Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/10/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	${}\sum$
Punkte	3	3	4	2	4	4	3	3	2	2	3	4	2	3	1	5	5	2	2	4	2	63

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Gerade in Punktvektorform im ${}K^{n}$.
2. Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

   bezüglich der Standardbasen.

3. Eine Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf einer Menge ${}M$.
4. Ein Dedekindscher Schnitt.
5. Der trigonometrische Punkt ${}P(\alpha )$ zu einem Winkel ${}\alpha$.
6. Ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum.

Lösung

1. Unter einer Geraden in Punktvektorform versteht man einen affinen Unterraum ${}G\subseteq K^{n}$ der Form

   ${}G=P+Kv={\left\{P+sv\mid s\in K\right\}}\,$

   mit einem von ${}0$ verschiedenen Vektor ${}v\in K^{n}$ und einem Aufpunkt ${}P\in K^{n}$.

2. Die ${}m\times n$- Matrix

   ${}M=(a_{ij})_{ij}\,,$

   wobei ${}a_{ij}$ die ${}i$-te Koordinate von ${}\varphi (e_{j})$ bezüglich der Standardbasis ${}e_{i}$ des ${}K^{m}$ ist, heißt die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$.

3. Eine Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Relation, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ${}x,y,z\in M$).
   1. ${}x\sim x$.
   2. Aus ${}x\sim y$ folgt ${}y\sim x$.
   3. Aus ${}x\sim y$ und ${}y\sim z$ folgt ${}x\sim z$.
4. Unter einem Dedekindschen Schnitt versteht man ein Paar ${}(A,B)$ bestehend aus Teilmengen der rationalen Zahlen, die folgende Eigenschaften erfüllen.
   1. ${}A$ und ${}B$ sind nicht leer.

   2. ${}A\uplus B=\mathbb {Q} \,,$

      d.h. es liegt eine Zerlegung der Menge aller rationalen Zahlen in zwei Teilmengen vor.

   3. Für jedes ${}x\in A$ und jedes ${}y\in B$ ist ${}x<y$.
   4. Zu ${}x\in A$ gibt es ein ${}x'\in A$ mit ${}x'>x$.
5. Zu einem Winkel ${}\alpha$ (im Bogenmaß) nennt man denjenigen Punkt auf dem Einheitskreis, den man erreicht, wenn man sich auf dem Kreis in ${}(1,0)$ startend gegen der Uhrzeigersinn auf dem Kreisbogen ${}\alpha$ lange bewegt, den trigonometrischen Punkt ${}P(\alpha )$ zu diesem Winkel.
6. Unter einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum versteht man eine endliche Menge ${}M$ zusammen mit einer fixierten diskreten Wahrscheinlichkeitsdichte ${}f\colon M\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über den Lösungsraum bei einer linearen Gleichung.
2. Der Satz über die Eindeutigkeit des Limes in einem angeordneten Körper ${}K$.
3. Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms ${}F\in K[X]$.

Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und

   ${}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=c\,$

   eine lineare Gleichung über ${}K$ in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$. Es sei ${}a_{1}\neq 0$. Dann steht die Lösungsmenge ${}L$ der Gleichung in einer natürlichen Bijektion zum ${}K^{n-1}$, und zwar über die Abbildungen

   $L\longrightarrow K^{n-1},\,\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left(x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right),$

   und

   $K^{n-1}\longrightarrow L,\,\left(x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left({\frac {1}{a_{1}}}\left(c-a_{2}x_{2}-\cdots -a_{n}x_{n}\right),\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right).$

2. Eine Folge in einem angeordneten Körper besitzt maximal einen Limes.
3. Ein Element ${}a\in K$ ist genau dann eine Nullstelle von ${}F$, wenn ${}F$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${}X-a$ ist.

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

${}x\geq 0\,,$

${}y+x\geq 0\,,$

${}-1-y\leq -x\,,$

${}5y-2x\leq 3\,,$

gegeben.

a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.

Lösung

a) Wir lösen jeweils nach ${}y$ auf und erhalten die vier Ungleichungen

${}x\geq 0\,,$

${}y\geq -x\,,$

${}y\geq x-1\,,$

${}y\leq {\frac {2}{5}}x+{\frac {3}{5}}\,.$

Die zugehörigen Geraden begrenzen dann die Lösungsmenge.

b) Die Eckpunkte sind Schnittpunkte der eingrenzenden Geraden, die durch die Gleichungen (die zu den Ungleichungen gehören) gegeben sind. Diese sind

$(0,0),\,\left(0,\,{\frac {3}{5}}\right),\,\left({\frac {8}{3}},\,{\frac {5}{3}}\right),\,\left({\frac {1}{2}},\,-{\frac {1}{2}}\right).$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

${}4x+7y=3\,$

im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gegebene Gerade.

