Kurs:Lineare Algebra/Teil II/7/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	5	2	4	1	3	4	0	2	0	3	3	2	0	3	38

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Norm zu einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}\mathbb {R}$- Vektorraum ${}V$.
2. Der Höhenfußpunkt zu einer Seite in einem Dreieck in der euklidischen Ebene.
3. Der Ausartungsraum zu einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einen ${}K$- Vektorraum ${}V$.
4. Ein Ringhomomorphismus

   $\varphi \colon R\longrightarrow S$

   zwischen Ringen ${}R$ und ${}S$.

5. Ein asymptotisch stabiler Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$.

6. Ein Unterkörper ${}K$ eines Körpers ${}L$.

Lösung

1. Zu einem Vektor ${}v\in V$ nennt man

   ${}\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\left\langle v,v\right\rangle }}\,$

   die Norm von ${}v$.

2. In einem Dreieck ${}A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt der Schnittpunkt der Höhe durch ${}A$ mit der Geraden durch ${}B$ und ${}C$ der Höhenfußpunkt dieser Höhe.
3. Der Untervektorraum

   ${\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in V\right\}}$

   heißt Ausartungsraum zur Bilinearform.

4. Die Abbildung

   $\varphi \colon R\longrightarrow S$

   heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

   1. ${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$
   2. ${}\varphi (1)=1$
   3. ${}\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.
5. Der Endomorphismus ${}\varphi$ heißt asymptotisch stabil, wenn die Folge ${}\varphi ^{n}$ in ${}\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}$ gegen die Nullabbildung konvergiert.
6. Eine Teilmenge ${}K\subseteq L$ eines Körpers ${}L$ heißt Unterkörper von ${}L$, wenn folgende Eigenschaften gelten.
   1. Es ist ${}0,1\in K$.
   2. Mit ${}a,b\in K$ ist auch ${}a+b\in K$.
   3. Mit ${}a,b\in K$ ist auch ${}a\cdot b\in K$.
   4. Mit ${}a\in K$ ist auch ${}-a\in K$.
   5. Mit ${}a\in K,a\neq 0$, ist auch ${}a^{-1}\in K$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beschreibung von eigentlichen Isometrien im ${}\mathbb {R} ^{3}$.
2. Der Trägheitssatz von Sylvester.
3. Der Homomorphiesatz für Gruppen (Satz vom induzierten Homomorphismus).

Lösung

1. Es sei

   $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

   eine eigentliche Isometrie.

   Dann ist ${}\varphi$ eine Drehung um eine feste Achse.
2. Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ ${}(p,q)$. Dann ist die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit ${}p$ positiven und ${}q$ negativen Einträgen.
3. Seien ${}G,Q$ und ${}H$ Gruppen, es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus und ${}\psi \colon G\rightarrow Q$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

   $\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi$

   ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

   ${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow H$

   derart, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung.

Lösung

Bei ${}w=0$ ist die Aussage richtig. Es sei also ${}w\neq 0$ und damit auch ${}\Vert {w}\Vert \neq 0$. Damit hat man die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}0&\leq \left\langle v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w,v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle w,v\right\rangle -{\frac {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle v,w\right\rangle +{\frac {\left\langle v,w\right\rangle {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}}{\Vert {w}\Vert ^{4}}}\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}{\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}-{\frac {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle v,w\right\rangle +{\frac {\left\langle v,w\right\rangle {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert ^{2}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}.\end{aligned}}$

Multiplikation mit ${}\Vert {w}\Vert ^{2}$ und Wurzelziehen ergibt das Resultat.

Aufgabe (2 Punkte)

Was bedeutet die Polarisationsformel für ein reelles Skalarprodukt für die Multiplikation von reellen Zahlen?

Lösung

Eindimensional besagt die Polarisationsformel für reelle Zahlen ${}a,b\in \mathbb {R}$ einfach

${}ab={\frac {1}{2}}{\left({\left(a+b\right)}^{2}-a^{2}-b^{2}\right)}\,.$

Insbesondere lässt sich also die reelle Multiplikation auf das Quadrieren, Addieren und Subtrahieren von reellen Zahlen zurückführen.

Aufgabe (4 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

${\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$

des ${}\mathbb {R} ^{3}$ an.

