Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 9/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde einen Primfaktor der Zahl ${}2^{25}-1$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde einen Primfaktor der Zahl ${}2^{25}+1$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde einen Primfaktor der folgenden drei Zahlen

$2^{33}-1,\,2^{91}-1,\,2^{13}+1.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}1728$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Man gebe zwei Primfaktoren von ${}2^{35}-1$ an.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe ${}65$ und deren Produkt ${}1000$ ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass es unendlich viele normierte irreduzible Polynome in ${}K[X]$ gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass in einem faktoriellen Bereich ${}R$ der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Elementen ${}f,g\in R$ existieren.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Verknüpfung

$\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(a,b)\longmapsto \operatorname {kgV} \,(a,b),$

(wobei man das ${}\operatorname {kgV} \,\geq 0$ wählt), ein Monoid definiert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich. Zeige, dass jedes von ${}0$ verschiedene Primideal ein Primelement enthält.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Charakterisiere in ${}\mathbb {Z}$ die Radikale mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}a$, ${}b$ und ${}r$ positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Teilbarkeit ${}a^{r}{|}b^{r}$ die Teilbarkeit ${}a{|}b$ impliziert.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

a) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen ${}2\cdot 3^{2}\cdot 7^{4}$ und ${}2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{11}\cdot 7$.

b) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen ${}2\cdot 3^{2}\cdot 6\cdot 7$ und ${}2^{2}\cdot 3^{3}\cdot 5^{4}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Begründe, ob der größte gemeinsame Teiler zu zwei Zahlen ${}a,b\in \mathbb {Z}$ im Allgemeinen einfacher über die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen oder über den euklidischen Algorithmus zu finden ist.

Die folgenden Aufgaben zeigen, dass die eindeutige Primfaktorzerlegung keineswegs selbstverständlich ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N} _{+}$ diejenige Teilmenge, die aus allen natürlichen Zahlen besteht, die bei Division durch ${}4$ den Rest ${}1$ besitzen, also ${}M=\{1,5,9,13,17,{\ldots }\}$. Zeige, dass man ${}441$ innerhalb von ${}M$ auf zwei verschiedene Arten in Faktoren zerlegen kann, die in ${}M$ nicht weiter zerlegbar sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte den Unterring

${}R=K[X^{2},X^{3},X^{4},X^{5},\ldots ]\subset K[X]\,.$

Zeige, dass ${}X^{6}$ zwei wesentlich verschiedene Zerlegungen in irreduzible Elemente besitzt.

Die folgenden Aufgaben beschäftigen sich mit dem kommutativen Ring ${}R=K[\mathbb {Q} _{\geq 0}]$, wobei ${}K$ ein fixierter Körper ist. Er besteht aus allen Ausdrücken der Form

$a_{1}X^{q_{1}}+a_{2}X^{q_{2}}+\cdots +a_{n}X^{q_{n}}$

mit ${}a_{i}\in K$ und ${}q_{i}\in \mathbb {Q} _{\geq 0}$ besteht, und wobei die Addition komponentenweise und die Multiplikation durch distributive Fortsetzung der Regel

${}X^{q}\cdot X^{p}:=X^{p+q}\,$

gegeben ist. Beispielsweise ist

${}{\begin{aligned}{\left(2X^{1/2}+5X^{2/3}\right)}{\left(3X^{1/2}-4X^{1/3}\right)}&=6X-8X^{5/6}+15X^{7/6}-20X\\&=-14X-8X^{5/6}+15X^{7/6}.\end{aligned}}$

Man kann sich bei ${}K=\mathbb {R}$ die Elemente ${}X^{a/b}$ als die Funktionen

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{a/b}={\sqrt[{b}]{x^{a}}}$

vorstellen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne in ${}R=\mathbb {R} [\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ das Produkt

${\left(X^{2}+4X^{3/2}-5X+X^{1/2}\right)}{\left(2X^{3/2}+4X-7X^{1/2}\right)}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass man jedes Element ${}F\in R=K[\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ (${}K$ ein Körper) als ein Polynom in ${}X^{1/b}$ mit einem ${}b\in \mathbb {N} _{+}$ schreiben kann, dass es also ein ${}P\in K[Y]$ derart gibt, dass ${}F=P(X^{1/b})$ gilt. Welches Polynom kann man bei

${}F=X^{1/2}+X^{1/3}+X^{1/5}\,$

nehmen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass in ${}R=K[\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ das Element ${}X$ keine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass in ${}R=\mathbb {R} [\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ das Element ${}X^{2}+1$ nicht irreduzibel ist.

Die folgende Aufgabe verwendet Logarithmen und benötigt Grundkenntnisse in linearer Algebra.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ als ${}\mathbb {Q}$- Vektorraum. Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen ${}\ln p$, wobei ${}p$ durch die Menge der Primzahlen läuft, linear unabhängig ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Man bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen

$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.$

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}S$ ein Integritätsbereich und ${}R\subseteq S$ ein Unterring mit

${}S^{\times }\cap R=R^{\times }\,.$

In ${}S$ besitze jede Nichteinheit eine Zerlegung in irreduzible Elemente. Zeige, dass diese Eigenschaft auch in ${}R$ gilt.

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},b,f\in R$ Elemente. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Wenn ${}b$ ein größter gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ ist, so ist auch ${}fb$ ein größter gemeinsamer Teiler der ${}fa_{1},fa_{2},\ldots ,fa_{n}$.

b) Wenn ${}f$ ein Nichtnullteiler ist, so gilt hiervon auch die Umkehrung.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich und ${}a,b\in R$. Zeige, dass ${}ab$ und das Produkt aus ${}{\operatorname {KgV} \,\left(a,b\right)}$ und ${}{\operatorname {GgT} \,\left(a,b\right)}$ zueinander assoziiert sind.

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in R$ Elemente in einem faktoriellen Bereich ${}R$ und ${}k\in \mathbb {N}$.

a) Zeige, dass

$\operatorname {kgV} _{}^{}{\left(a_{1}^{k},a_{2}^{k},\ldots ,a_{n}^{k}\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,{\left(\operatorname {kgV} _{}^{}{\left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)}\right)}^{k}$

zueinander assoziiert sind.

b) Zeige, dass

$\operatorname {ggT} _{}^{}{\left(a_{1}^{k},a_{2}^{k},\ldots ,a_{n}^{k}\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,{\left(\operatorname {ggT} _{}^{}{\left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)}\right)}^{k}$

zueinander assoziiert sind.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass es in ${}R={\mathbb {C} }[\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ keine irreduziblen Elemente gibt.