Lösung

Es ist ${}{\begin{pmatrix}0\\{\frac {3}{7}}\end{pmatrix}}$ eine Lösung der Gleichung, die wir als Aufpunkt nehmen können. Der Vektor ${}{\begin{pmatrix}7\\-4\end{pmatrix}}$ ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung. Somit ist

${\left\{{\begin{pmatrix}0\\{\frac {3}{7}}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}7\\-4\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {Q} \right\}}$

eine Beschreibung der Geraden in Punktrichtungsform.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.$

Lösung

Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben ${}0\in K^{n}$ keinen anderen Vektor ${}v\in V$ mit ${}\varphi (v)=0$ geben. Also ist ${}\varphi ^{-1}(0)=0$.
Es sei umgekehrt ${}\operatorname {kern} \varphi =0$ und seien ${}v_{1},v_{2}\in V$ gegeben mit ${}\varphi (v_{1})=\varphi (v_{2})$. Dann ist wegen der Linearität

${}\varphi (v_{1}-v_{2})=\varphi (v_{1})-\varphi (v_{2})=0\,.$

Daher ist ${}v_{1}-v_{2}\in \operatorname {kern} \varphi$ und damit ${}v_{1}=v_{2}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}x,y$ rationale Zahlen. Zeige, dass

${}x-\left\lfloor x\right\rfloor =y-\left\lfloor y\right\rfloor \,$

genau dann gilt, wenn es ein ${}n\in \mathbb {Z}$ mit ${}y=x+n$ gibt.

Lösung

Es sei ${}x-\left\lfloor x\right\rfloor =y-\left\lfloor y\right\rfloor$. Da ${}\left\lfloor x\right\rfloor ,\left\lfloor y\right\rfloor$ ganze Zahlen sind, ist ${}n=\left\lfloor y\right\rfloor -\left\lfloor x\right\rfloor$ ganzzahlig. Damit gilt

${}{\begin{aligned}y&=\left\lfloor y\right\rfloor +(y-\left\lfloor y\right\rfloor )\\&=\left\lfloor y\right\rfloor +(x-\left\lfloor x\right\rfloor )\\&=x+\left\lfloor y\right\rfloor -\left\lfloor x\right\rfloor \\&=x+n.\end{aligned}}$

Es sei nun ${}y=x+n$ mit ${}n\in \mathbb {Z}$. Aus der definierenden Beziehung

${}\left\lfloor x\right\rfloor \leq x<\left\lfloor x\right\rfloor +1\,$

folgt

${}\left\lfloor x\right\rfloor +n\leq x+n<\left\lfloor x\right\rfloor +n+1\,,$

daher muss

${}\left\lfloor x+n\right\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +n\,$

sein. Somit ist

${}{\begin{aligned}y-\left\lfloor y\right\rfloor &=x+n-\left\lfloor x+n\right\rfloor \\&=x+n-(\left\lfloor x\right\rfloor +n)\\&=x-\left\lfloor x\right\rfloor .\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {37}}$ in ${}\mathbb {Z} /(89)$.

Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert

${}89=2\cdot 37+15\,,$

${}37=2\cdot 15+7\,,$

${}15=2\cdot 7+1\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}1&=15-2\cdot 7\\&=15-2\cdot (37-2\cdot 15)\\&=5\cdot 15-2\cdot 37\\&=5\cdot (89-2\cdot 37)-2\cdot 37\\&=5\cdot 89-12\cdot 37.\end{aligned}}$

Daher ist

${}-12=77\,$

das inverse Element zu ${}37$ in ${}\mathbb {Z} /(89)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon K\longrightarrow \operatorname {Mat} _{2}(K),\,a\longmapsto {\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}}.$

Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung ${}\varphi$, welche nicht?

Lösung

Es ist

${}\varphi (a+b)={\begin{pmatrix}a+b&0\\0&1\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}a+b&0\\0&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b&0\\0&1\end{pmatrix}}=\varphi (a)+\varphi (b)\,,$

die Abbildung ist also nicht mit der Addition verträglich.

