}\\{\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}\end{pmatrix}}$.