Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 3 3 6 4 6 4 2 3 2 0 5 3 2 5 0 0 54




Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine gebrochen-lineare Funktion auf .
  2. Die Exponentialreihe zu einer komplexen Zahl .
  3. Die eingesetze Potenzreihe .
  4. Der Rückzug einer Differentialform.
  5. Die Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes zu einem Aufpunkt .
  6. Der Körper der elliptischen Funktionen.



Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Wurzeln aus holomorphen Funktionen.
  2. Der Hauptsatz über holomorphe Funktionen.
  3. Der Satz über den Repräsentant eines Gitters.



Aufgabe * (3 Punkte)

Beschreibe die Abbildung

in reellen Koordinaten.



Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien

zwei absolut konvergente Potenzreihen in . Zeige, dass das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch

gegeben ist.



Aufgabe * (6 Punkte)

Zeige, dass der Ring der konvergenten Potenzreihen ein diskreter Bewertungsring ist.



Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei offen und sei

eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass für den Rückzug gilt (mit )



Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)

Es seien endlichdimensionale - Vektorräume.

  1. Es sei eine zusammenhängende offene Menge und sei eine exakte Differentialform auf . Zeige, dass die Stammform zu bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist.
  2. Es seien offene sternförmige Mengen mit der Eigenschaft, dass zusammenhängend ist. Es sei

    eine stetig differenzierbare geschlossene Differentialform. Zeige, dass exakt ist.



Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine ganze Funktion. Zeige, dass das Bild von dicht in ist.



Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein Gebiet und sei eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft: Es gebe einen Punkt mit und

für alle . Zeige, dass dann konstant ist.



Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe möglichst viele Charakterisierungen des lokalen Exponenten einer nichtkonstanten holomorphen Funktion

in einem Punkt .



Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt der rationalen Funktion .



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein Polynom. Es sei die Menge der Nullstellen der Ableitung, es sei die Bildmenge zu unter und sei das Urbild von unter . Zeige, dass

eine Überlagerung ist.



Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die komplexe Potenzfunktion (bezüglich eines fixierten Logarithmus auf einer offenen Menge ) die Ableitungseigenschaft

erfüllt.



Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Windungszahl auf den Teilgebieten des gezeigten Weges.



Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein Gebiet und sei eine Teilmenge von holomorphen Funktionen auf , die nicht lokal beschränkt sei. Zeige, dass es dann eine Folge in gibt, die keine kompakt konvergente Teilfolge besitzt.



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe (0 Punkte)