Es ist

${}\varphi (a\cdot b)={\begin{pmatrix}a\cdot b&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b&0\\0&1\end{pmatrix}}=\varphi (a)\cdot \varphi (b)\,,$

die Abbildung ist also mit der Multiplikation verträglich.

Es ist

${}\varphi (1)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,$

die Abbildung bildet also die ${}1$ auf die ${}1$ ab. Insgesamt liegt kein Ringhomomorphismus vor.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}I=[a,b]$ ein Intervall in einem angeordneten Körper ${}K$. Beschreibe die Menge

${}M={\left\{x\in K\mid -x\in [a,b]\right\}}\,$

als ein Intervall.

Lösung

Wir behaupten

${}M=[-b,-a]\,.$

Die Negationsabbildung ${}x\mapsto -x$ ist streng fallend. Somit ist

${}{\begin{aligned}M&={\left\{x\in K\mid -x\in [a,b]\right\}}\\&={\left\{x\in K\mid a\leq -x\leq b\right\}}\\&={\left\{x\in K\mid -a\geq -{\left(-x\right)}\geq -b\right\}}\\&={\left\{x\in K\mid -a\geq x\geq -b\right\}}\\&=[-b,-a].\end{aligned}}$

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne

${\left({\frac {7}{3}}-{\frac {3}{2}}{\sqrt {5}}\right)}\cdot {\left({\frac {4}{5}}+{\frac {5}{3}}{\sqrt {5}}\right)}.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left({\frac {7}{3}}-{\frac {3}{2}}{\sqrt {5}}\right)}\cdot {\left({\frac {4}{5}}+{\frac {5}{3}}{\sqrt {5}}\right)}&={\frac {7}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}-{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {5}{3}}\cdot 5+{\left({\frac {7}{3}}\cdot {\frac {5}{3}}-{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{5}}\right)}{\sqrt {5}}\\&={\frac {28}{15}}-{\frac {75}{6}}+{\left({\frac {35}{9}}-{\frac {6}{5}}\right)}{\sqrt {5}}\\&={\frac {56-375}{30}}+{\frac {175-54}{45}}\cdot {\sqrt {5}}\\&=-{\frac {319}{30}}+{\frac {121}{45}}\cdot {\sqrt {5}}\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}={\frac {7n^{4}-2n^{2}+5}{4n^{4}-5n^{3}+n-6}}\,$

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Lösung

Für ${}n\geq 1$ kann man die Folge (durch Erweiterung mit ${}1/n^{4}$) als

${}x_{n}:={\frac {7n^{4}-2n^{2}+5}{4n^{4}-5n^{3}+n-6}}={\frac {7-2{\frac {1}{n^{2}}}+5{\frac {1}{n^{4}}}}{4-5{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n^{3}}}-6{\frac {1}{n^{4}}}}}\,$

schreiben. Folgen vom Typ ${}a/n,\,a/n^{2},\,a/n^{3}$ und ${}a/n^{4}$ sind Nullfolgen. Aufgrund der Summenregel für konvergente Folgen konvergiert der Zähler gegen ${}7$ und der Nenner gegen ${}4$, so dass nach der Quotientenregel die Folge insgesamt gegen ${}7/4\in \mathbb {Q}$ konvergiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass der Limes einer konvergenten Folge in einem angeordneten Körper eindeutig bestimmt ist.

Lösung

 Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte ${}x,y$, ${}x\neq y$, gibt. Dann ist ${}d:=\vert {x-y}\vert >0$. Wir betrachten ${}\epsilon :=d/3>0$. Wegen der Konvergenz gegen ${}x$ gibt es ein ${}n_{0}$ mit

$\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon {\text{ für }}{\text{alle }}n\geq n_{0}$

und wegen der Konvergenz gegen ${}y$ gibt es ein ${}n_{0}'$ mit

$\vert {x_{n}-y}\vert \leq \epsilon {\text{ für }}{\text{alle }}n\geq n_{0}'.$

Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für ${}n\geq \max\{n_{0},n_{0}'\}$. Es sei ${}n$ mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der Dreiecksungleichung der Widerspruch

${}d=\vert {x-y}\vert \leq \vert {x-x_{n}}\vert +\vert {x_{n}-y}\vert \leq \epsilon +\epsilon =2d/3\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}x\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine nichtnegative reelle Zahl. Für jedes ${}\epsilon \in \mathbb {R} ,\,\epsilon >0$, gelte ${}x\leq \epsilon$. Zeige ${}x=0$.