Lösung

Der Vektor ${}{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}$ besitzt die Norm ${}{\sqrt {2}}$, somit ist

$u_{1}={\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}$

der zugehörige normierte Vektor. Der zweite Vektor muss senkrecht zu ${}u_{1}$ sein und zusammen mit ${}u_{1}$ den Untervektorraum ${}\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\rangle$ aufspannen. Dies führt zum Ansatz

${}0=\left\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\lambda \\1\\1+\lambda \end{pmatrix}}\right\rangle =1+1+\lambda \,,$

so dass

${}\lambda =-2\,$

und ${}w_{2}={\begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix}}$ ist. Der normierte Vektor dazu ist

$u_{2}={\begin{pmatrix}-{\frac {2}{\sqrt {6}}}\\{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{pmatrix}}.$

Der dritte Vektor muss senkrecht auf ${}u_{1}$ und ${}u_{2}$ stehen. Ein solcher Vektor ist offenbar ${}{\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}}$. Daher kann man

$u_{3}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}\end{pmatrix}}$

als dritten Vektor der Orthonormalbasis nehmen.

Aufgabe (1 Punkt)

Berechne das Kreuzprodukt

${\begin{pmatrix}3\\5\\2\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-4\\6\\-5\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Lösung

Es ist

${}{\begin{pmatrix}3\\5\\2\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-4\\6\\-5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\cdot (-5)-2\cdot 6\\-3\cdot (-5)+2\cdot (-4)\\3\cdot 6-5\cdot (-4)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-37\\7\\38\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ ein Endomorphismus mit adjungiertem Endomorphismus ${}{\hat {\varphi }}$. Es sei ${}\psi \colon V\rightarrow W$ eine Isometrie. Zeige, dass der adjungierte Endomorphismus zu

$\psi \circ \varphi \circ \psi ^{-1}\colon W\longrightarrow W$

gleich ${}\psi \circ {\hat {\varphi }}\circ \psi ^{-1}$ ist.

Lösung

Unter Verwendung der Isometrieeigenschaft und der Adjungiertheit ist

${}{\begin{aligned}\left\langle (\psi \circ \varphi \circ \psi ^{-1})(w),z\right\rangle &=\left\langle \psi (\varphi (\psi ^{-1}(w))),z\right\rangle \\&=\left\langle \varphi (\psi ^{-1}(w)),\psi ^{-1}(z)\right\rangle \\&=\left\langle \psi ^{-1}(w),{\hat {\varphi }}(\psi ^{-1}(z))\right\rangle \\&=\left\langle w,\psi ({\hat {\varphi }}(\psi ^{-1}(z)))\right\rangle \\&=\left\langle w,(\psi \circ {\hat {\varphi }}\circ \psi ^{-1})(z)\right\rangle ,\end{aligned}}$

also ist der adjungierte Endomorphismus zu ${}\psi \circ \varphi \circ \psi ^{-1}$ gleich ${}\psi \circ {\hat {\varphi }}\circ \psi ^{-1}$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}a,b,c,d$ reelle Zahlen mit ${}ad-bc=1$. Zeige, dass die Abbildung

$\operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\longrightarrow \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)},\,{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}adx-acy+bdz-bcw&-abx+a^{2}y-b^{2}z+abw\\cdx-c^{2}y+d^{2}z-cdw&-bcx+acy-bdz+adw\end{pmatrix}}$

ein innerer Automorphismus ist.

Lösung

Die Matrix ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ist invertierbar und die inverse Matrix ist ${}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$. Mit dieser Matrix ist

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}ax+bz&ay+bw\\cx+dz&cy+dw\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}adx+bdz-acy-bcw&-abx-b^{2}z+a^{2}y+abw\\cdx+d^{2}z-c^{2}y-cdw&-bcx-bdz+acy+adw\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}adx-acy+bdz-bcw&-abx+a^{2}y-b^{2}z+abw\\cdx-c^{2}y+d^{2}z-cdw&-bcx+acy-bdz+adw\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

somit handelt es sich bei der Abbildung um die Konjugation mit der invertierbaren Matrix ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und sei ${}f\colon M\rightarrow N$ eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung

${}x\sim y\,,$

wenn

${}f(x)=f(y)\,,$

eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ definiert wird.

