- Die Weingartenabbildung
Es sei
eine
differenzierbare Hyperfläche.
Zu einem Punkt
definiert man eine lineare Abbildung
-
auf dem Tangentialraum zu
. Es sei
ein differenzierbares Einheitsnormalenfeld auf
, das auf einer offenen Umgebung von
definiert sei. Die wesentliche Idee ist, einen Tangentialvektor
durch eine differenzierbare Kurve
-
zu parametrisieren, dabei ist also
-
![{\displaystyle {}\gamma '(0)=v\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48825c220665cb801ca5b2109215e0c148687bfb)
Das Einheitsnormalenfeld definiert dann die Abbildung
-
längs
. Die infinitesimale Änderung des Einheitsnormalenfeldes längs
wird durch den Limes
-
gemessen, falls dieser existiert. Nach
Lemma 43.4 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ist dieser Limes gleich der Richtungsableitung
und wiederum gleich
, dem
totalen Differential
ausgewertet am Vektor
. Es wird sich herausstellen, dass diese Zuordnung
-
in
landet.
Man beachte, dass die Weingartenabbildung vom Einheitsnormalenfeld abhängt, auch wenn dies nicht immer explizit gesagt wird. Wenn
als Faser zu
gegeben ist, so nimmt man in der Regel das zugehörige normierte Gradientenfeld zu
.
Es ist
ein stetig differenzierbares Vektorfeld, das auf einer offenen Umgebung
definiert ist. Daher ist gemäß
Proposition 46.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
-
![{\displaystyle {}{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)}={\left(DN\right)}_{P}{\left(v\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3775fc791c72ab542105e9fcf607f98dd81ff952)
linear in der Richtung
. Wegen der Einheitsnormalenbedingung ist
für alle
und daher ist unter Verwendung von
Aufgabe 43.14 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
-
![{\displaystyle {}0={\left(D_{v}\left\langle N,N\right\rangle \right)}{\left(P\right)}=2\left\langle N(P),{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3927977afeecb516ab1103566314dee1ca564a10)
Daher steht
senkrecht auf
und gehört bei
zum Tangentialraum
.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Die Weingartenabbildung
ist also die negierte Einschränkung des totalen Differentials des Einheitsnormalenfeldes auf den Tangentialraum
in den Tangentialraum
. Wenn man das totale Differential über die
Jacobi-Matrix
von
ausrechnet, so muss man deren Wirkungsweise auf einer Basis des Tangentialraumes bestimmen, um eine Matrixdarstellung der Weingartenabbildung zu erhalten.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
In der vorstehenden Aussage wurde nicht explizit auf die Orientierung Bezug genommen, dies muss man sich dazudenken.
Es sei
-
zweifach differenzierbar mit
und
.
Es ist
-
![{\displaystyle {}\left\langle \gamma '(t),N(\gamma (t))\right\rangle =0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68ec601f962dfe4d18a7c541007312405db905e8)
für alle
und daher ist mit
Aufgabe 43.14 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}0&=\left\langle \gamma '(t),N(\gamma (t))\right\rangle '(0)\\&=\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(0),N(\gamma (0))\right\rangle +\left\langle \gamma '(0),{\left(D_{\gamma '(0)}N\right)}{\left(\gamma (0)\right)}\right\rangle \\&=\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(0),N(P)\right\rangle -\left\langle L_{P}(v),v\right\rangle .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d55e090ddcd7fccfacfb3d3f2d500f8a8a3000)
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
In der vorstehenden Aussage ist keine zusätzliche Festlegung über die Orientierung nötig, da auf beiden Seiten das Einheitsnormalenfeld, rechts via die Weingartenabbildung, eingeht. Man beachte ferner, dass
keine konstante Geschwindigkeit besitzen muss, es also viele Realisierungen gibt und die Beschleunigung
nicht festgelegt ist. Der Ausdruck
, der die normale Komponente der Beschleunigung beschreibt, ändert sich aber nicht, da sich
auf der Hyperfläche bewegt.
