Lösung
- Unter einer
Geraden in Punktvektorform
versteht man einen
affinen Unterraum
der Form
-
mit einem von verschiedenen Vektor und einem Aufpunkt .
- Die
-
Matrix
-
wobei die -te
Koordinate
von bezüglich der Standardbasis des ist, heißt die beschreibende Matrix zu .
- Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine
Relation,
die die folgenden drei Eigenschaften besitzt
(für beliebige ).
- .
- Aus folgt .
- Aus und folgt .
- Unter einem
Dedekindschen Schnitt
versteht man ein Paar bestehend aus Teilmengen der rationalen Zahlen, die folgende Eigenschaften erfüllen.
- und sind nicht leer.
-
d.h. es liegt eine Zerlegung der Menge aller rationalen Zahlen in zwei Teilmengen vor.
- Für jedes und jedes ist
.
- Zu gibt es ein mit
.
- Zu einem Winkel
(im Bogenmaß)
nennt man denjenigen Punkt auf dem
Einheitskreis,
den man erreicht, wenn man sich auf dem Kreis in startend gegen der Uhrzeigersinn auf dem Kreisbogen lange bewegt, den trigonometrischen Punkt zu diesem Winkel.
- Unter einem
endlichen Wahrscheinlichkeitsraum
versteht man eine endliche Menge zusammen mit einer fixierten
diskreten Wahrscheinlichkeitsdichte
.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Exponentialreihe.
- Die
Additionstheoreme
für die trigonometrischen Funktionen.
- Der Satz über die vollständige Unabhängigkeit im Produktraum.
Lösung
- Für die
Exponentialfunktion
zur Basis gilt die Darstellung
-
- Für die trigonometrischen Funktionen
-
und
-
gelten die Additionstheoreme
-
und
-
- Es seien
endliche Wahrscheinlichkeitsräume
und
-
der
Produktraum.
Es seien Ereignisse , , ... , gegeben und es seien die zugehörigen Zylindermengen im Produktraum, also
-
Dann sind die Ereignisse
vollständig unabhängig.
Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in Variablen über einem Körper .
Lösung
Aus den Rohstoffen und werden verschiedene Produkte hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist,
um die verschiedenen Produkte herzustellen
(jeweils in geeigneten Einheiten).
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a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.
b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.
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Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?
c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.
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Welche Produkttupel kann man daraus ohne Abfall produzieren?
Lösung
a) Die Matrix ist
-
da in der -ten Spalte die für das -te Produkt benötigte Rohstoffmenge stehen muss.
b) Die benötigte Rohstoffmenge ist
-
c) Es geht um das lineare Gleichungssystem
-
das wir zunächst ohne Berücksichtigung der Tatsache lösen, dass nur nichtnegative Tupel sinnvoll interpretiert werden können. Wir ziehen vom -fachen der dritten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile ab und erhalten
-
Jetzt ziehen wir von der dritten Zeile das Doppelte der ersten Zeile ab und erhalten
-
Mit
-
erhalten wir die eindeutige Lösung
-
-
und
-
Mit
-
erhalten wir die eindeutige Lösung
-
-
und
-
Alle Lösungen des linearen Gleichungssystems haben somit die Form
-
mit
.
Wir berücksichtigen jetzt noch, dass von diesen Lösungen des linearen Gleichungssystems nur diejenigen sinnvoll interpretiert werden können, bei denen von jedem Produkt eine nichtnegative Menge produziert wird. Dies ergibt vier Abschätzungen, die Bedingungen an festlegen. Wegen der ersten Zeile muss
sein und damit ist auch die vierte Zeile erfüllt. Die zweite Zeile führt auf die Bedingung
-
also
-
Die dritte Zeile führt auf die Bedingung
-
also
-
Damit alle Einträge nichtnegativ sind, muss der Parameter aus
-
gewählt werden. Die aus den gegebenen Rohstoffmengen produzierbare Tupel sind also
-
mit
.
Für ein doppelverpacktes Geschenk soll eine würfelförmige Schachtel in eine etwas größere würfelförmige Schachtel hineingelegt werden. Bestimme auf unterschiedliche Arten, wie viele Möglichkeiten es dafür gibt.
Lösung
Wir denken uns den größeren Würfel fest.
Es gibt Möglichkeiten, auf dem kleineren Würfel eine Seite auszusuchen, die der Boden sein soll. Wenn dies festgelegt ist, so gibt es noch Drehmöglichkeiten, wie der Würfel zu platzieren ist. Dies sind Möglichkeiten.
Es gibt Möglichkeiten, auf dem kleineren Würfel eine Ecke auszusuchen, die mit einer fixierten Ecke der größeren Würfelschachtel deckungsgleich werden soll. Wenn dies festgelegt ist, so gibt es noch Drehmöglichkeiten, wie der Würfel zu platzieren ist. Dies sind Möglichkeiten
Es gibt Möglichkeiten, auf dem kleineren Würfel eine Kante auszusuchen, die mit einer fixierten Kante der größeren Würfelschachtel deckungsgleich werden soll. Wenn dies festgelegt ist, so gibt es noch Drehmöglichkeiten, wie der Würfel zu platzieren ist. Dies sind Möglichkeiten
Bestimme das inverse Element zu in .
Lösung
Der euklidische Algorithmus liefert
-
-
-
-
Somit ist
Daher ist das inverse Element zu in .
