Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 45/kontrolle
- Die Pausenaufgabe
Aufgabe Referenznummer erstellen
Negiere die Aussage, dass eine Folge in einem angeordneten Körper eine Cauchy-Folge ist, durch Umwandlung der Quantoren.
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel für eine Cauchy-Folge in , die (in ) nicht konvergiert.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper. Es sei eine Cauchy-Folge in , die eine konvergente Teilfolge enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Folge in einem archimedisch angeordneten Körper . Es gelte
für alle . Folgt daraus, dass eine Cauchy-Folge ist?
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei eine Folge in einem archimedisch angeordneten Körper . Es gelte
für alle . Folgt daraus, dass eine Cauchy-Folge ist?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Folge in einem archimedisch angeordneten Körper und sei ein Element mit . Es gelte
für alle . Zeige, dass eine Cauchy-Folge ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien und Folgen in einem angeordneten Körper derart, dass
für alle gilt. Es seien und Cauchy-Folgen und es sei die Differenzfolge eine Nullfolge. Zeige, dass dann auch eine Cauchy-Folge ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass eine Teilfolge einer Cauchy-Folge wieder eine Cauchy-Folge ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien angeordnete Körper und es sei eine Folge in , die in gegen konvergiert. Zeige, dass die Folge in eine Cauchy-Folge ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei eine fallende, nach unten beschränkte Folge. Zeige, dass eine Cauchy-Folge ist.
Aufgabe * Aufgabe 45.11 ändern
Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass eine Cauchy-Folge in beschränkt ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper und es sei eine Nullfolge in . Zeige, dass die Summenfolge
ebenfalls eine Cauchy-Folge ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine gegen konvergente Folge in einem angeordneten Körper. Zeige, dass jede Teilfolge ebenfalls gegen konvergiert.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass für die Folge der Stammbrüche die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
- Die Folge ist eine Nullfolge.
- Die Folge ist eine Cauchy-Folge.
- Der Körper ist archimedisch angeordnet.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zwei Personen, und , sitzen in der Kneipe. will nach Hause gehen, aber will noch ein Bier trinken. „Na gut, dann trinken wir eben noch ein Bier, das ist aber das allerletzte“ sagt . Danach möchte immer noch Bier, aber da das vorhergehende Bier definitiv das letzte war, einigen sie sich auf ein allerletztes halbes Bier. Danach trinken sie noch ein allerletztes Viertelbier, danach noch ein allerletztes Achtelbier, u.s.w. Wie viel „allerletztes Bier“ trinken sie insgesamt?
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zeige
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Reihe in einem archimedisch angeordneten Körper konvergiert und bestimme den Grenzwert.
Aufgabe Aufgabe 45.19 ändern
Es seien und Cauchy-Folgen in einem angeordneten Körper , wobei die Differenzfolge eine Nullfolge sei. Zeige, dass für genau dann eine der Alternativen aus Lemma 45.10 gilt, wenn sie für gilt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien und Cauchy-Folgen in einem angeordneten Körper , die im Sinne von Lemma 45.10 positiv seien. Zeige, dass dann auch die Summenfolge und die Produktfolge positiv sind.
Aufgabe Aufgabe 45.21 ändern
Es sei ein archimedisch angeordneter vollständiger Körper. Zeige, dass genau dann nichtnegativ ist, wenn eine Quadratwurzel besitzt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass vollständig ist, dass also jede Cauchy-Folge in konvergiert.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel für eine Folge, die nicht konvergiert, aber eine konvergente Teilfolge enthält.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper . Zeige, dass es eine Teilfolge , mit der Eigenschaft gibt, dass zu jedem für alle die Abschätzung
gilt.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper , die sowohl unendlich viele positive als auch unendlich viele negative Folgenglieder besitzt. Zeige, dass es sich um eine Nullfolge handelt.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Reihe beschränkt ist.
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