Für Vektoren
ist
-
![{\displaystyle {}\left\langle v,L_{P}(w)\right\rangle =\left\langle L_{P}(v),w\right\rangle \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8d86acb4147fad6c79bbf14699f0918bcc3e33b)
zu zeigen. Mit
ist gemäß
Lemma 45.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\left\langle v,L_{P}(w)\right\rangle &=-\left\langle v,{\left(D_{w}N\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \\&=-\left\langle v,{\left(D_{w}{\frac {\operatorname {Grad} \,h}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h}\Vert }}\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \\&=-\left\langle v,{\left(D_{w}{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h}\Vert }}\right)}{\left(P\right)}\cdot \operatorname {Grad} \,h(P)+{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}\cdot {\left(D_{w}\operatorname {Grad} \,h\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \\&=-{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}\left\langle v,{\left(D_{w}\operatorname {Grad} \,h\right)}{\left(P\right)}\right\rangle ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53185b5e5b76cdd60ff879113665cfaea69bff1b)
da der erste Summand senkrecht auf dem Tangentialvektor
steht. Mit Koordinatenfunktionen ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(D_{w}\operatorname {Grad} \,h\right)}{\left(P\right)}&={\left(D_{w}\left({\frac {\partial h}{\partial x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}\right)\right)}{\left(P\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}w_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial h}{\partial x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}\right)(P)\\&=\left(\sum _{j=1}^{n}w_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}(P),\,\ldots ,\,\sum _{j=1}^{n}w_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}(P)\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8839f1684dbc1d5b897f226d26abdbea9d2f212d)
Der obige Ausdruck ist somit gleich
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\left\langle v,L_{P}(w)\right\rangle &=-{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}\left\langle v,{\left(D_{w}\operatorname {Grad} \,h\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \\&=-{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}\sum _{i,j=1}^{n}v_{i}w_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(P).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db49df99ad6caef619dd809e5260ad3dd234d87b)
Nach
Satz 44.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
kann man die Reihenfolge der partiellen Ableitungen vertauschen, sodass man auch die Rollen von
und
vertauschen kann.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Es sei
eine
offene Menge
und sei
der
Graph
zu einer zweifach
stetig differenzierbaren
Funktion
-
Dann ist die
Weingartenabbildung
in einem Punkt
(zu dem nach oben gerichteten Einheitsnormalenfeld)
durch
gegeben, wobei
die
Hesse-Matrix
zu
bezeichnet und wenn man Grundvektoren
mit den Tangentialvektoren aus
im Sinne von
Beispiel 1.2
identifiziert.
Wir knüpfen an
Beispiel 1.2
an. Das nach oben gerichtete Einheitsnormalenfeld ist durch
-
![{\displaystyle N(x_{1},\ldots ,x_{n-1},f(x_{1},\ldots ,x_{n-1}))={\frac {1}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\right)}^{2}}}}{\begin{pmatrix}-{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\\\vdots \\-{\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\\1\end{pmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba25f7efeb4d0c190ef279d9d74c2489e18b02c1)
gegeben. Wir betrachten den Weg
-
![{\displaystyle {}\gamma (t)={\begin{pmatrix}x_{1}+tv_{1}\\\vdots \\x_{n-1}+tv_{n-1}\\f{\begin{pmatrix}x_{1}+tv_{1}\\\vdots \\x_{n-1}+tv_{n-1}\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebbf6f10d1282e80a937c40897b75054caf90572)
auf dem Graphen zum Grundvektor
. Die zweite Ableitung davon ist
-
![{\displaystyle {}\gamma ^{\prime \prime }(0)={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\\sum _{1\leq i,j\leq n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}v_{i}v_{j}\end{pmatrix}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/699002c0c5a273298475dc6a1ffc24d8d537753b)
Nach
Lemma 4.6
ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\left\langle L_{P}(\gamma '(0)),\gamma '(0)\right\rangle \\&=\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(0),N(x_{1},\ldots ,x_{n-1},f(x_{1},\ldots ,x_{n-1}))\right\rangle \\&={\frac {1}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\right)}^{2}}}}\left\langle {\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\\sum _{1\leq i,j\leq n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}v_{i}v_{j}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\\\vdots \\-{\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\\1\end{pmatrix}}\right\rangle \\&={\frac {\sum _{1\leq i,j\leq n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}v_{i}v_{j}}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\right)}^{2}}}}\\&={\frac {1}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\right)}^{2}}}}\left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{n-1}\right)\operatorname {Hess} _{}\,f{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\end{pmatrix}}.\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70bbbd72d6e4851f31b2e3ad8da0becc16aad535)
Das bedeutet, dass die nach
Satz 4.7
symmetrische
Bilinearform
im Tangentialraum
mit der durch die
(durch den Vorfaktor)
skalierte Hessematrix gegebenen Bilinearform auf
übereinstimmt, wenn vorne und hinten der gleiche Vektor eingesetzt wird. Nach
Lemma 38.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
stimmen dann generell die Bilinearformen über ein. Dann stimmen auch die linearen Abbildungen
und die durch die Hessematrix gegebene lineare Abbildung überein.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)