Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 5
- Die Pausenaufgabe
Formuliere die zweite binomische Formel für einen kommutativen Ring und führe sie auf die erste binomische Formel zurück.
- Übungsaufgaben
Kommentar:
Da die Bezeichnung verwendet wird, liegt multiplikative Schreibweise vor, das Inverse von ist und das Inverse von ist . Der erste Reflex ist vielleicht, es mit dem Produkt zu versuchen, doch dies ist falsch. Das Produkt
kann man ohne weitere Bedingung nicht vereinfachen, da die Gruppe nicht kommutativ ist. Stattdessen versucht man es mit , und das funktioniert.
Es sei eine Menge und es sei die Menge aller bijektiven Abbildungen von nach . Zeige, dass mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine Gruppe ist. Was ist das neutrale Element, was ist das inverse Element zu ?
Lucy Sonnenschein befindet sich in Position , wobei sich im Folgenden die erste Komponente auf links/rechts und die zweite Komponente auf vorne/hinten bezieht. Sie geht vier Schritte nach rechts, dann zwei Schritte nach hinten, dann einen Schritt nach links, einen (etwas größeren) Diagonalschritt nach links hinten und schließlich zwei Schritte nach vorne. In welcher Position befindet sie sich zum Schluss? Durch welche möglichst einfache Bewegung kann sie die Gesamtbewegung rückgängig machen?
Es sei eine kommutative Gruppe, und . Zeige
Gabi Hochster hat heute keine Lust, bei der Addition von natürlichen Zahlen im Dezimalsystem die Überträge zu berücksichtigen. Sie addiert einfach ziffernweise und schreibt nur die Endziffern der Einzelsummen an die richtige Stelle hin. Sie sagt: „Meine neue Verknüpfung ist viel besser als die übliche Addition: Sie ist einfacher zu berechnen, sie ist assoziativ und kommutativ und sie besitzt ein neutrales Element. Darüber hinaus gibt es zu jeder natürlichen Zahl eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft, dass deren Summe die ergibt. Es liegt also sogar eine Gruppe vor und die ganzen Zahlen braucht man gar nicht mehr“. Sind ihre Beobachtungen korrekt?
Beweise das folgende Untergruppenkriterium. Eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:
Es sei eine Gruppe und es seien und Untergruppen von . Zeige, dass der Durchschnitt
ebenfalls eine Untergruppe von ist.
Es sei ein kommutativer Ring und seien und Elemente in . Berechne
Es sei ein kommutativer Ring, und . Zeige die Gleichheit
Formuliere und beweise die dritte binomische Formel für einen kommutativen Ring .
Es sei eine Menge. Zeige, dass die Potenzmenge mit dem Durchschnitt als Multiplikation und der symmetrischen Differenz
als Addition (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Ring ist.
Diskutiere, welche Bedeutungen die Begriffe positiv und negativ in einem kommutativen Ring besitzen. Wie sieht es in aus? Welche Bedeutung ist relativ, welche absolut?
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Zeige, dass
mit der Addition und der Hintereinanderschaltung von Abbildungen ein Ring ist.
Kommentar:
Dies ist eine Verallgemeinerung von Aufgabe 5.20 und geht ähnlich. Der Nachweis, dass etwas ein Ring ist, sieht auf den ersten Blick nach viel Arbeit aus, da ja zielmich viele Eigenschaften zu überprüfen sind. Wenn viel Arbeit ansteht sollte man sich immer fragen, ob sich ein Teil davon direkt erledigen lässt oder ob es jemand anders erledigen kann oder ob sie schon erledigt ist. Danach kann man sich dann auf die verbleibende Arbeit konzentrieren. Mathematisch bedeutet dies: sind Teilaufgaben trivial? Gab es Sätze, aus denen ein Teil oder alles folgt? Wurde eine ähnliche Aufgabe oder die im Prinzip gleiche, aber mit anderen Worten formulierte Aufgabe schon bearbeitet?
Wenn man ferner zeigen soll, dass etwas ein Ring, eine Gruppe etc. ist, so muss man zuerst die gegebene Menge und die Verknüpfungen darauf verstehen, wie diese aufgebaut sind. Verknüpfungen werden häufig unter bezug auf grundlegendere Verknüpfungen definiert. Hier startet man ja mit einem beliebigen Vektorraum , der seinerseits wieder auf einen Körper Bezug nimmt. Darüber weiß man nichts weiteres, außer dass es eben ein Vektorraum ist.
