Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 25/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass ${}G$ genau dann kommutativ ist, wenn alle Konjugationsklassen einelementig sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe und seien ${}x,y\in G$ konjugierte Elemente. Zeige, dass ${}x$ und ${}y$ die gleiche Ordnung besitzen.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine Gruppe und sei ${}H\subseteq Z$ eine Untergruppe des Zentrums von ${}G$. Zeige, dass ${}H$ ein Normalteiler in ${}G$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass zwei Permutationen ${}\sigma ,\tau \in S_{n}$ genau dann konjugiert sind, wenn ihre Zykeldarstellung den gleichen Typ haben, d.h. wenn die Anzahl der Zykel und deren Längen übereinstimmen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine endliche Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K$, ${}K\subseteq {\mathbb {C} }$, das zeigt, dass zu einem Element ${}z=a+b{\mathrm {i} }\in K$ die reellen Koordinaten ${}a$ und ${}b$ nicht zu ${}K$ gehören müssen.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche normale Körpererweiterung und sei

$\kappa \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

die komplexe Konjugation.

a) Zeige, dass ${}\kappa (K)\subseteq K$ gilt.

b) Zeige, dass ${}\kappa {|}_{K}=\operatorname {Id} _{K}$ genau dann gilt, wenn ${}K\subseteq \mathbb {R}$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine konstruierbare Zahl. Zeige, dass der erzeugte Unterkörper ${}\mathbb {Q} (z)$ eine Radikalerweiterung von ${}\mathbb {Q}$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine konstruierbare Zahl mit dem Minimalpolynom ${}F\in \mathbb {Q} [X]$. Zeige, dass jede komplexe Nullstelle von ${}F$ ebenfalls konstruierbar ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine konstruierbare Zahl mit dem Minimalpolynom ${}F\in \mathbb {Q} [X]$. Zeige, dass der Zerfällungskörper von ${}F$ eine Radikalerweiterung von ${}\mathbb {Q}$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}K\subseteq L\subseteq M$ endliche Körpererweiterungen. Es sei ${}F\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom, dass über ${}M$ in Linearfaktoren zerfalle. Der Zwischenkörper ${}L$ enthalte keine Nullstelle von ${}F$. Folgt daraus, dass ${}F$ irreduzibel über ${}L$ ist?

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine endliche Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K$, ${}K\subseteq {\mathbb {C} }$, derart, dass die komplexe Konjugation sich nicht auf ${}K$ einschränken lässt.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine Körpererweiterung in ${}{\mathbb {C} }$ und es sei ${}K\subseteq L$ der Unterkörper, der aus allen konstruierbaren Zahlen in ${}L$ besteht. Zeige, dass für jeden Automorphismus ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}\mathbb {Q} )$ die Beziehung ${}\varphi (K)\subseteq K$ gilt.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in L$ Elemente, die eine ${}K$- Basis von ${}L$ bilden. Sei ${}x\in L$, ${}x\neq 0$. Zeige, dass auch ${}xv_{1},\ldots ,xv_{n}\in L$ eine ${}K$-Basis von ${}L$ bilden.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass für ${}n\geq 2$ der konstante Koeffizient der Kreisteilungspolynome ${}\Phi _{n}$ immer ${}1$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ algebraische Zahlen.

a) Zeige, dass es ein irreduzibles Polynom ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ derart gibt, dass man alle ${}\alpha _{i}$ als ${}\mathbb {Q}$- Linearkombination von Potenzen der Nullstellen von ${}F$ schreiben kann.

b) Zeige, dass es kein irreduzibles Polynom ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ derart geben muss, dass alle ${}\alpha _{i}$ Nullstellen von ${}F$ sind.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}z\in L$ ein Element derart, dass ${}\varphi (z)$, ${}\varphi \in G$, eine ${}K$- Basis von ${}L$ bildet. Wir betrachten das Polynom

$F=\prod _{\varphi \in G}(X-\varphi (z)).$

Zeige, dass die Koeffizienten von ${}F$ zu ${}K$ gehören, dass ${}F$ in ${}K[X]$ irreduzibel ist und dass ${}L$ der Zerfällungskörper von ${}F$ über ${}K$ ist.