- Die Weingartenabbildung
Es sei
eine
differenzierbare Hyperfläche.
Zu einem Punkt
definiert man eine lineare Abbildung
-
auf dem Tangentialraum zu . Es sei ein differenzierbares Einheitsnormalenfeld auf , das auf einer offenen Umgebung von definiert sei. Die wesentliche Idee ist, einen Tangentialvektor
durch eine differenzierbare Kurve
-
zu parametrisieren, dabei ist also
-
Das Einheitsnormalenfeld definiert dann die Abbildung
-
längs . Die infinitesimale Änderung des Einheitsnormalenfeldes längs wird durch den Limes
-
gemessen, falls dieser existiert. Nach
Lemma 43.4 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ist dieser Limes gleich der Richtungsableitung und wiederum gleich , dem
totalen Differential
ausgewertet am Vektor . Es wird sich herausstellen, dass diese Zuordnung
-
in landet.
Man beachte, dass die Weingartenabbildung vom Einheitsnormalenfeld abhängt, auch wenn dies nicht immer explizit gesagt wird. Wenn als Faser zu gegeben ist, so nimmt man in der Regel das zugehörige normierte Gradientenfeld zu .
Es ist
ein stetig differenzierbares Vektorfeld, das auf einer offenen Umgebung
definiert ist. Daher ist gemäß
Proposition 46.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
-
linear in der Richtung . Wegen der Einheitsnormalenbedingung ist
für alle
und daher ist unter Verwendung von
Aufgabe 43.14 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
-
Daher steht senkrecht auf und gehört bei
zum Tangentialraum .
Die Weingartenabbildung ist also die negierte Einschränkung des totalen Differentials des Einheitsnormalenfeldes auf den Tangentialraum in den Tangentialraum . Wenn man das totale Differential über die
Jacobi-Matrix
von ausrechnet, so muss man deren Wirkungsweise auf einer Basis des Tangentialraumes bestimmen, um eine Matrixdarstellung der Weingartenabbildung zu erhalten.
In der vorstehenden Aussage wurde nicht explizit auf die Orientierung Bezug genommen, dies muss man sich dazudenken.
Es sei
-
zweifach differenzierbar mit
und
.
Es ist
-
für alle
und daher ist mit
Aufgabe 43.14 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
In der vorstehenden Aussage ist keine zusätzliche Festlegung über die Orientierung nötig, da auf beiden Seiten das Einheitsnormalenfeld, rechts via die Weingartenabbildung, eingeht. Man beachte ferner, dass keine konstante Geschwindigkeit besitzen muss, es also viele Realisierungen gibt und die Beschleunigung nicht festgelegt ist. Der Ausdruck , der die normale Komponente der Beschleunigung beschreibt, ändert sich aber nicht, da sich auf der Hyperfläche bewegt.
Für Vektoren
ist
-
zu zeigen. Mit
ist gemäß
Lemma 45.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
da der erste Summand senkrecht auf dem Tangentialvektor steht. Mit Koordinatenfunktionen ist
Der obige Ausdruck ist somit gleich
Nach
Satz 44.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
kann man die Reihenfolge der partiellen Ableitungen vertauschen, sodass man auch die Rollen von
und
vertauschen kann.
Es sei
eine
offene Menge
und sei
der
Graph
zu einer zweifach
stetig differenzierbaren
Funktion
-
Dann ist die
Weingartenabbildung
in einem Punkt
(zu dem nach oben gerichteten Einheitsnormalenfeld)
durch gegeben, wobei die
Hesse-Matrix
zu bezeichnet und wenn man Grundvektoren
mit den Tangentialvektoren aus im Sinne von
Beispiel 1.2
identifiziert.
Wir knüpfen an
Beispiel 1.2
an. Das nach oben gerichtete Einheitsnormalenfeld ist durch
-
gegeben. Wir betrachten den Weg
-
auf dem Graphen zum Grundvektor . Die zweite Ableitung davon ist
-
Nach
Lemma 4.6
ist
Das bedeutet, dass die nach
Satz 4.7
symmetrische
Bilinearform
im Tangentialraum mit der durch die
(durch den Vorfaktor)
skalierte Hessematrix gegebenen Bilinearform auf übereinstimmt, wenn vorne und hinten der gleiche Vektor eingesetzt wird. Nach
Lemma 38.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
stimmen dann generell die Bilinearformen über ein. Dann stimmen auch die linearen Abbildungen und die durch die Hessematrix gegebene lineare Abbildung überein.