Lösung

Da der Funktionswert ${}f(x)$ eindeutig bestimmt und die Gleichheit reflexiv ist, gilt offenbar ${}x\sim x$. Wenn ${}x\sim y$ ist, so bedeutet das ${}f(x)=f(y)$ und wegen der Symmetrie der Gleichheit folgt ${}f(y)=f(x)$, was wiederum ${}y\sim x$ bedeutet. Wenn ${}x\sim y$ und ${}y\sim z$ ist, so bedeutet dies einerseits ${}f(x)=f(y)$ und andererseits ${}f(y)=f(z)$. Wegen der Transitivität der Gleichheit folgt ${}f(x)=f(z)$, was ${}x\sim z$ bedeutet.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}h\in R$. Zeige, dass die Abbildung

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto hf,$

ein Gruppenhomomorphismus ist. Beschreibe das Bild und den Kern dieser Abbildung.

Lösung

Für Elemente ${}f_{1},f_{2}\in R$ ist nach dem Distributivgesetz

${}h(f_{1}+f_{2})=hf_{1}+hf_{2}\,,$

und genau dies besagt, dass ein Gruppenhomomorphismus vorliegt. Das Bild besteht aus allen Elementen der Form

${\left\{hf\mid f\in R\right\}},$

dies ist genau das von ${}h$ erzeugte Hauptideal ${}(h)$. Der Kern besteht aus allen Elementen der Form

${\left\{f\mid hf=0\right\}},$

das sind also alle Elemente, die bei Multiplikation mit ${}h$ die ${}0$ ergeben.

Aufgabe (3 Punkte)

Die zyklische Gruppe ${}\mathbb {Z} /(24)$, die Diedergruppe ${}D_{12}$ und die Würfelgruppe ${}W\cong S_{4}$ besitzen ${}24$ Elemente und treten als endliche eigentliche Symmetriegruppe im ${}\mathbb {R} ^{3}$ auf. Begründe, dass diese Gruppen untereinander nicht isomorph sind.

Lösung

In der zyklischen Gruppe ${}\mathbb {Z} /(24)$ gibt es Elemente mit der Ordnung ${}24$. Die Diedergruppe ${}D_{12}$ enthält die zyklische Gruppe ${}\mathbb {Z} /(12)$ und damit auch Elemente der Ordnung ${}12$, sie ist aber selbst nicht zyklisch und enthält keine Elemente der Ordnung ${}24$. Die Würfelgruppe ist isomorph zur Permutationsgruppe ${}S_{4}$. Dort treten nur die Ordnungen ${}1,2,3,4$ auf. Daher sind diese drei Gruppen nicht isomorph.

Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine spaltenstochastische Matrix derart, dass die Folge der Potenzen ${}M^{n}$ nicht konvergiert.

Lösung

Betrachte

${}M={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,.$

Die Folgenglieder ${}M^{n}$ sind dann abwechselnd gleich ${}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ oder gleich ${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$. Eine solche Folge konvergiert nicht in einem normierten Raum, da sie zwei verschiedene Häufungspunkte besitzt.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}V,W$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{m}$ von ${}W$ durch die Matrix ${}M$ beschrieben werde. Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Zeige, dass die ${}L$-lineare Abbildung

$\varphi _{L}\colon V_{L}\longrightarrow W_{L}$

bezüglich der ${}L$-Basen ${}1\otimes v_{1},\ldots ,1\otimes v_{n}$ von ${}V_{L}$ und ${}1\otimes w_{1},\ldots ,1\otimes w_{m}$ von ${}W_{L}$ ebenfalls durch die Matrix ${}M$ beschrieben wird.

Lösung

Wegen Fakt ***** liegen in der Tat Basen vor. Das Basiselement ${}v_{j}$ von ${}V$ wird unter ${}\varphi$ auf

${}\varphi (v_{j})=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}w_{i}\,$

abgebildet. Somit wird das Basiselement ${}1\otimes v_{j}$ von ${}V_{L}$ unter ${}\varphi _{L}$ auf

${}\varphi (1\otimes v_{j})=1\otimes \varphi (v_{j})=1\otimes {\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}w_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}{\left(1\otimes w_{i}\right)}\,.$

Die Koeffizienten ${}a_{ij}$ konstituieren also die beschreibende Matrix von ${}\varphi _{L}$.