Lösung

Wir nehmen ${}x\neq 0$ an. Dann ist ${}x>0$. Dann ist auch ${}{\frac {x}{2}}>0$ und die Voraussetzung, angewandt auf ${}\epsilon ={\frac {x}{2}}$, ergibt ${}x\leq {\frac {x}{2}}$, woraus sich durch beidseitige Subtraktion von ${}{\frac {x}{2}}$ der Widerspruch ${}{\frac {x}{2}}\leq 0$ ergibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

$0{,}7{\overline {41}}$

gegeben ist.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}0{,}7{\overline {41}}&=0{,}7+0{,}0{\overline {41}}\\&=0{,}7+{\frac {1}{10}}\cdot 0{,}{\overline {41}}\\&={\frac {7}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot 41\cdot 0{,}{\overline {01}}\\&={\frac {7}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot 41\cdot {\frac {1}{99}}\\&={\frac {7}{10}}+{\frac {41}{990}}\\&={\frac {693+41}{990}}\\&={\frac {734}{990}}\\&={\frac {367}{495}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (1 Punkt)

Erläutere die geometrische Relevanz des geometrischen Mittels.

Lösung Geometrisches Mittel/Geometrische Relevanz/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

Lösung

Die Lösung in (2) ist ein Spezialfall von (3), in dem die beiden Lösungen zusammenfallen. Wir zeigen explizit, dass in der Tat Lösungen vorliegen. Es ist

${}{\begin{aligned}a{\left({\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}-b}{2a}}\right)}^{2}+b{\left({\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}-b}{2a}}\right)}+c&=a{\frac {b^{2}-4ac+\mp 2b{\sqrt {b^{2}-4ac}}+b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {\pm b{\sqrt {b^{2}-4ac}}-b^{2}}{2a}}+c\\&={\frac {b^{2}-4ac+\mp 2b{\sqrt {b^{2}-4ac}}+b^{2}\pm 2b{\sqrt {b^{2}-4ac}}-2b^{2}+4ac}{4a}}\\&=0.\,\end{aligned}}$

Da eine quadratische Gleichung nur maximal zwei Lösungen besitzt, sind wir im dritten Fall fertig.

Im Allgemeinen schreiben wir

${}{\begin{aligned}aX^{2}+bX+c&=a{\left(X^{2}+{\frac {b}{a}}X+{\frac {c}{a}}\right)}\\&=a{\left({\left(X+{\frac {b}{2a}}\right)}^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right)}\\&=a{\left({\left(X+{\frac {b}{2a}}\right)}^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\right)}.\end{aligned}}$

Der rechte Term ist bei

${}b^{2}-4ac<0\,$

stets positiv und so hat das Polynom in diesem Fall keine Nullstelle, bei

${}b^{2}-4ac=0\,$

hat es genau die eine angegebene Nullstelle.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

${}P=X^{3}+bX^{2}+cX+d\,$

ein normiertes Polynom über einem Körper ${}K$. Es seien ${}u,v,w$ drei (verschiedene) Zahlen aus ${}K$. Zeige, dass diese drei Zahlen genau dann Nullstellen von ${}P$ sind, wenn sie das Gleichungssystem

${}uvw=-d\,,$

${}uv+uw+vw=c\,,$

${}u+v+w=-b\,,$

erfüllen.

Lösung

Nach Lemma 50.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) ist eine Zahl ${}u\in K$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$, wenn ${}X-u$ ein Linearfaktor von ${}P$ ist. Da ${}u,v,w$ verschieden sind, sind diese drei Zahlen Nullstellen von ${}P$ genau dann, wenn

${}P=(X-u)(X-v)(X-w)\,$

ist. Wenn man dieses Produkt ausrechnet, so erhält man

${}(X-u)(X-v)(X-w)=X^{3}-(u+v+w)X^{2}+(uv+uw+vw)X-uvw\,.$

Dies stimmt mit ${}P=X^{3}+bX^{2}+cX+d$ genau dann überein, wenn es koeffizientenweise damit übereinstimmt, wenn also gleichzeitig

${}uvw=-d\,,$

${}uv+uw+vw=c\,,$

${}u+v+w=-b\,,$

gilt. Dies ist das angegebene Gleichungssystem.

