Lösung
- Eine
Körpererweiterung
heißt endlich, wenn ein
endlichdimensionaler Vektorraum
über ist.
- Ein Untergruppe ist ein Normalteiler, wenn
-
für alle ist.
- Eine
Körpererweiterung
heißt eine Radikalerweiterung, wenn es
Zwischenkörper
-
derart gibt, dass
für jedes eine
einfache Radikalerweiterung
ist.
- Man nennt die Menge der
Charaktere
-
die Charaktergruppe von
(in ).
- Man nennt die
Äquivalenzklassen
zur
Äquivalenzrelation,
bei der zwei Elemente als äquivalent gelten, wenn sie durch einen
inneren Automorphismus
ineinander überführt werden können, die Konjugationsklassen.
- Die Elemente heißen
algebraisch unabhängig
(über ),
wenn für jedes vom Nullpolynom verschiedene Polynom
bei der Einsetzung
-
gilt.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich .
- Der Satz über die Anzahl eines endlichen Körpers.
- Der Satz über die Charakterisierung von konstruierbaren n-Ecken.
Lösung
- In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.
- Sei ein endlicher Körper. Dann besitzt genau Elemente, wobei eine Primzahl ist und
.
- Ein reguläres -Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von die Gestalt
-
hat, wobei die verschiedene Fermatsche Primzahlen sind.
Lösung Algebraisch abgeschlossener Körper/Unendlich/Aufgabe/Lösung
Lösung
Die Multiplikationsabbildung ist ein Gruppenhomomorphismus, wie direkt aus dem Distributivitätsgesetz folgt. Es gilt:
ist ein Nichtnullteiler genau dann, wenn für alle aus folgt . Dies ist genau dann der Fall, wenn der Kern von nur aus besteht, was genau dann gilt, wenn injektiv ist.
ist eine Einheit genau dann, wenn es ein gibt mit , was genau dann der Fall ist, wenn zum Bild von gehört. Dies wiederum ist äquivalent dazu, dass surjektiv ist, denn aus folgt sofort für jedes .
Beweise den Satz, dass das Minimalpolynom zu einem algebraischen Element in einer Körpererweiterung
irreduzibel ist.
Lösung
Lösung
- Die Reflexivität ist klar, da man bei
einfach
nehmen kann, da die Identität eine endliche Körpererweiterung ist. Die Symmetrie ist unmittelbar klar. Zum Nachweis der Transitivität seien Körper
mit
und
endlich gegeben. Insbesondere sind
und
endliche Oberkörper von . Wir können
-
mit schreiben, die über algebraisch sind. Damit ist
-
eine endliche Körpererweiterung, die
und
und damit auch umfasst. Nach
der Gradformel
ist endlich über diesen Körpern und daher sind auch
und
äquivalent.
- und
sind zueinander äquivalent, da
eine endliche Körpererweiterung vom Grad ist.
- und
sind nicht zueinander äquivalent, da es in über transzendente Elemente gibt, die nicht in einer endlichen Erweiterung von liegen können.
Bestimme das
Minimalpolynom
von
-
über .
Lösung
Zeige, dass der algebraische Abschluss einer Körpererweiterung ein Körper ist.
Lösung
Wir müssen zeigen, dass bezüglich der Addition, der Multiplikation, des Negativen und des Inversen abgeschlossen ist. Seien
. Wir betrachten die von
und
erzeugte -Unteralgebra
,
die aus allen -Linearkombinationen der
, ,
besteht. Da
sowohl als auch
algebraisch sind, kann man
nach Satz 10.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
gewisse Potenzen
und
durch kleinere Potenzen ersetzen. Daher kann man alle Linearkombinationen mit den Monomen
, , ,
ausdrücken. D.h. alle Operationen spielen sich in dieser endlichdimensionalen Unteralgebra ab. Daher sind Summe, Produkt und das Negative nach
Satz 10.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
wieder algebraisch. Für das Inverse sei
algebraisch. Dann ist nach
Satz 10.1 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
ein Körper von endlicher Dimension. Daher ist
selbst algebraisch.
Bestimme die
Matrix
des
Frobeniushomomorphismus
-
bezüglich einer geeigneten
-
Basis
von .
Lösung
Das Polynom ist irreduzibel in , da es keine Nullstellen hat. Also ist
-
wir nehmen als
-
Basis.
Der Frobenius sendet auf , auf
-
und auf
-
Die beschreibende Matrix ist also
-
Lösung
- Es genügt die Drehmatrix zu
,
also
-
da ja
-
ist. Wegen
kann man auf diese nicht verzichten.
- Es sei der -te Kreisteilungskörper über , der von
-
erzeugt wird. Wir betrachten die surjektive Abbildung
-
die durch gegeben ist. Diese ist wohldefiniert und bijektiv, da eine Summe
-
genau dann ist, wenn dies in der ersten Spalte gilt. Somit liegt ein
-
Algebraautomorphismus
vor und alle Eigenschaften übertragen sich vom Kreisteilungskörper. Insbesondere ist die Algebra kommutativ
- und ein Körper
- der endlichen -Dimension .