Vergleiche
-
Lösung
Wir fragen uns, ob
-
ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu
-
Dies ist durch Subtraktion mit äquivalent zu
-
Durch Quadrieren ist dies äquivalent zu
-
Dies ist äquivalent zu
-
Quadrieren liefert
-
was stimmt. Also ist
-
Untersuche die
Folge
-
auf
Konvergenz.
Lösung
Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall aus. Das Intervall wird in zehn gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das achte Teilintervall. Das entstehende Intervall teilen wir ebenfalls in zehn gleichlange Teilintervalle und nehmen davon wieder das achte Teilintervall. Dieser Teilungsprozess wird unendlich oft durchgeführt, wobei eine Folge von Intervallen
, ,
entsteht
( ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient).
- Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird.
- Erstelle eine Formel, die die untere und die obere Intervallgrenze des Intervalls , , ausdrückt.
- Es gibt genau eine rationale Zahl , die in jedem Intervall enthalten ist. Bestimme als Bruch.
Lösung
- Das zweite Intervall ist .
- Die -te untere Intervallgrenze ist
-
und die -te obere Intervallgrenze ist entsprechend, da das -te Intervall die Länge besitzt,
Die Formel für beweist man durch Induktion über , bei
ist sie richtig
(bei auch, da die leere Summe als zu interpretieren ist).
Zum Nachweis des Induktionsschrittes kann man vom Intervall
-
ausgehen. Die Länge des Folgeintervalls ist ein Zehntel davon, also , und da man das achte nehmen muss, muss man zur alten unteren Grenze dazuaddieren.
- Wir behaupten
-
Wenn man nämlich die schriftliche Division durchführt, so erhält man wegen
-
dass sämtliche Dezimalziffern nach dem Komma gleich sind. Nach
Lemma 28.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))
ist daher
-
Dies bedeutet genau die Zugehörigkeit zu den angegebenen Intervallen.
Es sei
-
Bestimme .
Lösung
Es ist
Es sei
-
eine quadratische Gleichung mit
.
Zeige, dass die Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden
-
und des Kreises
-
die Lösungen der quadratischen Gleichung sind.
Lösung
Es sei eine
positive
reelle Zahl
und
-
die zugehörige
Exponentialfunktion.
Zeige
-
für alle unter Bezug auf die entsprechende Gleichung für rationale Argumente.
Lösung
Wir beschränken uns auf den Fall
und
.
Es sei eine rationale streng wachsende positive Folge, die gegen konvergiert, und es sei eine rationale streng wachsende positive Folge, die gegen konvergiert. Dann konvergiert nach
Lemma 44.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) (2)
die Folge gegen . Somit konvergiert auch gegen . Wegen
-
für rationale Argumente ist also noch zu zeigen, dass gegen konvergiert. Es sei dazu ein positives vorgegeben. Wegen der Konvergenz von gegen gibt es ein derart, dass für alle
die Abschätzung
-
gilt. Wegen der Stetigkeit von , die für jedes auf der Stetigkeit des Potenzierens und des Wurzelziehens beruht, und wegen der Konvergenz von gegen , gibt es wegen der Folgenstetigkeit zu jedem ein derart, dass für alle
die Abschätzung
-
gilt. Insgesamt ist also für
(dabei gehöre zu )
wegen der Monotonie
-
und somit
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Fünffache ihrer zweiten Potenz, gleich der siebten Wurzel von ist?
Lösung
Wir betrachten, analog zum Pascalschen Dreieck, die folgende Rekursionsvorschrift und das dadurch erzeugte Dreieck. Die Zahlen darin seien mit bezeichnet, wobei sich auf die Zeilennummer und auf die Position in der Zeile bezieht. Rekursionsanfang: In der nullten Zeile steht an der mittleren Stelle eine
(alle Zeilen kann man sich durch beliebig viele Nullen nach links und nach rechts aufgefüllt denken).
Rekursionsschritt: Aus einer Zeile ergibt sich die nächste Zeile, indem man
-
setzt. Dies legt rekursiv jede Zeile fest.
- Bestimme die ersten fünf Zeilen
(also Zeile bis Zeile ).
- Begründe induktiv, dass in jeder Zeile die Summe aller Einträge gleich ist.
- Zeige, dass in der -ten Zeile die Zahlen ,
,
der
Binomialverteilung
zur Wahrscheinlichkeit und zur Stichprobenlänge stehen.
Lösung
- Es ergibt sich das folgende Schema.
-
- Der Induktionsanfang ist klar, da in der nullten Zeile eine einzige steht. Zum Beweis des Induktionsschrittes sei bereits bewiesen, dass die Summe in der -ten Zeile gleich ist. Jeder Eintrag der -ten Zeile geht zweifach in die nächste Zeile ein, nämlich einmal mit dem Faktor nach links und einmal mit dem Faktor nach rechts. Insgesamt wird dabei die Ausgangszahl auf die beiden Nachfolger in der folgenden Zeile verteilt. Die Gesamtsumme ändert sich dabei nicht und ist also wieder gleich .
- Es ist
-
Für
ist
-
was mit der nullten Zeile übereinstimmt. Es gilt nach
[[Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt|Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt/Faktreferenznummer (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))]]
D.h. die Zahlen in der Binomialverteilung erfüllen also die rekursive Bedingungen aus Teil (1). Daher stehen in der -ten Zeile des Dreiecks die Zahlen der Binomialverteilung.