Die Menge, um die es geht, ist jetzt die Menge aller linearen Abbildungen von nach (die man auch Endomorphismen nennt). Hier kommt die Vorstellung, dass Ringe so etwas wie Zahlbereiche sind, an ihre Grenzen. sind Ringe, es gibt aber eben auch noch ziemlich anders geartete Ringe, deren Elemente nicht „Zahlen“, sondern lineare Abbildungen sind. Zu den Verknüpfungen: Hier wird kurz von der Addition und der Hintereinanderschaltung gesprochen. Es wird also so getan, also ob es klar ist, was die Addition ist. Was soll sein? Da und lineare Abbildungen sind, und auch eine lineare Abbildung sein soll, muss aus jedem Vektor wieder ein Vektor machen, da fällt einem nur
ein. Dies ist wieder linear, das kann man direkt zeigen und war allgemeiner Gegenstand von [[Lineare Abbildung/Summe/Aufgabe|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Lineare Abbildung/Summe/Aufgabe/Aufgabereferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]. Dann ist auch klar, was die ist, nämlich die Nullabbildung, die alles auf schickt, und dass dies mit dieser Addition eine Gruppe bildet. Dies gilt genauso für die Menge aller linearen Abbildungen von nach , wenn ein weiterer Vektorraum ist.
Zur Multiplikation: Nach Lemma 3.15 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) ist die Hintereinanderschaltung (das ist die Multiplikation) von Abbildungen assoziativ, was auch schon in Beispiel 4.7 verwendet wurde, und das neutrale Element ist die Identität, und nach [[Lineare Abbildung/Verknüpfung/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Lineare Abbildung/Verknüpfung/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]] ist die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen wieder linear. Somit ist nur noch das Distributivgesetz zu zeigen.
Es sei ein kommutativer Ring und es seien ganze Zahlen und . Zeige die folgenden Aussagen.
- Zu ist (also die -fache Summe von mit sich selbst) gleich , wobei links die -fache Summe der mit sich selbst steht.
- Zu ist (also die -fache Summe des Negativen von mit sich selbst) gleich dem Negativen (in ) von .
- Es ist
- Es ist
- Es ist
Es sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass man jeder natürlichen Zahl ein Ringerelement zuordnen kann, derart, dass das Nullelement in und das Einselement in ist und dass
gilt. Zeige, dass diese Zuordnung die Eigenschaften
besitzt.
Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten.
Es sei ein kommutativer Ring. Zu jedem sei
die Multiplikation mit . Zeige, dass genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.
Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.
Wir betrachten die Menge
die mit der stellenweisen Addition von Funktionen eine kommutative Gruppe ist. Auf dieser Menge bildet die Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine assoziative Verknüpfung mit der Identität als neutralem Element.
- Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form
gilt.
- Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form
nicht gilt.
Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper .
Einen kommutativen Ring , der die Nichtnullteilereigenschaft aus
Lemma 5.14
erfüllt, heißt Integritätsbereich. Die ganzen Zahlen sind ein Integritätsbereich, aber kein Körper. Für endliche Ringe gilt aber die folgende Aussage.
Es sei ein kommutativer Ring mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass genau dann ein Integritätsbereich ist, wenn ein Körper ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei ein Ring und seien und Elemente in . Berechne das Produkt
Wie lautet das Ergebnis, wenn der Ring kommutativ ist?
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum und , , ein fixierter Vektor. Zeige, dass
mit der natürlichen Addition und Multiplikation von Endomorphismen ein Ring und ein Untervektorraum von ist. Bestimme die Dimension dieses Raumes.
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass für ganze Zahlen genau dann das „umgekehrte Distributivgesetz“
gilt, wenn
oder
ist.
Aufgabe (5 Punkte)
Wir betrachten eine Uhr mit Stunden- und Minutenzeiger. Es ist jetzt 6 Uhr, sodass die beiden Zeiger direkt gegenüber stehen. Um wie viel Uhr stehen die beiden Zeiger zum nächsten Mal direkt gegenüber?
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass die „Rechenregel“
bei (und ) niemals gilt. Man gebe ein Beispiel mit , wo diese Regel gilt.
Aufgabe (2 Punkte)
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