Kurs:Lineare Algebra/Teil I/4/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	4	2	4	1	4	4	3	6	6	3	5	2	3	8	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Graph zu einer Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$.
2. Ein kommutativer Ring ${}R$.
3. Der Orthogonalraum zu einem Untervektorraum

   ${}F\subseteq {V}^{*}\,$

   im Dualraum ${}{V}^{*}$ zu einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

4. Eine multilineare Abbildung

   $\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W,$

   wobei ${}V_{1},\ldots ,V_{n},W$ Vektorräume über einem Körper ${}K$ sind.

5. Das Minimalpolynom zu einer linearen Abbildung

   $f\colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

6. Eine diagonalisierbare lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über lineare Abbildungen zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen.
2. Der Satz über die Beziehung zwischen der adjungierten Matrix und der Determinante.
3. Der Satz über die Summe von Haupträumen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Die offizielle Berechtigung für die Klausurteilnahme werde durch mindestens ${}200$ Punkte im Übungsbetrieb erworben. Professor Knopfloch sagt, dass es aber auf einen Punkt mehr oder weniger nicht ankomme. Zeige durch eine geeignete Induktion, dass man mit jeder Punkteanzahl zur Klausur zugelassen wird.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&+4w&=&4\\2x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&0\\4x&+6y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&2\\x&+3y&+5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&3\,.\end{matrix}}$

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}D$ die Menge aller reellen ${}2\times 2$-Matrizen

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},$

die die Bedingung

${}a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}=0\,$

erfüllen. Zeige, dass ${}D$ kein Untervektorraum im Raum aller ${}2\times 2$-Matrizen ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {Q} ^{n}$ ein Untervektorraum. Zeige, dass ${}U$ eine Basis aus Vektoren besitzt, deren Einträge allesamt ganze Zahlen sind.

Aufgabe * (1 Punkt)

Beweise den Satz über die Dimension des Standardraumes.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler ${}K$- Vektorraum und es sei ${}U\subseteq V$ ein ${}(n-1)$-dimensionaler Untervektorraum. Zeige, dass es eine Linearform ${}f\colon V\rightarrow K$ mit ${}U=\operatorname {kern} f$ gibt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die Basis

${\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{2}$ und es sei ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ die Projektion von ${}\mathbb {R} ^{2}$ auf ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ bezüglich dieser Basis. Bestimme die Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der Standardbasis.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen

$A={\begin{pmatrix}1&4&0\\2&0&5\\0&2&-1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}1&2&7\\0&3&6\\0&-2&-3\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante direkt aus dem Distributivgesetz für multilineare Abbildungen.

Aufgabe * (6 Punkte)

Bestimme explizit die reellen ${}2\times 2$- Matrizen der Form

${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,$

mit

${}M^{2}=0\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und seien ${}\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ Elemente in ${}K$. Zeige, dass

${}\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\cap \operatorname {Eig} _{\lambda _{2}}{\left(\varphi \right)}=0\,$

ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper ${}K$ und es sei

$f\colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass das charakteristische Polynom ${}\chi _{f}$ und das Minimalpolynom ${}\mu _{f}$ die gleichen Nullstellen besitzen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine nilpotente lineare Abbildung, die auch diagonalisierbar sei. Zeige

${}\varphi =0\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${\begin{pmatrix}5&7&1\\0&5&4\\0&0&5\end{pmatrix}}$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der ${}\varphi$ durch die Matrix

${\begin{pmatrix}5&1&0\\0&5&1\\0&0&5\end{pmatrix}}$

beschrieben wird.

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ und es sei

$P_{1},\ldots ,P_{n}$

eine endliche Familie von Punkten aus ${}E$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Die Punkte ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ sind affin unabhängig.
2. Für jedes ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ ist die Vektorfamilie

   ${\overrightarrow {P_{i}P_{1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{i}P_{i-1}}},\,{\overrightarrow {P_{i}P_{i+1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{i}P_{n}}}$

   linear unabhängig.

3. Es gibt ein ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ derart, dass die Vektorfamilie

   ${\overrightarrow {P_{i}P_{1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{i}P_{i-1}}},\,{\overrightarrow {P_{i}P_{i+1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{i}P_{n}}}$

   linear unabhängig ist.

4. Die Punkte ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ bilden in dem von ihnen erzeugten affinen Unterraum eine affine Basis.