Beweise den Satz über die Beschreibung der Galoisgruppe von Kreisteilungskörpern über .
Lösung
Nach
Korollar 19.12 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
ist
-
wobei das -te
Kreisteilungspolynom
ist. Dieses ist das Produkt
über alle
primitiven Einheitswurzeln
und damit vom Grad . Da der Kreisteilungskörper all diese primitiven Einheitswurzeln enthält, zerfällt das Kreisteilungspolynom über in Linearfaktoren und daher ist der
Zerfällungskörper
des Kreisteilungspolynoms und somit nach
Satz 16.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
eine
Galoiserweiterung.
Es sei nun eine primitive -te Einheitswurzel, und zwar diejenige, die bei der obigen Restklassenidentifizierung der Variablen entspricht. Zu ist ebenfalls eine primitive Einheitswurzel. Wir betrachten den Einsetzungshomomorphismus
-
Dieser ist surjektiv, da den Kreisteilungskörper erzeugt. Wegen
induziert dies einen Automorphismus
-
Dadurch erhalten wir eine Zuordnung
-
Für ist
-
sodass
gilt
(da die Automorphismen auf dem Erzeuger festgelegt sind).
Die Zuordnung ist also ein Gruppenhomomorphismus. Für verschiedene Einheiten
ist
und somit
.
Die Abbildung ist also injektiv. Da es links und rechts Elemente gibt, ist die Abbildung eine Bijektion.
Zeige, dass man aus als Startmenge den gesamten
mit Zirkel und Lineal konstruieren
kann.
Lösung
Die Achse ist als Gerade aus der Startmenge konstruierbar. Die Zahlen
und
gehören zur Startmenge. Somit kann man den Nullpunkt konstruieren, indem man den Kreis um durch schlägt und den Schnittpunkt mit der -Achse nimmt. Somit kann man auch die -Achse gemäß
Lemma 24.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) (2)
konstruieren. Auf der -Achse kann man auch den Punkt konstruieren. Der Abstand von
zu
beträgt nach dem Satz des Pythagoras . Da Parallelogramme konstruierbar sind, ist somit auch die Zahl
(also der Punkt )
konstruierbar. Damit sind aber überhaupt alle rationalen Zahlen konstruierbar und somit sind alle reellen Zahlen aus der gegebenen Startmenge konstruierbar. Diese sind auf die -Achse übertragbar und daher sind gemäß
Lemma 24.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
alle Punkte der Ebene konstruierbar.
Das Polynom
ist irreduzibel und definiert daher eine endliche Körpererweiterung
-
vom Grad . Es sei eine primitive dritte komplexe Einheitswurzel und es sei
die Gruppe der komplexen dritten Einheitswurzeln.
- Zeige, dass durch
-
ein -Automorphismus auf gegeben ist.
- Zeige, dass
eine Galoiserweiterung ist.
- Zeige, dass
eine graduierte Körpererweiterung ist.
- Zeige, dass durch
-
ein -Automorphismus auf der Ordnung gegeben ist.
- Zeige, dass der Fixkörper zum Automorphismus aus (4) isomorph zum rationalen Funktionenkörper in zwei Variablen ist.
Lösung
- Wir betrachten den
-
Algebrahomomorphismus
-
Dieser ist offenbar surjektiv und sendet auf
,
daher wird das Ideal auf abgeildet und es wird ein Automorphismus
-
induziert.
- Der Körper gehört zum Fixkörper. Als -Vektorraum hat die Struktur
-
Der erzeugende Automorphismus respektiert diese Zerlegung, und daher ist der Fixkörper. Über dem Fixkörper zu einer endlichen Gruppe liegt aber stets eine Galoiserweiterung vor.
- Wir betrachten die Darstellung als direkte Summe aus Teil (2). Daraus ist unmittelbar die graduierende Struktur mit der graduierenden Gruppe ablesbar. Wegen
-
ist diese Graduierung in der Tat mit der Multiplikation verträglich.
- Durch und wird zunächst ein -Automorphismus
-
und damit auch auf dem Quotientenkörper
-
festgelegt. Durch wird sodann ein -Algebramorphismus
-
festgelegt, der seinerseits wieder zu einem Automorphismus
-
führt. Die dritte Iteration davon ist durch , , , bestimmt, also die Identität. Somit ist die Ordnung .
- Wir behaupten, dass der Fixkörper der rationale Funktionenkörper in den zwei Erzeugern
und
ist. Diese beiden Elemente werden offenbar auf sich selbst abgebildet. Bezeichnen wir diesen Körper mit
-
Zunächst gehört
-
zu . Ferner gehört auch
-
dazu. Damit gehört auch
-
dazu. Also gehört auch
-
und damit auch
und
dazu. Damit ist
-
endlich und insbesondere sind die beiden Erzeuger
und
algebraisch unabhängig und ist ein rationaler Funktionenkörper in zwei Variablen. Wir behaupten, dass über von erzeugt wird. Zu
-
gehört aber direkt auch und und wegen gehört auch dazu. Also ist
-
und es liegt die entsprechende Situation zu (2), (3) vor. Insbesondere ist der Fixkörper.