Kurs:Funktionentheorie/5/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |
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Punkte | 3 | 3 | 3 | 3 | 6 | 4 | 6 | 4 | 2 | 3 | 2 | 0 | 5 | 3 | 2 | 5 | 0 | 0 | 54 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine gebrochen-lineare Funktion auf .
- Die Exponentialreihe zu einer komplexen Zahl .
- Die eingesetze Potenzreihe .
- Der Rückzug einer Differentialform.
- Die Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes zu einem Aufpunkt .
- Der Körper der elliptischen Funktionen.
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über Wurzeln aus holomorphen Funktionen.
- Der Hauptsatz über holomorphe Funktionen.
- Der Satz über den Repräsentant eines Gitters.
Aufgabe * (3 Punkte)
Es seien
zwei absolut konvergente Potenzreihen in . Zeige, dass das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch
gegeben ist.
Aufgabe * (6 Punkte)
Zeige, dass der Ring der konvergenten Potenzreihen ein diskreter Bewertungsring ist.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei offen und sei
eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass für den Rückzug gilt (mit )
Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)
Es seien endlichdimensionale - Vektorräume.
- Es sei eine zusammenhängende offene Menge und sei eine exakte Differentialform auf . Zeige, dass die Stammform zu bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist.
- Es seien
offene
sternförmige Mengen
mit der Eigenschaft, dass
zusammenhängend
ist. Es sei
eine stetig differenzierbare geschlossene Differentialform. Zeige, dass exakt ist.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei eine ganze Funktion. Zeige, dass das Bild von dicht in ist.
Aufgabe * (2 Punkte)
Es sei ein Gebiet und sei eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft: Es gebe einen Punkt mit und
für alle . Zeige, dass dann konstant ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Beschreibe möglichst viele Charakterisierungen des lokalen Exponenten einer nichtkonstanten holomorphen Funktion
in einem Punkt .
Aufgabe * (2 Punkte)
Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt der rationalen Funktion .
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei ein Polynom. Es sei die Menge der Nullstellen der Ableitung, es sei die Bildmenge zu unter und sei das Urbild von unter . Zeige, dass
eine Überlagerung ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Zeige, dass die komplexe Potenzfunktion (bezüglich eines fixierten Logarithmus auf einer offenen Menge ) die Ableitungseigenschaft
erfüllt.
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme die Windungszahl auf den Teilgebieten des gezeigten Weges.
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei ein Gebiet und sei eine Teilmenge von holomorphen Funktionen auf , die nicht lokal beschränkt sei. Zeige, dass es dann eine Folge in gibt, die keine kompakt konvergente Teilfolge besitzt.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)