Aufgabe (2 Punkte)

Fridolin sagt:

„Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}},$

gilt ${}f(-1)=-1$ und ${}f(1)=1$. Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen ${}-1$ und ${}1$ geben, also eine Zahl ${}x\in [-1,1]$ mit ${}f(x)=0$. Es ist doch aber stets ${}{\frac {1}{x}}\neq 0$.“

Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?

Lösung

Die Funktion ist im Nullpunkt ${}0$ nicht definiert, den Zwischenwertsatz kann man nur für stetige Funktionen anwenden, die auf einem abgeschlossenen Intervall definiert sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu (man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte).

1. ${\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {1}{2}}x+1\right)-1,$

2. ${\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {1}{2}}x-1\right)-1,$

3. ${\frac {1}{2}}\sin \left({\frac {1}{3}}x+1\right)-1,$

4. ${\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {1}{2}}x+1\right)+1,$

5. ${\frac {1}{3}}\sin \left(2x+1\right)-1,$

6. ${\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {1}{2}}x+{\frac {\pi }{2}}\right)-1.$

• 
  a)
• 
  b)
• 
  c)

• 
  d)
• 
  e)
• 
  f)

Lösung

1. ${\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {1}{2}}x+1\right)-1:\,b,$

2. ${\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {1}{2}}x-1\right)-1:\,a,$

3. ${\frac {1}{2}}\sin \left({\frac {1}{3}}x+1\right)-1:\,d,$

4. ${\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {1}{2}}x+1\right)+1:\,e,$

5. ${\frac {1}{3}}\sin \left(2x+1\right)-1:\,c,$

6. ${\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {1}{2}}x+{\frac {\pi }{2}}\right)-1:\,f.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Zahlenlotto (genau) drei Richtige hat.

Lösung

Wir zählen die Möglichkeiten, also die sechselementigen Teilmengen von ${}\{1,\ldots ,49\}$, die für das in Rede stehende Ereignis günstig sind. Von den getippten sechs Zahlen werden genau drei Zahlen gezogen, dafür gibt es

${\binom {6}{3}}$

Möglichkeiten. Wenn diese drei Zahlen als Treffer fixiert sind, so müssen diese drei Zahlen gezogen werden, die drei anderen getippten Zahlen nicht. Dafür gibt es jeweils

${\binom {43}{3}}$

Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also

${\binom {6}{3}}\cdot {\binom {43}{3}}$

Möglichkeiten, drei Richtige zu haben, und somit ist die Wahrscheinlichkeit dafür gleich

${}{\begin{aligned}{\frac {{\binom {6}{3}}\cdot {\binom {43}{3}}}{\binom {49}{6}}}&={\frac {{\frac {6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}}\cdot {\frac {43\cdot 42\cdot 41}{3\cdot 2\cdot 1}}}{\frac {49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}}\\&={\frac {5\cdot 4\cdot 43\cdot 7\cdot 41\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}}\\&={\frac {43\cdot 41\cdot 5}{7\cdot 6\cdot 47\cdot 23\cdot 11}}\\&=0,0176504....\end{aligned}}$

Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum ${}M=\{1,2,3,\ldots ,143\}$ mit der Laplace-Dichte. Es sei ${}E$ das Ereignis, dass eine Zahl aus ${}M$ ein Vielfaches der ${}11$ ist, und ${}F$ das Ereignis, dass eine Zahl aus ${}M$ ein Vielfaches der ${}13$ ist. Sind ${}E$ und ${}F$ unabhängig?

Lösung

Es ist

${}E={\left\{11k\mid k=1,2,\ldots ,13\right\}}\,$

und

${}F={\left\{13k\mid k=1,2,\ldots ,11\right\}}\,.$

Somit sind die Wahrscheinlichkeiten gleich ${}P(E)={\frac {13}{243}}={\frac {1}{11}}$ und ${}P(E)={\frac {11}{243}}={\frac {1}{13}}$. Da ${}11$ und ${}13$ teilerfremd sind, ist nur die ${}143$ ein gemeinsamer Teiler der Zahlen in ${}M$. Daher ist

${}P(E\cap F)=P(\{143\})={\frac {1}{143}}\,$

und wegen

${}{\frac {1}{143}}={\frac {1}{11}}\cdot {\frac {1}{13}}\,$

liegt Unabhängigkeit vor.