Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 6/kontrolle
- Übungsaufgaben
Skizziere ein Teilerdiagramm für die Zahlen sowie all ihrer positiven Teiler.
Beweise die folgenden Eigenschaften zur Teilbarkeit in einem kommutativen Ring :
- Für jedes Element gilt und .
- Für jedes Element gilt .
- Gilt und , so gilt auch .
- Gilt und , so gilt auch .
- Gilt , so gilt auch für jedes .
- Gilt und , so gilt auch für beliebige Elemente .
Zeige, dass für je zwei ganze Zahlen aus
die Beziehung folgt.
Zeige, dass für jede ungerade Zahl die Zahl ein Vielfaches von ist.
Zeige, dass eine natürliche Zahl genau dann gerade ist, wenn ihre letzte Ziffer im Dezimalsystem gleich oder ist.
Formuliere und beweise (bekannte) Teilbarkeitskriterien für Zahlen im Dezimalsystem für die Teiler .
Betrachte im er System mit den Ziffern die Zahl
Ist diese Zahl durch teilbar?
Es seien
und sei
.
a) Zeige, dass die beiden Polynome und Teiler des Polynoms sind.
b) Es sei
.
Ist stets ein Teiler von
c) Man gebe drei Primfaktoren von an.
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über und seien zwei Polynome. Es sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass ein Teiler von in genau dann ist, wenn ein Teiler von in ist.
![{\displaystyle {}K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7861df9df3d7463835d927c4d0d4c27f5e2f8416)
![{\displaystyle {}F,G\in K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d2554b15433a4f1cc8f6ec612b0369190dbb2bf)
![{\displaystyle {}L[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d5815a5136aa33922f4b4abca07494764a41de7)
Zeige, dass die Assoziiertheit in einem kommutativen Ring eine Äquivalenzrelation ist.
Zeige, dass in einem kommutativen Ring folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.
- Sind und assoziiert, so gilt genau dann, wenn .
- Ist ein Integritätsbereich, so gilt hiervon auch die Umkehrung.
Zeige, dass die Primzahlen Primelemente in sind.
Zeige, dass im Polynomring über einem Körper die Variable irreduzibel und prim ist.
Zeige, dass im Polynomring über einem Körper die linearen Polynome () irreduzibel und prim ist.
Bestimme im Polynomring alle irreduziblen Polynome vom Grad .
![{\displaystyle {}F_{2}[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b1ceee1b6c47f102871e003b0b973aa197e5c8f)
Es sei ein Integritätsbereich und ein Element, das keine Quadratwurzel in besitze. Zeige, dass das Polynom irreduzibel ist.
![{\displaystyle {}X^{2}-r\in R[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c5361b17f7e8b97e9ec48cab3fe0cb0178a1c06)
Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad nicht irreduzibel ist.
Hinweis: Der Zwischenwertsatz hilft.
Zeige, dass das Polynom in irreduzibel ist.
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05854fb7f5090d865105d7297fa178c8eb802fbf)
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von und .
Es sei eine Menge von ganzen Zahlen. Zeige, dass der nichtnegative größte gemeinsame Teiler der mit demjenigen gemeinsamen Teiler übereinstimmt, der bezüglich der Ordnungsrelation der größte gemeinsame Teiler ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Integritätsbereich und sei der Polynomring darüber. Zeige, dass ein Polynom der Form ein Primelement ist.
![{\displaystyle {}R[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e7ee29b3b3d6eeb3b39f218ba987877e85928bd)
Man gebe auch ein Beispiel, dass dies für Polynome der Form nicht gelten muss.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
![{\displaystyle {}R=K[X^{2},X^{3},X^{4},X^{5},\ldots ]\subset K[X]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af47aa4810217c52cb3cae29eb9318830dc66ed1)
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme im Polynomring alle irreduziblen Polynome vom Grad .
![{\displaystyle {}F_{3}[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6d9f3b721645b99685183afff96525fc670215f)
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die irreduziblen Elemente in , deren Norm kleinergleich ist.
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a7b82444e46cc862c5f6049ef5771c5286c116)
In der folgenden Aufgabe sind die Eigenschaften prim und irreduzibel in einem Monoid zu verstehen, ohne dass ein Ring vorliegt.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Betrachte die Menge , die aus allen positiven natürlichen Zahlen besteht, in deren Primfaktorzerlegung (in ) eine gerade Anzahl (mit Vielfachheiten gezählt) von Primfaktoren vorkommt. Zeige, dass ein multiplikatives Untermonoid ist. Man charakterisiere die irreduziblen Elemente und die Primelemente in .
